专题02 平方差公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 例1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--＝ （3）原式 （4）原式例2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】先化简，再求值：（2a +3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a =．【答案】解：原式=（2a +3b +2a ﹣3b ）（2a +3b ﹣2a +3b ） =4a ×6b =24ab ，当a =，即ab =时，原式=24ab =4． 类型二、平方差公式的应用例3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x +y ）（x 2+y 2），当x =9，y =9时，x ﹣y =0，x +y =18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x =10，y =10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解，得到4x 3﹣xy 2=x （2x +y ）（2x ﹣y ），然后把x =10，y =10代入，分别计算出2x +y =及2x ﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：原式=x （4x 2﹣y 2）=x （2x +y ）（2x ﹣y ）， 当x =10，y =10时，x =10，2x +y =30，2x ﹣y =10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．同步练习一.选择题1．分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A.（﹣2y ﹣x ）（x +2y ） B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y +x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C.D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①；② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积应等于（ ） A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； .8. 若，将分解因式为__________.9. 分解因式：_________.10. 若，则是_________.11.若A =（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 12.已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a bab -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5121211202311_________m m aa +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422nx xx x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-14.已知（2a +2b +3）（2a +2b ﹣3）=72，求a +b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）.（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；；. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ； 【解析】 22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a bab a a b a b a b -=+-=++-()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.填空题 7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4； 【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6， 所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y =﹣2，x +y =2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m aa a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a +b ）+3][2（a +b ）﹣3]=72，即4（a +b ）2﹣9=72， 整理得：（a +b ）2=，开方得：a +b =±． 15.【解析】解：（1） 又为非零的自然数， ∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
平方差公式因式分解练习题1.x2 - 16可以写成(x+4)(x-4)的形式。
2.-x2+y2可以写成-(x+y)(x-y)的形式。
3.64-a2可以写成(8-a)(8+a)的形式。
4.4x2-9y2可以写成(2x+3y)(2x-3y)的形式。
5.36-25x2可以写成(6+5x)(6-5x)的形式。
6.16a2-9b2可以写成(4a+3b)(4a-3b)的形式。
7.此处有明显的格式错误，删除。
8.(x+p)2-(x+q)2可以写成(p+q)(2x+p+q)的形式。
9.16(m-n)2-9(m+n)2可以写成(5m-7n)(7m-5n)的形式。
10.9x2-(x-2y)2可以写成(3x+2y)(3x-2y)的形式。
11.4a2-16可以写成4(a+2)(a-2)的形式。
12.a5-a3可以写成a3(a2-1)的形式。
13.x4-y4可以写成(x2+y2)(x2-y2)的形式。
14.32a3-50ab2可以写成2a(16a2-25b2)的形式。
15.(49c2-36)可以写成(7c+6)(7c-6)的形式。
16.此处有明显的格式错误，删除。
17.-0.25a2m2+9可以写成(3-0.5am)(3+0.5am)的形式。
