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时案例2 秦九韶算法（一）导入新课思路1（情境导入）大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算法.思路2（直接导入）前面我们学习了辗转相除法与更相减损术，今天我们开始学习秦九韶算法.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：（1）怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？一个自然的做法就是把5代入多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时，我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值，然后依次计算x2·x，（x2·x）·x，（（x2·x）·x）·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法，计算机能更快地得到结果.（2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.（3）计算机的一个很重要的特点就是运算速度快，但即便如此，算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论的算法.（三）应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v 0=5；v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.算法分析：观察上述秦九韶算法中的n 个一次式，可见v k 的计算要用到v k-1的值，若令v 0=a n ，我们可以得到下面的公式：⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.算法步骤如下：第一步，输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为a n ，将i 的值初始化为n-1.第三步，输入i 次项的系数a i .第四步，v=vx+a i ,i=i-1.第五步，判断i 是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.程序框图如下图：程序：INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i ＞=0PRINT “i=”；iINPUT “ai=”；av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图.解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可.程序框图如下图：例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n，如果在一种算法中，计算k x0（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案：65 20点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7.计算的过程可以列表表示为：最后的系数2 677即为所求的值.算法过程：v0=2；v1=2×5－5=5；v2=5×5－4=21；v3=21×5+3=108；v4=108×5－6=534；v5=534×5+7=2 677.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.（四）知能训练当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值．解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时，多项式的值为238.解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238．（五）拓展提升用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=7×3+6=27；v2=27×3+5=86；v3=86×3+4=262；v4=262×3+3=789；v5=789×3+2=2 369；v6=2 369×3+1=7 108；v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.（六）课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.（七）作业已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.。
数学学案——秦九韶算法与排序（1）教学目标（a ）知识与技能1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
2.掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（b ）过程与方法模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（c ）情态与价值通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进。
（2）教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点2.两种排序法的排序步骤及计算机程序设计难点：1.秦九韶算法的先进性理解2.排序法的计算机程序设计（3）学法与教学用具学法：1.探究秦九韶算法对比一般计算方法中计算次数的改变，体会科学的计算。
2.模仿排序法中数字排序的步骤，理解计算机计算的一般步骤，领会数学计算在计算机上实施的要求。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器（4）教学设想（一）创设情景，揭示课题我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。
根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。
我们把多项式变形为：1)))1(1(1()(2+++++=x x x x x x f 再统计一下计算当5=x 时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。
显然少了6次乘法运算。
这种算法就叫秦九韶算法。
