2019研究生数学考试数三真题

2019年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（C ）【解析】331~tan 3=∴--k x x x ，故选（C ） 2.已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞ （B ）),4(+∞（C ）)4,4(-（D ）），44(- 【答案】（D ）【解析】设k x x x f +-=5)(5，则55)(4-='x x f ，令0)(='x f ，得1±=x 由题意知，f(x)=0有3个实根，在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞分别具有一个实根，又(),(1)4,(1)4,()(1)40,(1)40f f k f k f f k f k -∞=-∞-=+=-++∞=+∞∴-=+=-+＞＜故44＜＜k -3.已知微分方程xce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）（A ）1, 0, 1 （B ）1, 0, 2 （C ）2, 1, 3（D ）2, 1, 4【答案】（D ）【解析】由题意，xe y =是非齐次方程的特解，x e x c c y -+=)(21是齐次方程的通解，因此-1是特征方程02=++b a λλ的二重根且c b a =++1，由此解得4,1,2===c b a 4.若∑∞=1n n un 绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） （A ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（B ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（C ）∑∞=1n nn vu 收敛 （D ）∑∞=1n nn vu 发散【答案】（B ） 【解析】∑∞=1n n n v 条件收敛故0lim =n v n，由有界性，0..n v C s t C n ∃≤＞，故n ·nu nn n n v u v nu C n =≤，而1n n nu ∞=∑收敛5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*A r （ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】（A ）【解析】A x =b 的基础解系中只有2个向量，所以4()2r A -=，则r(A)=2。

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设函数()y f x =在(),-∞+∞内连续，其导数如图所示，则（ ）（A ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（B ）函数有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点（C ）函数有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点（D ） 函数有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（2）已知函数(,)xe f x y x y=-，则 （A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）''x y f f f +=（3）设(i ,,)i i D T ==⎰⎰123，其中{}(,),D x y x y =≤≤≤≤10101，{{}(,),,(,),D x y x y D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤223010011，则（A ）T T T <<123 （B ）T T T <<312（C ）T T T <<231（D ）T T T <<213（4）级数为sin()n n k ∞=+∑1，（k 为常数） （A ）绝对收敛（B ）条件收敛 （C ）发散（D ）收敛性与k 有关（5）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A ）T A 与T B 相似（B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型222123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正负惯性指数分别为1,2，则（ ）（A ）1a >（B ）2a <- （C ）21a -<<（D ）1a =或2a =-（7）设,A B 为随机事件，0()1,0()1,P A P B <<<<若()1P A B =则下面正确的是（ ）（A ）()1P B A = （B ）()0P A B =（C ）()1P A B +=（D ）()1P B A =（8）设随机变量,X Y 独立，且(1,2),(1,4)XN Y ，则()D XY 为（A ）6（B ）8 （C ）14（D ）15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)已知函数()f x 满足x →=02，则lim ()____x f x →=0(10)极限limsin sin sin ____x n n n n n n →⎛⎫+++= ⎪⎝⎭201122．(11)设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =有方程()(,)x z y x f x z y +-=-221确定，则(),____dz=01．（12）设(){},|1,11D x y x y x =≤≤-≤≤，则22y D x e dxdy -⎰⎰=_______________.（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回的取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为4的概率为三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本题满分10分）求极限()410lim cos 22sin x x x x x →+16、（本题满分10分）设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数()Q Q p =，需求弹性(0)120pp ηη=>-，p 为单价（万元）(1)求需求函数的表达式(2)求100p =万元时的边际收益，并说明其经济意义。

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。