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高数习题21

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习 题 课 二 十 一一、选择题1．设函数),(y x f 在点)0 ,0(附近有定义，且3)0,0(=x f ，1)0,0(=y f ，则（C ）（A ）dy dx dz +=3)0,0(；（B ）曲面),(y x f z =在点))0,0(,0,0(f 的法向量为}1 ,1 ,3{；（C ）曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的切向量为}3 ,0 ,1{； （D ）曲线⎩⎨⎧== 0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的切向量为}1 ,0 ,3{。

解：),(y x f z =仅在点)0 ,0(存在偏导数，因而),(y x f z =在点)0 ,0(不一定可微。

故（A ）不正确。

曲面),(y x f z =在点))0,0(,0,0(f 的法向量为应为)1 ),0,0( ),0,0((-y x f f ，即)1 ,1 ,3(-，故（B ）不对。

曲线⎩⎨⎧== 0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的切向量为 }3 ,0 ,1{0101130101)0,0()0,0(=-=-kj i f f k j i y x ，故（C ）正确。

或曲线⎩⎨⎧== 0),(y y x f z 可看作以x 为参数的空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)0,(0x f z y x x ，它在点))0,0(,0,0(f 的切向量为}3 ,0 ,1{)}0,0( ,0 ,1{=x f 。

2．函数223333y x y x z --+=的极小值点是（B ）（A ）（0，0）； （B ）（2，2）； （C ）（0，2）； （D ）（2，0）。

解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-=∂∂06306322y y yz x x x z ，得驻点：)0,0(（极大值点）；)2,0(（非极值点）； )0,2(（非极值点）；)2,2(（极小值点）。

3．在曲线32 , ,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（B ）（A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条；（D ）不存在。

解：该曲线在任意一点的切向量}3 ,2 ,1{2t t a -= ，它与平面的法向量}1 ,2 ,1{=n 垂直，即03412=+-=⋅t t n a ，31 ,1=t ，而每一个t 对应于曲线上一点，应选（B ）。

二、填空题1．曲面32=+-xy e z z 点)0 ,2 ,1(处的切平面方程为042=-+y x 。

解：设32),,(-+-=xy e z z y x F z ，y z y x F x 2),,(=，x z y x F y 2),,(=，z z e z y x F -=1),,(，4)0,2,1(=x F ，2)0,2,1(=y F ，0)0,2,1(=z F ，∴切平面方程为0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-⋅+-⋅z y x ，即042=-+y x 。

2．函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为21，在点)1 ,0 ,1(A 处方向导数的最大值为22，最小值为22-。

解：211)1,0,1(22=++=∂∂zy x x u A ， 01)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy y z y x y u A ， 211)1,0,1(2222=+⋅++=∂∂zy z z y x z u A ， ∴}21 ,0 ,21{ =A u gard 。

}1 ,2 ,2{-==l ，}31 ,32 ,32{-= l ，,31cos ,32cos ,32cos =γ-=β=α ∴213121)32(03221=⨯+-⨯+⨯=∂∂A l u ，22 max ==∂∂A u gard l u 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++2222223932:yx z z y x C 在点)2,1,1(-P 处的切线方程为7210181-=+=-z y x ， 法平面方程为0127108=-++z y x 。

解：两曲面在点)2,1,1(-P 的切平面的法向量为 }2,3,2{2}4,6,4{}2 ,6 ,4{1-=-==P z y x n ，}2,1,3{2}4,2,6{}2 ,2 ,6{2--=--=-=P z y x n ， 切线的方向向量}7 ,10 ,8{21323221=---=⨯=k j i n n a ， ∴切线方程为7210181-=+=-z y x , 法平面方程为0)2(7)1(10)1(8=-+++-z y x ，即0127108=-++z y x 。

三、解答题1．过曲线724922=+y x 在第一象限部分中哪一点作的切线与原曲线及坐标轴 之间所围成的图形面积最小？解：设切点为)0,0)( ,(>>b a b a ， 118872492222=+⇒=+y x y x ， 这是长半轴为18，短半轴为8的椭圆。

切线方程为1188=+by ax ，化为截距式：188=+ba y x 设切线与原曲线及坐标轴所围成的面积为S ，则8184118821⋅⋅π-⋅⋅=b a S ，即)0,0(372>>π-=b a abS 。

求条件极值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=-+⋅π-=07249 : 372 :min 22b a t s ab S ， 令)7249( 372),,(22-+λ+π-=λb a abb a F ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==λ+-==λ+-=λ)3( ,07249)2( ,0872)1( ,01872222b a F b ab F a b a F b a 2294b a =⇒，代入(3)，得 2 ,3 ,92===a b b ，得唯一驻点)3 ,2(，∵函数S 必有最小值，且S 在定义域}0,0),{(>>b a b a 内只有唯一驻点)3 ,2(， ∴在点)3 ,2(处面积S 有最小值。