（二）研探新知1.秦九韶计算多项式的方法1210123120132211012211)))((())(()()(a a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x f n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++==+++++=+++++=+++++=--------------例1 已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 用秦九韶算法求这个多项式当5=x 时的值。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n-1＋…+a1x＋a0，当x＝x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为A.，n，nB.n，2n，nC.0，2n，nD.0，n，n2．三个数4 557，1 953，5 115的最大公约数是A.31B.93C.217D.6513．用秦九韶算法，求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4的值时，v4的值为A.－57B.220C.－845D.3 3924．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x).②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x).③需要计算5次乘法，5次加法.马鸣风萧萧马鸣风萧萧④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是________(填序号).5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是____.6．分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数.7．用秦九韶算法计算在时的值，并判断多项式在区间上有没有零点.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；(2)用更相减算术求440与556的最大公约数.能力提升1．用秦九韶算法计算多项式当时的值.2．求612,396,264的最大公约数.1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法详细答案【基础过关】1．D2．B3．B【解析】由秦九韶算法，得υ0＝3，υ1＝3×(－4)＋5＝－7，υ2＝－7×(－4)＋6＝34，υ3＝34×(－4)＋79＝－57，υ4＝－57×(－4)－8＝220.4．②③【解析】本题考查了辗转相除法.①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误.5．62【解析】多项式变形为f(x)=3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，υ0＝3υ1＝3×(－4)＋12＝0，υ2＝0×(－4)＋6＝6，υ3＝6×(－4)＋10＝－14，υ4＝－14×(－4)－8＝48，所以υ4最大，υ3最小，所以υ4－υ3＝48＋14＝62.6．辗转相除法：1 734＝816×2＋102，816＝102×8(余0)，所以1 734与816的最大公约数是102.更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.867－408＝459，马鸣风萧萧马鸣风萧萧459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以1 734与816的最大公约数是51×2＝102. 7．因为2=x ()1)2)0)0)3)0)58((((((12358467+++++++=++++=x x x x x x x x x x x x f 所以80=v21528501=+⨯=+=x v v42221012=⨯=+=x v v873242323=+⨯=+=x v v174287034=⨯=+=x v v348217445=⨯==x v v69822348256=+⨯=+=x v v139712698167=+⨯=+=x v v所以1397)2(=f .又当1-=x 时01)1(<-=-f ，且01397)2(>=f ，所以01397)2()1(<-=-f f所以多项式()x f 在区间[]2,1-上有零点.【解析】本题考查了秦九韶算法.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数如下：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数是84.(2)用更相减损术求440与556的最大公约数如下：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝208，208－116＝92，116－92＝24，92－24＝68， 68－24＝44，44－24＝20，24－20＝4，20－4＝16，16－4＝12，12－4＝8，8－4＝4.所以440与556的最大公约数是4.【能力提升】1．所以所以.【解析】本题考查了秦九韶算法.2．由辗转相除法可得：612=396×1+216；396=216×1+180；216=180×1+36；180=36×5；所以612和396的最大公约数为36，又264=36×7+12；36=12×3，所以264和36的最大公约数为12，综上三个数612,396,264的最大公约数是12. 【解析】本题考查了辗转相除法或更相减损术.马鸣风萧萧。
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．用秦九韶算法求n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n -1＋…+a 1x ＋a 0，当x ＝x 0时，求f (x 0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为A.n(n+1)2，n ，nB.n ，2n ，nC.0，2 n ，nD.0，n ，n2．三个数4 557，1 953，5 115的最大公约数是A.31B.93C.217D.6513．用秦九韶算法，求多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6当x ＝－4的值时，v 4的值为A.－57B.220C.－845D.3 392 4．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1在x ＝－2时的值：①第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝7x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x ＋1.第三步，输出f (x ).②第一步，x ＝－2.第二步，f (x )＝((((7x ＋5)x ＋10)x ＋10)x ＋5)x ＋1.第三步，输出f (x ).③需要计算5次乘法，5次加法.④需要计算9次乘法，5次加法.以上说法中正确的是________(填序号).5．用秦九韶算法求多项式f (x )＝1－5x －8x 2＋10x 3＋6x 4＋12x 5＋3x 6当x ＝－4时的值时，v 0，v 1，v 2，v 3，v 4中最大值与最小值的差是____.6．分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数.7．用秦九韶算法计算f(x)=8x 7+5x 6+3x 4+2x +1在x =2时的值，并判断多项式f(x)在区间[−1,2]上有没有零点.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；(2)用更相减算术求440与556的最大公约数.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 & 能力提升1．用秦九韶算法计算多项式f(x)=x4+2x3+3x2+4x+5当x=3时的值.2．求612,396,264的最大公约数.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &1.3 第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法【基础过关】1．