线性代数-行列式的定义

第1章行列式一、n阶行列式1、定义1：由自然数1，2，···，n组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为排列。

2、定义2：在一个n级排列（i1i2···i t···i s···i n）中，若数i t·＞i s，则称数i t与i s构成一个逆序。

一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N（i1i2···i t···i s···i n）。

3、定义4：由n2个元素a ij（i，j=1，2，···，n）组成的记号，称为n阶行列式。

而此行列式的值可以表示为：D=∑（-1）N（j1j2···jn）a1j1 a2j2···a njn4、定义5：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的方法称之为对换。

5、定理1：任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变。

6、推论1：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数是偶数。

7、定理2：n个自然数（n＞1）共有n！个n级排列，其中奇偶排列各占一半。

8、定理3：n阶行列式也定义为：D=∑（-1）S a i1j1 a i2j2···a injn其中S为行标和列标的逆序数之和，即S=N（i1i2···i n）+N（j1j2···j n）二、行列式的性质1、性质1：行列式与它的转置行列式相等，即D=D T。

2、性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。

3、推论1：若行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。

4、性质3：用数k乘行列式某一行（列），等于用数k乘此行列式。

线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。

2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。

在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。

一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。

1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。

- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。

- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。

- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。

- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。

行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。

在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。

本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。

1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。

对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。

这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。

它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。

这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。

2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。

它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。

具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。

这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。

3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。

它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。

这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。

对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。

这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。

行列式一、 行列式的定义对于n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nin n a a a a a a a a a A 22222111211， （11—2—1）与之相联系的一个数，表示成nnn ninna a a a a a a a a22222111211， （11—2—2）称为一个n 阶行列式或A 的行列式，记为A 或A det 。

在行列式中，ij a 也称为元素。

为了规定行列式的值，我们引入下面的概念。

定义 1 在方阵（11—2—1）中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的()21-n 个元素按原来的排法构成的一个1-n 阶行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-，称为元素ij a 的余子式，记为ij M 。

()ij ji M +-1称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A 。

例1 在四阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----132********33112 中，第2行第3列的元素5的余子式是12420131223--=M 。

而其代数余子式为()321+-乘它的余子式M ，即12420131223---=A 。

定义2 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素的值。

n 阶行列式（2≥n ）的值规定为它任意一行的各元素与对应的代数余子式的乘积之和。

用符号表示，就是()∑∑=+=-==nj ij ij ji nj ij ij M a A a A 111。

上式称为行列式按第i 行展开。

可以证明，这个值与展开时所用的行是没有关系的（见例3）。

例2 用定义展开二阶行列式22211211a a a a 。

解 按第1行展开。

因为()222211111a a A =-=+，()212121121a a A -=-=+，于是得这个行列式的值为2112221112121111a a a a A a A a -=+。

行列式的基本概念===========行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一个由矩阵元素构成的数学表达式。

本篇文章将详细介绍行列式的定义、性质、运算、应用、发展历程、相关问题与技巧以及在数学中的地位与价值。

1. 行列式的定义--------行列式是由一个方阵的元素构成的数学表达式。

它可以看作是矩阵的一种性质，用于求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。

行列式的定义如下：设A是一个n阶方阵，即A是一个n行n列的矩阵，A的行列式记作det(A)，并且满足以下性质：1. 交换律：det(A)=det(AT)，其中AT为A的转置矩阵。

2. 结合律：对于任意的常数k，det(kA)=k^n * det(A)。

3. 单位元：当A为n阶单位矩阵I时，det(I)=1。

2. 行列式的性质--------行列式具有以下性质：1. 如果矩阵A中有两行或两列相等，则det(A)=0。

2. 如果矩阵A是一个对称矩阵，那么它的行列式等于它的主对角线上的元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann - a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

3. 如果矩阵A是一个埃尔米特矩阵（即AT=A），那么它的行列式等于它的特征值的乘积。

即det(A)=a11*a22*...*ann * a12*a21*...*ann+a1n*a2n*...*an-1,n-1。

4. 如果矩阵A是一个可逆矩阵，那么它的行列式不等于零。

即det(A)!=0。

5. 如果矩阵A是一个正定矩阵，那么它的行列式大于零。

即det(A)>0。

6. 如果矩阵A是一个负定矩阵，那么它的行列式小于零。

即det(A)<0。

7. 如果矩阵A是一个半正定矩阵，那么它的行列式大于等于零。

即det(A)>=0。

8. 如果矩阵A是一个半负定矩阵，那么它的行列式小于等于零。

即det(A)<=0。

行列式定义的理解
行列式是线性代数中的重要概念之一。

它是一个方阵所对应的一个数，通常用det(A)或|A|来表示，其中A为一个n×n的方阵。

行列式在各种领域中都有广泛的应用，如线性代数、微积分、概率论、统计学等等。

首先，我们来看行列式的定义。

对于一个2×2的矩阵A，其行列式定义为：
|A| = ad - bc
其中a、b、c、d为矩阵A中的元素，如下所示：
a b
c d
|A| = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg
d e f
g h i
|A| = Σ(a1jA1j)，其中j为1,2,...,n
其中a1j表示A中第1行第j列的元素，A1j表示将A中第1行和第j列删去后所得的(n-1)×(n-1)的方阵，而Σ表示对所有的j求和。

