高等数学 第十二章 习题课
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( n ≠ 0,1)
当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n ≠ 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法
y1− n = z
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z = y 1− n ,
=e ∫
− ( 1− n ) P ( x ) dx
∫ (1− n ) P ( x )dx dx + C ). ( ∫ Q( x )(1 − n)e
形如 g ( y )dy = f ( x )dx
解法
∫ g( y )dy = ∫ f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 = f( ) x dx y 解法 作变量代换 u = x
(3) 可化为齐次的方程
dy ax + by + c 形如 = f( ) a1 x + b1 y + c1 dx
当Q( x ) ≡ 0,
∫ 解法 齐次方程的通解为 y = Ce
.
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
∫ P ( x )dx dx + C ]e − ∫ P ( x )dx y = [ ∫ Q( x )e
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy 形如 + P ( x ) y = Q( x ) y n dx
当c = c1 = 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x = X + h, y = Y + k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
(4) 一阶线性微分方程
形如
dy + P ( x ) y = Q( x ) dx
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
− P ( x ) dx
当 Q ( x ) ≡ 0,
xdy − ydx ⎛ y⎞ = d⎜ ⎟ x2 ⎝ x⎠
xdy + ydx = d (ln xy ) xy
xdx + ydy ⎞ ⎛1 = d ⎜ ln( x 2 + y 2 ) ⎟ x2 + y2 ⎠ ⎝2
xdy − ydx ⎛1 x + y⎞ = d ⎜ ln ⎟ 2 2 x − y ⎝2 x− y⎠
若 µ ( x , y ) ≠ 0 连续可微函数，且可使方程
µ ( x , y ) P ( x , y )dx + µ ( x , y )Q ( x , y )dy = 0成为全 微分方程.则称 µ ( x , y ) 为方程的积分因子 .
公式法:
1 ∂P ∂Q ) = f ( x) 若 ( − Q ∂y ∂ x 1 ∂Q ∂P − ) = g( y ) 若 ( P ∂x ∂y
令 y′ = P ( x ),
y′′ = P ′,
代入原方程, 得 P ′ = f ( x , P ( x )).
( 3)
特点 解法
y′′ = f ( y , y′ ) 型
不显含自变量 x .
令 y′ = P ( x ),
dp y′′ = P , dy
dp 代入原方程, 得 P = f ( y , P ). dy
积分因子
非非 变变 量量 可可 分分 离离
非非 全全 微微 分分 方方 程程
高阶方程 高阶方程
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
一、主要内容
一阶方程 一阶方程
基本概念 基本概念
二阶常系数线性 二阶常系数线性 方程解的结构 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 高阶方程 可降阶方程 可降阶方程 线性方程 线性方程 解的结构 解的结构
定理1;定理2 定理1;定理2 定理3;定理4 定理3;定理4
1.直接积分法 1.直接积分法 2.可分离变量 2.可分离变量 3.齐次方程 3.齐次方程 4.全微分方程 4.全微分方程 5.线性方程 5.线性方程
∫ f ( x ) dx ; 则 µ ( x) = e
∫ g ( y ) dy . 则 µ ( y) = e
观察法: 熟记常见函数的全微分表达式，通过观察 直接找出积分因子．
常见的全微分表达式
⎛ x2 + y2 ⎞ ⎟ xdx + ydy = d ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
xdy − ydx y = d ⎛ arctan ⎞ ⎟ ⎜ x⎠ x 2 + y2 ⎝
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问 题，叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
= ∫ Q ( x , y )dy + ∫ P ( x , y0 )d x ,
y x y0 x0
通解为
u( x , y ) = C .
用直接凑全微分的方法.
(7) 可化为全微分方程 形如
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0
∂P ∂ Q 非全微分方程 ( ≠ ). ∂y ∂x
(6) 全微分方程 形如
P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy = 0
其中 du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy
注意： 全微分方程 解法
⇔
∂ P ∂Q = ∂y ∂x
应用曲线积分与路径无关.
x y
0 0
u( x , y ) = ∫x P ( x , y )d x + ∫y Q( x0 , y )dy
类 型 类 型
待 定 系 数 法
特征方程的根 特征方程的根 及其对应项 及其对应项 f(x)的形式及其 f(x)的形式及其 特解形式 特解形式
6.伯努利方程 6.伯努利方程
微分方程解题思路
作变换
分离变量法 分离变量法
一阶方程 一阶方程
作 变 换 降 阶
全微分方程 全微分方程 线性方程 线性方程 特征方程法 特征方程法 待定系数法 待定系数法
x y 1 1 1 1 , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等. 可选用积分因子 2 x+ y x x y x + y y x
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n) = f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
y′′ = f ( x , y′ ) 型
特点 不显含未知函数 y . 解法
