§1 参数方程的概念
1．理解参数方程的概念，了解参数方程的几何意义和物理意义． 2．能够根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程．
3．理解参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握它们的互化法则．
1．参数方程的概念
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数?
????
x ＝f t ，y ＝g t ，①并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的________，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作______，简称____．
相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的________．
【做一做1－1】已知参数方程?
??
??
x ＝2cos θ，
y ＝2sin θ(θ∈[0,2π))．判断点A (1，3)和
B (2,1)是否在方程的曲线上．
【做一做1－2】P (x ，y )是曲线???
?
?
x ＝2＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)上任意一点，则
x －5
2＋y ＋42
的最大值为__________．
2．参数的取值范围
在参数方程中，应明确参数t 的取值范围．对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的．如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的____．
参数方程不一定局限在平面直角坐标系当中，其他的坐标系也可以采用参数方程．
【做一做2】化参数方程?
????
x ＝－4t 2
，
y ＝t ＋1(t 为参数，t ≥0)为普通方程，并说明方程的曲
线是什么图形．
曲线的参数方程的特点
剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x ，y 间的间接联系．在具体问题中，参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值．在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取．一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 之间的相互关系比较明显，容易列出方程．参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程．但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数的个数一般应尽量少．
答案：
1．参数方程 参变数 参数 普通方程
【做一做1－1】分析：把A ，B 两点的坐标分别代入方程验证即可． 解：把A ，B 两点的坐标分别代入方程，
得??
?
1＝2cos θ，3＝2sin θ，
①
?
??
??
2＝2cos θ，1＝2sin θ，②
在[0,2π)内，方程组①的解是θ＝π
3
，而方程组②无解，故点A 在方程的曲线上，而
点B 不在方程的曲线上．
【做一做1－2】6 由题意，设d 2＝(x －5)2＋(y ＋4)2＝(2＋cos α－5)2
＋(sin α＋
4)2
＝8sin α－6cos α＋26＝10sin(α－φ)＋26，其中φ为锐角，tan φ＝34
.
∴d 2
max ＝10＋26＝36，从而d max ＝6， 即x －52＋y ＋42的最大值为6. 2．交集
【做一做2】分析：把参数t 消掉，注意范围．
解：?
??
??
x ＝－4t 2
，y ＝t ＋1消去t ，得x ＝－4(y －1)2
(y ≥1)．
即(y －1)2
＝－14
x (y ≥1)．
所以方程的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．
题型一 求曲线的参数方程
【例1】如图，已知点P 是圆x 2＋y 2
＝16上的一个动点，点A 是x 轴上的一个定点，坐标为(12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹．
分析：写出圆的参数方程，利用中点坐标公式得到点M 的参数方程，从而求出其轨迹． 反思：解答本题时，应先写出圆的参数方程，然后利用中点坐标公式求解，对轨迹的判断也要特别注意．
题型二 参数方程的应用
【例2】已知点P (x ，y )是曲线C ：??
?
x ＝3＋cos θ，
y ＝2＋3sin θ
上的任意一点，求3x ＋y 的取
值范围．
反思：利用参数方程求最值，可以把问题直接转化成三角函数问题，从而使整个运算过程得到了简化．
题型三 易错题型
【例3】将参数方程?
????
x ＝2＋sin 2
θ，
y ＝sin 2
θ(θ为参数)化为普通方程为( )．
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x ＋2
C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)
D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)
错解：将参数方程中s in 2
θ消去，得y ＝x －2，故选A.
错因分析：忽略了参数方程中0≤sin 2
θ≤1的限制．
反思：参数方程与普通方程互化时，要注意参数的取值范围． 答案：
【例1】解：设点M 的坐标为(x ，y )，圆x 2
＋y 2
＝16的参数方程为?
??
??
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ.∴
可设点P 坐标为(4cos θ，4sin θ)．
由中点坐标公式得，点M 的轨迹方程为?
??
??
x ＝6＋2cos θ，
y ＝2sin θ.
∴点M 的轨迹是以(6,0)为圆心，2为半径的圆．
【例2】解：设P (3＋cos θ，2＋3sin θ)， 则3x ＋y ＝3(3＋cos θ)＋(2＋3sin θ)
＝11＋3cos θ＋3sin θ＝11＋23sin ?
????θ＋π3， ∴3x ＋y 的最大值为11＋23，最小值为11－23，取值范围是[11－23，11＋23]． 【例3】C 正解：消参得y ＝x －2，又∵0≤sin 2
θ≤1，
∴2≤2＋sin 2
θ≤3，即x ∈[2,3]．
∴普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．故选C.
1下列的点在曲线sin2,
cos sin x y θθθ
=??=+?(θ为参数)上的是( )．
A ．1,2? ?
B ．31,42??- ???
C ．(－2，3)
D ．(12若点M(x ，y )在曲线13cos 13sin x y θθ
=+??=+?(θ为参数)上，则x 2＋y 2
的最大值与它的最小值
的差为( )．
A ．
B ．
C ．2
D ．32 3把方程sin cos ,
sin21x y θθθ=+??
=-?
化为普通方程为__________．
4一架救援飞机以100 m/s 的速度做水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有
1 000 m 时投放救灾物资(不计空气阻力，g ＝9.8 m/s 2
)，问此时飞机的飞行高度约是多少？(精确到1 m)
答案：
1．B 参数方程???
?
?
x ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，y ＝cos θ＋sin θ
化为普通方程是y 2
＝1＋x ，把A ，B ，
C ，
D 各项中点的坐标代入，验证等式是否成立即可．
2．B x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2
＝11＋62sin ?
????θ＋π4，
∴x 2
＋y 2
的最大值为11＋62，最小值为11－6 2.
∴最大值与最小值的差为11＋62－(11－62)＝12 2.
3．y ＝x 2
－2(－2≤x ≤2) 将x ＝sin θ＋cos θ两边平方，然后与y ＝sin 2θ－
1相减，得y ＝x 2
－2.
又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ?
????θ＋π4， ∴－2≤x ≤ 2.
4．解：在时刻t 时飞机在水平方向的位移量x ＝100t .
离地面高度y ＝0＋12
gt 2
，
即?
????
x ＝100t ， ①y ＝0＋12gt 2
. ②
令1 000＝100t ，得t ＝10，
代入②得y ＝1
2
×9.8×100＝490.
即此时飞机的飞行高度约是490 m.