高一数学三角函数知识整理
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高一数学三角函数知识整理
一、正弦函数 图像
函数y=sin x 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、 函数y=sin x 的定义域是R ，值域为[-1，1] 2、 当x ∈{x| x=22
k π
π+
,k ∈Z}时，y 有最大值为1，当x ∈{x|
x=3
22
k ππ+,k ∈Z}时，y 有最小值为-1
3、 函数y=sin x 的图像关于原点对称是奇函数，可以根据sin(-x)=-sin
x 证明。
对称中心为（k π，0）对称轴为x=k π+2
π
(k ∈Z)。
4、在[22
k ππ-，22
k ππ+]k ∈Z 上单调递增，在[22
k π
π+，322
k ππ+]k
∈Z 上单调递减。
5、函数y=sin x 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期为2π 注意有界性：sin 1x ≤ 二、余弦函数 图像
函数y=cosx 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、 函数y=cos x 的定义域是实数集R ，值域是[-1，1]
2、 当x ∈{x | x=2k π，k ∈Z}时y 有最大值为1，当x ∈{x | x=2k π+π,k
∈Z}时，y 有最小值为-1。
3、 函数y=cosx 关于y 轴对称是偶函数，可以通过诱导公式
cos(-x)=cosx 证明。
对称中心[2
k π
π+，0]，对称轴为x= k π
4、 在[2k ππ-，2k π]上单调递增，在[2k π，2k ππ+]上单调递减。
5、 函数y=cosx 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0）最小正周期为2π。
注意有界性：cos 1x ≤ 三、正切函数 图像
函数y=tanx 定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性
1、 y=tan x 的定义域是{x| x ∈R 且x ≠2
k π
π+,k ∈Z}。
因为定义域不
连贯，所以当有题目说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的（同样用于其它所有函数）。
值域是一切实数R
2、 y=tan x 的定义域关于原点对称是奇函数，根据诱导公式且
tan(-x)=-tan x 可以证明。
对称中心：,0,()2k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
3、 y=tan x 在（2
k ππ-，2
k π
π+）上单调递增
4、 函数y=tanx 的周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期为π
5、 无最值 四、周期性
一般的，对于函数()f x ，如果存在一个常数T(T ≠0),使得当x 取定义域D 内的任意值时，都有()()f x T f x +=成立，那么函数()f x 叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的周期，对于一个周期函数来讲，如果在所有周期里存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数
()f x 的最小正周期。
五、函数
sin()y A x ωϕ=+的图像与性质
图像变换法
(1)A 称为振幅，A 引起的是图像的纵向伸缩，
当0<A<1时，横坐标不变，各点纵坐标缩短为原来的A 倍 当A>1时，横坐标不变，各点纵坐标伸长为原来的A 倍 当A<0时，把图像关于x 轴翻折。
(2)ω称为角频率，ω引起的是图像的横向伸缩
当0<ω<1时，函数的y 值不变，x 伸长为原来的1ω
当ω>1时，函数的y 值不变，x 缩短为原来的1ω
当ω<0时，要利用诱导公式将负号放到三角符号的外面再做原来的图像后，关于x 轴翻折。
(3)ϕ改变的是函数的初始位置，按照左加右减的原则将函数整个函数向左或者向右平移
ϕ
ω
个单位，所以ϕ称作初相。
(4)频率12f T ω
π
==
(5)性质：定义域为R ，值域为[-1，1] 奇偶性：当k ϕπ=时，奇函数； 当,2
k π
ϕπ=+时偶函数；
当2
k π
ϕ≠
时，非奇非偶函数。
把x ωϕ+看作一个整体考虑单调性和最值。
五点法作图：列表描点
1、画函数图像时要利用五点法作图，要列表、描点
2、通常是在一个周期里作图，x 通常取0，12
π，π，32
π，2π。
3、当三角符号后面是复合函数时，将整个复合函数看作一个整体分别取0，12
π，π，32
π，2π。
5点作图。
4、当x 前系数为负的时候，要利用诱导公式将函数化成一般形式作图。
即x 前的系数一定为正
注：当函数既要伸缩又要平移的时候，应遵循先平移后伸缩的原则
六、反三角函数 反正弦函数 函数sin y x = [,]22
x ππ
∈-
的反函数叫做反正弦函数，记作 arcsin y x =，[1,1]x ∈-
定义域：[-1，1] 值域：,22ππ
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
奇函数，即arcsin(-x)=-arcsinx ，非周期函数 在[1,1]-上是增函数 反余弦函数
y=cosx ,[,]x o π∈的反函数叫做反余弦函数，记作arccos y x =，
[1,1]x ∈-
定义域：[-1，1] 值域：[]0,π 非奇非偶函数，即arccos()
arccos x x π-=-
在[1,1]-上单调递减 反正切函数
把函数y=tanx , x ∈(,)22
ππ
-
的反函数记作，arctan y x = x R ∈
定义域：R 值域：,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
奇函数，即arctan()arctan x x -=- 在R 上单调递增
注：反三角函数后跟的数是一个值，反三角函数的值表示的就是这个数所对应的角的弧度制数。
求反三角函数注意：
所有三角函数只有在特定的定义域上才具有反函数，即y=sinx
[,]22x ππ
∈-
，y=cosx x ∈[0,]π，y=tanx (,)22
x ππ
∈-。
当三角
函数的定义域不在特定区间内，要利用诱导公式或者分段把定义域化到特定区间内才能求反函数。
七、最简三角方程
定义：我们把含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，把所有满足三角方程的所有x 的集合叫做三角方程的解集。
由于三角函数的周期性，因此一般的三角函数的解集含有无穷多个元素。
形如sinx=a ,cosx=a, tanx=a 的方程叫做最简三角方程。
sinx=a
当[1,1]a ∉-，方程无实数根
当a=1或者a=-1时，方程的解集为{|2,}2
x x k k Z π
π=+
∈或者
3
{|2,}2
x x k k Z ππ=+∈
当a 在（-1，1）内时x 的解集为{|(1)arcsin ,}k
x x k a k Z π=+-∈。
cosx=a
当[1,1]a ∉-时，方程无解
当a=1或a=-1时，方程的解集为{|2,}x x k k Z π=∈或{|2,}x x k k Z ππ=+∈，当a 在（-1,1）时方程的解集为{|2arccos ,}x x k a k Z π=±∈ tanx=a
x R ∈当 时，解集为{|arctan ,}x x k a k Z π=+∈
注：在解三角方程时，特别是正弦和余弦，要先注意a 的范围，若不在【-1,1】内，则方程无解，在{1，-1}内的话在一个周期内只有一个解，不能套用公式，并且要注意题给的x 的范围，在求出解集后，选出符合题给范围的所有解，用列举法表示。
八、常用公式
sin()y A x ωϕωϕ=+或y=Acos(x+)周期公式 2T π
ω
=
tan()y A x ωϕ=+的周期公式 T πω
=
arcsin(sin )x x = [,]22
x ππ
∈-
sin(arcsin )x x = [1,1]x ∈-
arccos(cos )x x = [0,]x π∈ cos(arccos )x x = [1,1]
x ∈- arctan(tan )x x = (,)
22
x ππ
∈-
tan(arctan )x x =x R ∈
arcsin arccos 2
x x π
+=，[1,1]x ∈- arctan cot 2
x arc x π
+=
，x R ∈
必须掌握假设角的思想。