18.4-x2n可以写成(2+xn)(2-xn)的形式。
19.(a+b)2-1可以写成(a+b+1)(a+b-1)的形式。
20.4x2-9y2可以写成(2x+3y)(2x-3y)的形式。
21.(a+b-4)/(a+b)可以写成1-4/(a+b)的形式。
22.81a-16b可以写成(9a+4b)(9a-4b)的形式。
23.36-x2可以写成(6+x)(6-x)的形式。
24.8a3-2a(a+1)2可以写成2a(2a-1)(a+1)的形式。
25.-(b-c)2+4a2可以写成(2a+b-c)(2a-b+c)的形式。
26.1-16a4b4可以写成(1-4ab)(1+4ab)(1-4a2b2)(1+4a2b2)的形式。
人教版数学八年级上册14.3.2 公式法（第1课时）运用平方差公式因式分解导学案（含答案）14.3.2公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标1.进一步理解因式分解的意义.2.理解平方差公式的意义,弄清公式的形式和特征,会运用平方差公式分解因式.3.通过对比整式乘法和分解因式的关系,进一步发展逆向思维能力.学习策略1.结合实例掌握平方差公式形式和特征；2.牢记平方差公式.学习过程一.复习回顾：1.什么叫因式分解？2.平方差公式的内容？二.新课学习：知识点：利用平方差公式分解因式1.计算下列各式：(1) (a＋5)(a－5)；(2) (4m＋3n)(4m－3n).【答案】(1)(a＋5)(a－5)＝a2－52＝a2－25.(2)(4m＋3n)(4m－3n)＝(4m)2－(3n)2＝16m2－9n2.2.根据第1题的结果，利用数学“互逆”的思想分解因式：(1)a2－25；(2)16m2－9n2.【答案】(1)a2－25＝a2－52＝(a＋5)(a－5).(2)16m2－9n2＝(4m)2－(3n)2＝(4m＋3n)(4m－3n).3.观察上述两个问题特征，我们可以得出两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的，即a2-b2=.【答案】和；差；积；(a+b)(a-b)三.尝试应用：例1（1）4a2-9 （2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2解：（1）4a2-9=（2a+3）（2a-3）（2）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]＝（5x+5）（x﹣9）＝5（x+1）（x﹣9）；例2 （1）101×99 (2) 30.8×29.2．(1)101×99＝（100+1）×（100﹣1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999．(2)原式＝（30﹣0.8）（30+0.8）＝302﹣0.82＝900﹣0.64＝899.36．四.自主总结：a2-b2=(a+b)(a-b).即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.五.达标测试一、选择题1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(﹣b)2B.5m2﹣20mnC.﹣x2﹣y2D.﹣x2+92. 分解因式x4﹣1的结果是()A.(x+1)(x﹣1)B.(x2+1)(x2﹣1)C.(x2+1)(x+1)(x﹣1)D.(x+1)2(x﹣1)23. 如图，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)()A.3.5πB.12.25πC.27πD.35π4.因式分解x2y-4y的正确结果是()A.y(x+2)(x-2)B.y(x+4)(x-4)C.y(x2-4)D.y(x-2)25.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2二、填空题6. 因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝．7. 若m2-n2=6，且m-n=2，则3m+3n=__________.8. 小明抄在作业本上的式子x ﹣9y2（“ ”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．三、解答题9. 因式分解：（1）a4-16a2；（2）（m2+m）2-（m+1）2．10.如图，在一块边长为a的正方形纸板的四周，各剪去一个边长为b （b＜）的正方形．（1）用代数式表示阴影部分的面积；（2）利用因式分解的方法计算，当a=15.4，b=3.7时，求阴影部分的面积．参考答案1.D2.C3.D 解析：根据环形面积=大圆的面积-小圆的面积，然后代入数据计算.πR2-πr2=π(6.752-3.252)=π(6.75+3.25)(6.75-3.25)=35π.4.A 解析：先提取公因式y，再根据平方差公式进行因式分解即可求得答案.x2y-4y=y(x2-4)=y(x2-22)=y(x+2)(x-2).5. B 解析：因为图甲中阴影部分的面积=a2-b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a-b），而两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b）．6. 4（2x+y）（x+2y）．解：原式＝[3（x+y）]2﹣（x﹣y）2＝（3x+3y+x﹣y）（3x+3y﹣x+y）＝（4x+2y）（2x+4y）＝4（2x+y）（x+2y）．7. 9 解析：因为m2-n2=6，且m-n=2，所以m2-n2=（m+n）（m-n）=2（m+n）=6，所以m+n=3，所以3m+3n=3（m+n）=3×3=9．8.解析：①当＝2时，x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y），②当＝4时，x4﹣9y2＝（x2+3y）（x2﹣3y），综上所述整式分解因式的结果：（x+3y）（x﹣3y）或（x2+3y）（x2﹣3y）．6.（2n-1）（2n+1）=（2n）2-19.解：（1）a4-16a2；=a2（a2-16）=a2（a+4）（a-4）；（2）（m2+m）2-（m+1）2=（m2+m+m+1）（m2+m-m-1）=（m+1）2 （m+1）（m-1）=（m+1）3（m-1）．10.解：（1）阴影的面积a2-4b2，（2）当a=15.4，b=3.7时，原式=（a+2b）a-2b）=（15.4+7.4）（15.4-7.4）=22.8×8=182.4．。