D2．B3．B【解析】由秦九韶算法，得υ0＝3，υ1＝3×(－4)＋5＝－7，υ2＝－7×(－4)＋6＝34，υ3＝34×(－4)＋79＝－57，υ4＝－57×(－4)－8＝220.4．②③【解析】本题考查了辗转相除法. ①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确.对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误.5．62【解析】多项式变形为f(x)=3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，υ0＝3υ1＝3×(－4)＋12＝0，υ2＝0×(－4)＋6＝6，υ3＝6×(－4)＋10＝－14，υ4＝－14×(－4)－8＝48，所以υ4最大，υ3最小，所以υ4－υ3＝48＋14＝62.6．辗转相除法：1 734＝816×2＋102，816＝102×8(余0)，所以1 734与816的最大公约数是102.更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数.867－408＝459，鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷459－408＝51，408－51＝357，357－51＝306，306－51＝255，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51.所以1 734与816的最大公约数是51×2＝102.7．因为2=x ()1)2)0)0)3)0)58((((((12358467+++++++=++++=x x x x x x x x x x x x f 所以80=v21528501=+⨯=+=x v v42221012=⨯=+=x v v873242323=+⨯=+=x v v174287034=⨯=+=x v v348217445=⨯==x v v69822348256=+⨯=+=x v v139712698167=+⨯=+=x v v所以1397)2(=f .又当1-=x 时01)1(<-=-f ，且01397)2(>=f ，所以01397)2()1(<-=-f f所以多项式()x f 在区间[]2,1-上有零点.【解析】本题考查了秦九韶算法.8．(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数如下：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数是84.(2)用更相减损术求440与556的最大公约数如下：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝208，208－116＝92，116－92＝24，92－24＝68， 68－24＝44，44－24＝20，24－20＝4，20－4＝16，16－4＝12，12－4＝8，& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &8－4＝4.所以440与556的最大公约数是4.【能力提升】1．f(x)=x4+2x3+3x2+4x+5=(((x+2)x+3)x+4)x+5所以v0=1v1=v0x+2=1×3+2=5v2=v1x+3=3×3+3=12v3=v2x+4=11×3+4=37v4=v3x+5=37×3+5=116所以f(3)=116.【解析】本题考查了秦九韶算法.2．由辗转相除法可得：612=396×1+216；396=216×1+180；216=180×1+36；180=36×5；所以612和396的最大公约数为36，又264=36×7+12；36=12×3，所以264和36的最大公约数为12，综上三个数612,396,264的最大公约数是12.【解析】本题考查了辗转相除法或更相减损术.。
人教A高中数学必修3同步训练1．用更相减损术求294和84地最大公约数时，需做减法地次数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42＝42，故选C.2．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时地值，则需要做乘法运算和加减法运算地次数分别为( )A．4，2 B．5，3C．5，2 D．6，2解析：选 C.f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．3．将二进制数10001(2)化为五进制数为( )A．32(5)B．23(5)C．21(5)D．12(5)解析：选A.将10001(2)化为十进制数为：10001(2)＝1×24＋0×23＋0×22＋0×21＋1×20＝17，将17化为五进制数为32(5)，∴10001(2)＝32(5)．4．378与90地最大公约数为________．解析：辗转相除法：378＝90×4＋18，90＝18×5＋0，∴378与90地最大公约数是18.答案：181．45和150地最大公约数和最小公倍数分别是( )A．5，150 B．15，450C．450，15 D．15，150解析：选B.利用辗转相除法求45和150地最大公约数：150＝45×3＋15，45＝15×3，所以45和150地最大公约数为15.所以45和150地最小公倍数为15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故选B.2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4地值时，先算地是( )A．4×4＝16 B．7×4＝28C．4×4×4＝64 D．7×4＋6＝34解析：选D.因为f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x ＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4地值时，先算地是7×4＋6＝34.3．二进制数算式1010(2)＋10(2)地值是( )A．1011(2)B．1100(2)C．1101(2)D．1000(2)解析：选 B.1010(2)＋10(2)＝(1×23＋0×22＋1×21＋0×20)＋(1×21＋0×20)＝12＝1100，故选(2)B .4．已知一个k进制地数132与十进制地数30相等，那么k等于( )A．7或4 B．－7C．4 D．都不对＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋解析：选 C.132(k)2，∴k2＋3k＋2＝30，即k2＋3k－28＝0，解得k＝4或k＝－7(舍去)．5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时地值时，v3地值为( ) A．27 B．11C．109 D．36解析：选D.将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1，由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.6．由389化为地四进制数地末位为( ) A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.以4作除数，相应地除法算式为，故选C.∴389＝12011(4)7．七进制数中各个数位上地数字只能是________中地一个．解析：“满几进一”就是几进制．∵是七进制．∴满七进一，根本不可能出现7或比7大地数字，所以各个数位上地数字只能是0、1、2、3、4、5、6中地一个．