1.2.2同角三角函数的基本关系2222导学案

1.2.2 同角三角函数的基本关系【课标要求】1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．【核心扫描】1．同角三角函数基本关系式．(重点)2．基本关系式的变形及其应用．(难点)新知导学同角三角函数的基本关系式温馨提示：同角的两层含义：一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 互动探究探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确定？题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．[规律方法] 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解．【活学活用1】 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．类型二 三角函数式的化简【例2】 化简下列各式： (1)1－sin 2400°；(2) 1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin 210°； (3)1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.[规律方法] 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【活学活用2】 化简：1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫0<α<π2.类型三 三角函数式的证明【例3】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简．(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．【活学活用3】 求证：sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.易错辨析 忽略角的取值范围，造成增根或丢根【示例】 已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值． [错解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125， 解得sin θcos θ＝－1225. ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， 故sin θ－cos θ＝±75. [错因分析] 该解法忽略了角θ的取值范围．根据0<θ<π这一条件，可以确定sin θ－cos θ的符号．[正解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝75. [防范措施] 在已知sin θcos θ的值求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时需开方，因此要 根据角的范围确定正负号的选择.课堂达标1．化简 1－sin 2π5的结果是( )． A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5 2．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( )． A ．1 B ．－1 C.34 D ．－433．已知0<x <π2，cos x ＝45，则tan x ＝________. 4．化简1－2sin 40°cos 40°＝________.5．已知cos α＝－35，求sin α及tan α的值．课堂小结1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求解α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形、以便于应用同角三角函数关系来求解.参考答案互动探究探究点1 提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 探究点2 提示 其正负号是由角α所在的象限决定．题型探究类型一 利用同角基本关系式求值【例1】【解】∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 【活学活用1】【解】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α① 又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 类型二 三角函数式的化简【例2】 【解】(1) 1－sin 2400°＝ cos 2400°＝|cos 400°|＝|cos(360°＋40°)|＝|cos 40°|＝cos 40°. (2)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210° ＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (3)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号，∴α是第二、三象限角，∴cos α<0，∴ 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝(1－sin α)21－sin 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α ＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α. 【活学活用2】【解】原式＝ ⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋ ⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22 ＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos α2－sin α2>0，sin α2＋cos α2>0， ∴原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α2. 类型三 三角函数式的证明【例3】【证明】∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．【活学活用3】【证明】法一 sin 2α＋cos 2α＝1⇒1－cos 2α＝sin 2α⇒(1－cos α)(1＋cos α)＝sin α·sin α⇒sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 法二 sin α1－cos α－1＋cos αsin α＝sin 2α－(1＋cos α)(1－cos α) (1－cos α)sin α＝sin 2α－(1－cos 2α)(1－cos α)·sin α＝sin 2α－sin 2α(1－cos α)·sin α＝0， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 课堂达标1．C【解析】∵0<π5<π2，∴cos π5>0. ∴1－sin 2π5＝ cos 2π5＝cos π5. 2．A【解析】由条件，得sin α＝cos α，∴tan α＝1.3．34【解析】本题是同角三角函数关系的运算问题，需先求出sin x ，再求tan x ．sin x ＝1－cos 2x ＝35，tan x ＝sin x cos x ＝34. 4．cos 40°－sin 40°【解析】原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.5．【解】∵cos α＝－35<0，∴α是第二、三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0，∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.。

4、化简： （1） cos tan
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）

《同角三角函数的基本关系》教案与导学案同角三角函数的基本关系是指在一个锐角三角形中，其三个内角的三角函数之间的关系。

教案教学目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。

2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

教学重点：同角三角函数的基本关系。

教学难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

教学方法：讲授、演示、练习。

教学过程：Step 1 引入新知引导学生回顾正弦定理、余弦定理的内容，由此引入同角三角函数的概念，解释同角三角函数的意义。

Step 2 基本关系的演示通过投影仪或黑板等教具，演示同角三角函数的基本关系。

1) 演示正弦定理的推导，得到sinA=opposite/hypotenuse。

2) 演示余弦定理的推导，得到cosA=adjacent/hypotenuse。

3) 演示正切比例的推导，得到tanA=opposite/adjacent。

Step 3 列示基本关系向学生展示同角三角函数的基本关系，并要求学生背诵这些关系。

Step 4 发现规律通过解决一些具体问题，引导学生发现同角三角函数之间的一些规律和特点。

Step 5 综合运用结合实际问题，进行综合运用，让学生熟练应用同角三角函数的基本关系解决相关问题。

Step 6 归纳总结复习同角三角函数的基本关系，并帮助学生归纳总结相关知识点。

Step 7 学以致用通过一些挑战性问题，提高学生运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力。

导学案学习目标：1.了解同角三角函数的概念和基本关系。

2.熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

学习重点：同角三角函数的基本关系。

学习难点：熟练运用同角三角函数的基本关系，解决相关问题。

学习方法：自主学习、思维导图。

学习过程：Step 1 学习概念自主学习同角三角函数的概念，并在思维导图中整理相关知识点。

Step 2 学习基本关系自主学习同角三角函数的基本关系，并在思维导图中整理相关公式和关系。

班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。

——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。