高中数学必修一总结
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整体分析：
高中数学教材必修1内容一共有三章，其中第一章“集合与函数概念”是整个高中数学的基础，是非常重要的一章基础内容；第二章“基本初等函数”是继第一章之后的扩展与运用，进一步加强了第一章学习的函数的概念，在以后的学习中用的也非常多；第三章内容相对简单，涉及到函数的具体运用。
总体而言，是一个从基础到运用的逐层推进的结构。
章节内容总结：
第一章集合与函数概念
1.1集合
1、集合的定义：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）
2、集合的特征：
确定性、无序性、互异性
3、集合的表示
（1）用大写的拉丁字母A、B、C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素；
（2）数学中常用的数集及其记法：
N 自然数集
正整数集
N*或N
+
Z 整数集
Q 有理数集
R 实数集
（3）集合的表示方法：列举法（将集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来）、描述法（用集合所含元素的共同特征表示集合）
4、集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）；
（2）相等：如果集合A 与集合B 中的元素是一样的，则称集合A 与集合B 相等，记作A=B ；
（3）真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B ∈x ，且A ∉x ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ≠
⊂
B ；
（4）空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集。
5、集合的基本运算
（1）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作B A ⋃(读作“A 并B ”)，即
B A ⋃=}{B x A x x ∈∈，或
（2）交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集，记作B A ⋃(读作“A 并B ”)，即
B A ⋂=}{B x A x x ∈∈，且
（3）补集：
①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有
元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ；
②补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组
成的集合称为集合A 相对于集合U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ，即
C U A=}{A x U x x ∉∈，且
1.2函数及其表示
1、定义：设A,B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f ：A →B
为从集合A 到集合B 的一个函数，记作
y=f(x), x∈A
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}{A x x f ∈)(叫做函数的值域。
（函数的构成要素：定义域、对应关系、值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数相等）
2、函数的表示方法：解析法、图像法、列表法
3、函数的基本性质： （1）单调性与最大（小）值
①单调性：一般地，设函数f(x)的定义域为I ：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2
时都有f(x 1)＜f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时都有f(x 1)＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数。
如果函数y=f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f （x ）在这一区间
具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f （x ）的单调区间。
②最大（小）值
一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
a. 对于任意的x I ∈，都有f(x)M ≤；
b. 存在x 0I ∈，使得f(x 0)=M.
那么，我们称M 是函数y=f （x ）的最大值。
（2）奇偶性
一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）= f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数；
一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=- f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数。
（偶函数关于y 轴直线对称，奇函数关于原点中心对称）
第二章 基本初等函数 1、指数函数 （1）整数指数幂
a m ·a n =a m+n (ab)n =a n ·
b n (a m )n =a mn （2）根式
①定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n ∈N *
②负数没有偶次方根（任何一个数的偶次方都是非负数）
0的任何次方都是0，记作n
式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数
③性质：当n 为奇数时，
n
a
n
=a
当n 为偶数时， n
a
n
=a =⎩⎨
⎧<-≥00a a a a ，，
（3）分数指数幂 ①定义：规定n
m
n
m a
a
=（a>0，m 、n ∈N*且n>1）
a
a
n
m n
m 1
=
- （a>0，m 、n ∈N*且n>1）
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义 ②运算性质： a r ·a s =a r+s (a r )s =a r ·s (ab)r =a r ·b r
a>0, b>0，r 、s ∈Q
（4）无理指数幂aɑ（a>0，ɑ是无理数）是一个确定的实数，运算性质同有理指数幂。
（5）指数函数及其性质
①定义：一般地，函数y=a x（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R
②性质：y=a x（a>0,且a≠1）
a>1 0<a<1
图
象
性
质(1)定义域：R
(2)值域：(0，+∞)
(3)过点(0,1)，即x=0时，y=1
(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数
2、对数函数
（1）对数：一般地，如果a x=N（a>0，且a1
≠），那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=㏒a N，
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
负数和零没有对数，㏒
a 1=0，㏒
a
a=1
（2）对数的运算性质：
如果a>0，且a1
≠，M>0，N>0，那么：
①㏒a (M ·N)= ㏒a M+㏒a N ；
②㏒a N M
= ㏒a M-㏒a N ；
③ ㏒a M n =n ㏒a M （n R ∈）。
（3）对数函数及其性质
（1）定义：一般地，我们把函数y=㏒a x （a>0，且a 1≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，∞+）。
（2）图象及性质：
a>1
0<a<1 图象
性质
(1)定义域：（0，∞+） (2)值域： R
(3)过定点（1,0） (4)在(0,+∞)上是增函数
（4）在(0,+∞)上是减函数
3、幂函数：一般地，函数y=x ∂
叫做幂函数，其中x 是自变量，∂是常数。
第三章 函数的应用 1、 函数与方程：
（1） 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)
有零点；
[]b a,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有（2）如果函数y=f(x)在区间
f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在
c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
2、用二分法求方程的近似解
[]b a,上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通二分法：对于在区间
过不断地把函数f(x)的零点所在的区间二分为一，使区间的两个端点逐步逼
近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