2．求中心在原点的椭圆184522=++y xy x 的长半轴与短半轴的长度。

解：设),(y x M 为椭圆上的任一点，点M 到原点的距离22y x d +=，d 的最大值即为长半轴a ，d 的最小值即为短半轴b 。

设)1845()1845(),,(2222222-++λ++=-++λ+=λy xy x y x y xy x d y x f ，令⎪⎩⎪⎨⎧=-++==λ+λ+==λ+λ+=λ01845 01642 0410222y xy x f y x y f y x x f y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+λ+=+λ+⇒(3) 01845 (2)0)82( (1) 0)25(22y xy x y x y y x x 由(1)得yx 25+λ=λ，代入(2)化简得023222=--x xy y ， 0)2)(2(=+-x y x y ，x y x y 21 2-==或. 把013285(3) 2222=-++=x x x x y 得代入，即1452=x ，4512=x ，4542=y ， 9122=+y x ，31=d .把01225(3) 21222=-+--=x x x x y 得代入，即152=x ，512=x ，2012=y ， 4122=+y x ，21=d .由于最值必存在，故长半轴21=a ，短半轴31=b 。

3．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费)(1万元x 及报纸广告费)(2万元x 之间有如下经验公式： 22212121211028321415),(x x x x x x x x R ---++=，求（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为万元5.1，求相应的最优广告策略。

解：（1）利润函数为)(1028321415),(212221212121x x x x x x x x x x L +----++=，即1531131082),(2122212121+++---=x x x x x x x x L ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+--==+--=,031208),(,01384),(2121212121x x x x L x x x x L x x 解得75.01=x ，25.12=x 。

利润函数),(21x x L 在)1.25 ,75.0(处的二阶偏导数为4)25.1 ,75.0(11-==x x L A ，8)25.1 ,75.0(21-==x x L B ，20)25.1 ,75.0(22-==x x L C ，∵01664802>=-=-B AC ，04<-=A ，∴),(21x x L 在 1.25) ,75.0(处达到极大值，即最大值。

故当电台广告费用为万元75.0，报纸广告费用为万元25.1时，可使利润最大。

（2）若广告费用为万元5.1，则求利润函数1531131082),(2122212121+++---=x x x x x x x x L 在5.121=+x x 条件下的最大值。

设Lagrange 函数：1531131082),,(2122212121+++---=λx x x x x x x x Q )5.1(21-+λ+x x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==λ++--==λ++--=λ05.10312080138421212121x x Q x x Q x x Q x x ， 解之得01=x ，5.12=x ，即将广告费用5.1万元全部用于报纸广告，可使利润最大。

4．求曲面1=++z y x 的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大。

解：曲面在第一卦限的点),,(z y x M 处的法向量为}21 ,21 ,21{zy x n = ， 切平面方程为0)(1 )(1 )(1=-+-+-z Z zy Y y x X x ， 即1 =++=++z y x zZ y Y x X ， 切平面在三个坐标轴上的截距分别为.,,z y x 求条件极值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅=1: :max z y x t s xyz A ， 设Lagrange 函数：)1(),,,(-++λ+=λz y x xyz z y x F ，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==λ+==λ+==λ+=λ(4) 01(3) 02(2) 02(1) 02z y x F z xy F y xz F x yz F z y x z y x ==⇒，代入(4)得91===z y x 。

∵函数A 必有最大值，且在定义域}0 ,0 ,0),,{(>>>z y x z y x 内只有唯一驻点)91 ,91 ,91(，∴曲面在点)91 ,91 ,91(处的切平面在三个坐标轴上的截距之积为最大，该切平面方程为31=++Z Y X 。

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高数习题集及答案

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高数习题集及答案一、极限1. 求下列极限：- \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)- \( \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x \)2. 利用夹逼定理证明：- \( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \)答案：1. 对于第一个极限，我们可以使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]对于第二个极限，我们可以使用重要极限：\[ \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e \]2. 利用夹逼定理，我们可以找到两个序列 \( a_n \) 和 \( b_n \) 使得：\[ a_n \leq (1 + \frac{1}{n})^n \leq b_n \]并且 \( \lim_{n \to \infty} a_n = e \) 和 \( \lim_{n \to \infty} b_n = e \)，从而证明 \( \lim_{n \to \infty} (1 +\frac{1}{n})^n = e \)。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)- \( g(x) = \ln(x) \)2. 利用导数求函数的单调区间：- 对于函数 \( h(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其单调增区间。

答案：1. 对于 \( f(x) \) 的导数，我们有：\[ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]对于 \( g(x) \) 的导数，我们有：\[ g'(x) = \frac{1}{x} \]2. 对于函数 \( h(x) \)，我们先求导：\[ h'(x) = 2x - 4 \]令 \( h'(x) > 0 \)，解得 \( x > 2 \)，因此 \( h(x) \) 在\( (2, \infty) \) 上单调增。

高数2-1复习题

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高数2-1复习题在高等数学的复习中，对于“高数2-1”的复习题，我们可以假设它涵盖了微积分的基础知识，包括极限、导数、积分等概念。