答案：0、1、2、3、4、5、68．将八进制数127化成二进制数为________．(8)化为十进制数：解析：先将八进制数127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，127(8)再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．答案：1010111(2) 9．下列各数①111111(2)②210(6)③1000(4)④81(8)最大数为________，最小数为________．解析：可以考虑将①②③④中地数都转换成十进制，那么①中111111(2)＝63；②中210(6)＝78；③中1000(4)＝64；④中81(8)＝65.作比较，可知①地数最小，②地数最大．答案：②①10．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，试用秦九韶算法求f(10)地值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝((x－2)x－5)x＋6.我们把x＝10代入函数式，得f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.转化为二进制数．11．把110(5)＝1×52＋1×51＋0×50＝30，解：110(5)30＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋0×20＝11110(2)，即110(5)＝11110(2)．12．利用秦九韶算法分别计算f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1在x＝2与x＝－1时地值，并判断多项式f(x)在区间[－1，2]有没有零点．解：∵f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x ＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1，且x＝2，∴v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.∴当x＝2时，f(x)＝1397.同理可求当x＝－1时，f(x)＝－1，又∵f(－1)f(2)＝－1397<0，则多项式f(x)在区间[－1，2]上有零点．。
第一章算法初步1.3 算法案例A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的个数为()①辗转相除法也叫欧几里得算法；②辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；③求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法；④编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1B．2C．3D．4解析：依据辗转相除法可知，①②④正确，③错误．答案：C2．用更相减损术求48和132的最大公约数时，需做减法的次数是()A．2 B．3 C．4 D．5解析：132－48＝84，84－48＝36，48－36＝12，36－12＝24，24－12＝12.答案：D3．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A．4，2 B．5，3 C．5，2 D．6，2解析：f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．答案：C4．已知一个k进制的数123与十进制的数38相等，那么k等于()A．7或5 B．－7C．5 D．都不对解析：(123)(k)＝1×k2＋2×k＋3＝k2＋2k＋3，所以k2＋2k＋3＝38，即k2＋2k－35＝0.解得k＝5或k＝－7(舍去)．答案：C5．已知44(k)＝36，把67(k)转化为十进制数为()A．8 B．55C．56 D．62解析：当题意得，36＝4×k1＋4×k0，所以k＝8.则67(k)＝67(8)＝6×81＋7×80＝55.答案：B二、填空题6．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________．解析：f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2；v1＝2×3＋0＝6；v2＝6×3＋1＝19.答案：197．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，则f(10)＝________．解析：f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6＝[(x－2)x－5]x＋6.当x＝10时，f(10)＝[(10－2)×10－5]×10＋6＝(8×10－5)×10＋6＝75×10＋6＝756.答案：7568．已知1 0b1(2)＝a02(3)，则(a，b)＝________．解析：因为1 0b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2，所以2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7.因为a∈{1，2}，b∈{0，1}，所以当a＝1时，b＝1符合题意，当a＝2时，b＝112不合题意，所以a＝1，b＝1.所以(a，b)＝(1，1)．答案：(1，1)三、解答题9．分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数．解：辗转相除法：319＝261×1＋58，261＝58×4＋29，58＝29×2.所以319与261的最大公约数是29.更相减损术：319－261＝58，261－58＝203，203－58＝145，145－58＝87，87－58＝29，58－29＝29，所以319与261的最大公约数是29.10．已知函数f(x)＝x3－3x2－4x＋5，试用秦九韶算法求f(2)的值．解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝x3－3x2－4x＋5＝(x2－3x－4)x＋5＝((x－3)x－4)x＋5.把x＝2代入函数式得f(2)＝((2－3)×2－4)×2＋5＝－7.B级能力提升1．m是一个正整数，对于两个正整数a，b，如果a－b是m的倍数，则称a，b对模m同余，用符号ab(MOD m)表示，则下列各式中不正确的为()A．127(MOD 5) B．2110(MOD 3)C．3420(MOD 2) D．477(MOD 40)解析：逐一验证，对于A，12－7＝5是5的倍数；对于B，21－10＝11不是3的倍数；对于C，34－20＝14是2的倍数；对于D，47－7＝40是40的倍数．答案：B2．324，243，135三个数的最大公约数是________．解析：324＝243×1＋81，243＝81×3，所以243与324的最大公约数是81.又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2＋0，所以135与81的最大公约数是27.答案：273．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________________．解析：将三个数都化为十进制数．12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，所以33(4)＜12(16)＜25(7)．答案：33(4)＜12(16)＜25(7)。