行列式的定义其实比较抽象，不太容易理解，但是行列式却具有很重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解行列式，并实际应用到解决问题中。

首先，行列式的值可以为0。

如果一个方阵中有一行（或一列）的元素全部为0，那么该方阵的行列式的值就是0。

另外，如果一个方阵中有两行（或两列）的元素成比例，那么该方阵的行列式的值也是0。

其次，行列式的值可以是正数或负数。

这个符号取决于该方阵经过一系列的初等变换变为的行阵形矩阵中有多少个对角线上的元素为负数。

如果对角线上有奇数个负数，行列式的值就是负数，否则就是正数。

行列式的定义计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，用于描述线性方程组的解的性质。

行列式广泛应用于数学、物理、工程等领域，具有重要的理论和实际价值。

本文将详细介绍行列式的定义和计算方法，并通过实例加以说明。

行列式是线性代数中独特的一个概念，它起源于19世纪初，由日本数学家关孝和引入并发展起来。

行列式在线性代数中具有非常重要的地位，它与线性方程组的解有密切的关联。

掌握行列式的定义和计算方法，对于理解线性代数的相关概念和解决实际问题具有重要的意义。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它可以用来判断矩阵的很多性质和计算线性方程组的解。

对于一个n阶矩阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中a_ij表示在矩阵A中第i行、第j列的元素。

二、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算：对于一个2x2的矩阵A=(a_11 a_12; a_21 a_22)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212. 三阶行列式的计算：对于一个3x3的矩阵A=(a_11 a_12 a_13; a_21 a_22 a_23; a_31 a_32 a_33)，它的行列式计算公式为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33 + a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32- a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_123. 高阶行列式的计算：对于高于三阶的行列式，我们通常使用拉普拉斯展开法来计算。

选择行或列，然后对该行或列的元素依次乘以其代数余子式，再按正负号加和，即可得到行列式的值。

【举例说明】为了更好地理解行列式的计算方法，我们通过一个实例来进行说明。

考虑一个3x3的矩阵A=(1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，我们将按照上述的计算方法来求解其行列式值。

行列式表示的多项式在数学中，多项式是一种常见的数学对象，它由一系列项组成，每个项包含一个系数和一个变量的幂次。

多项式在代数学、微积分学、数论等领域都有广泛的应用。

而行列式则是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵的一个标量值，具有很多重要的性质。

本文将介绍行列式表示的多项式，探讨它们的性质和应用。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的一个标量值，它的定义如下：对于一个n阶方阵A=(a_ij)，它的行列式记作det(A)，其中当n=1时，det(A)=a_11；当n>1时，det(A)=∑(-1)^(i+j)a_ijdet(A_ij)，其中A_ij是A去掉第i行第j列后得到的(n-1)阶方阵。

二、我们可以将一个多项式表示为一个n阶方阵的行列式，这个方阵的元素是多项式的系数和幂次。

例如，对于一个三次多项式f(x)=2x^3+3x^2-4x+1，我们可以构造一个3阶方阵A=(a_ij)，其中a_11=2，a_12=3，a_13=-4，a_14=1；a_21=1，a_22=0，a_23=0，a_24=0；a_31=0，a_32=1，a_33=0，a_34=0；a_41=0，a_42=0，a_43=1，a_44=0。

则f(x)=det(A)。

同样地，对于一个n次多项式f(x)，我们可以构造一个n阶方阵A，使得f(x)=det(A)。

这个方阵的构造方法是将多项式的系数和幂次按照一定的规律填入方阵中。

三、行列式表示的多项式的性质行列式表示的多项式具有很多重要的性质，下面介绍其中的几个。

1. 行列式表示的多项式的次数等于方阵的阶数。

这个性质可以通过行列式的定义和多项式的定义来证明。

由于每个项都包含一个变量的幂次，因此方阵的阶数就是多项式的次数。

2. 行列式表示的多项式的系数是方阵元素的代数余子式。

代数余子式是一个方阵元素的代数余数，它的计算方法是将这个元素所在的行和列删去后得到的(n-1)阶方阵的行列式乘以(-1)^(i+j)。