以下是一些复习题的示例：一、极限1. 计算下列极限：- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)- \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 4)\)- \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}\)2. 判断下列极限是否存在，并说明理由：- \(\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) - \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\)二、导数1. 求下列函数的导数：- \(y = x^3 - 2x^2 + 3x\)- \(y = \sin(x) + \cos(x)\)- \(y = e^x + \ln(x)\)2. 解下列微分方程：- \(y' = 3x^2 - 2x\)- \(y'' + y' - 6y = 0\)三、积分1. 计算下列不定积分：- \(\int x^2 + 3x + 2 \, dx\)- \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\)- \(\int e^x \sin(x) \, dx\)2. 应用定积分求面积：- 求曲线 \(y = x^2\) 与 \(x\) 轴在 \(0\) 到 \(1\) 之间的面积。

- 求由曲线 \(y = \sin(x)\)，直线 \(x = \pi\) 和 \(x = 0\) 所围成的图形的面积。

四、级数1. 判断下列级数的收敛性：- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)2. 求下列级数的和：- \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)- \(\sum_{n=0}^{\infty} n \cdot x^n\)，其中 \(|x| < 1\)五、多元函数微分学1. 求下列多元函数的偏导数：- \(z = x^2 + y^2\)- \(f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)\)2. 求多元函数的极值：- 给定函数 \(z = xy\)，求在 \(x^2 + y^2 = 1\) 上的最大值和最小值。

高数课后题答案及详解

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高等数学习题及答案一、填空题（每小题3分，共21分）1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2++2．函数22y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数是 .321+3．设有向量场k xz j xy i y A ++=2，则=A div . x 24．二重积分⎰⎰21),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .⎰⎰11),(ydx y x f dy5．幂级数∑∞=-13)3(n nnn x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知yx e z 2-=，而3,sin t y t x ==，则=dtdz3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分=⎰⎰⎰Ωdv 3 ，其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体.二、计算题（一）（每小题7分，共21分）1．设b a b a 与,5,2==的夹角为π32，向量b a n b a m -=+=317与λ相互垂直，求λ.解：由251732cos 52)51(1217)51(3022⋅-⋅⋅⋅-+=-⋅-+=⋅=πλλλλb b a a n m得.40=λ2．求过点)1,2,1(-且与直线⎩⎨⎧=--+=-+-04230532z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量为{}11,7,5213132=--=kj is取平面的法向量为s n=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S？并求出此法线方程.解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.182,}.,,{},,{xyxz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有由于由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线方程为188124-=-=-z y x三、计算题（二）（每小题7分，共21分）1．设)(x yxF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.yz y x z x∂∂+∂∂ 解：),()(u F xyu F y x z '-+=∂∂ )(u F x y z '+=∂∂ xy z xF xy yzy x z x+=+=∂∂+∂∂2 2．将函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞=+1)!1(n n n 的和. 解：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=--1!1!2111n x x n x x e并在),(+∞-∞内收敛。

高数练习题

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函数、极限与连续练习题一、单选题1、当0x →时，sin x x -是比2x （ ）。

A 、较低阶的无穷小B 、较高阶的无穷小C 、等价的无穷小D 、同阶但非等价无穷小2、下列等式成立的是（ ）。

A 、20sin lim 1x x x→= B 、20sin lim 1x x x →= C 、0sin lim1x x x →= D 、sin lim 1x x x →∞= 3、函数1arctan y x =-是（ ）A 、单调增加且有界函数B 、单调减少且有界函数C 、奇函数D 、偶函数 4、当0x →时，2tan x 与x 比较是（ ）。

A 、等价无穷小B 、同阶无穷小C 、较高阶的无穷小D 、较低阶无穷小5、设11y x =-，则1x =是函数y 的 A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点6、当0x →时，()2sin x x +与x 比较是（ ）。

A 、较高阶的无穷小B 、较低阶无穷小C 、等价无穷小D 、同阶无穷小7、当0x →时，a = ） A 、a 是比2x 高阶的无穷小 B 、a 是比2x 低阶的无穷小 C 、a 与2x 是同阶但不等价的无穷小 D 、a 与2x 是等价的无穷小8、函数(()ln ,y x x x R =∈是（ ）。

A 、偶函数B 、奇函数C 、非奇非偶函数D 、不能确定9、已知当0x →时，()12311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则a 的值为（ ）。

A 、32-B 、32C 、1D 、1410、若()0lim x x f x →存在，则（ ）。

A 、()f x 有界B 、()f x 在0x 的某空心邻域内有界C 、()f x 无界D 、()f x 在0x 点有定义11、函数x xx xe e y e e ---=+的反函数是（ ）。

A、(ln ,y y R ∈ B 、11ln,21yy R y+∈- C 、()()()11ln 1ln 1,1,122y y y +--∈- D 、,y y y ye e y R e e --+∈-12、函数21arcsin7x y -=的定义域为（ ）。