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分类讨论类型

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分类讨论类型
一、专题精讲
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
二、几种常见的分类讨论类型
题型1 概念型的分类讨论
例题1：已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）。

A、40°
B、100°
C、40°或100°
D、70°或50°
变式训练1：
（1）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）
A、12或9
B、12
C、9
D、7
（2）一次函数分别交轴、轴于A、B两点，在轴上取一点，使
为等腰三角形，则这样的的点C最多有个。

（3）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为抛物线y=x2-7x+10与x轴两个交点的横坐标，且这两圆相切，则两圆的圆心距O1O2为（）
A. 3
B. 5
C. 7
D. 3或7
题型2性质型分类讨论
例题2.已知是完全平方式，则的值是。

变式训练2：
（1）若函数，则当函数值时，自变量的值是（）
A. B. 4 C. 或4 D. 或4
（2）给出下列四个函数：1；2；3；4.时，随
的增大而减少的函数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
题型3含参数型的分类讨论
例题3：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形、例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y= -34x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y= -34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．
变式训练3：已知抛物线y=x2-2（m+1）x+m2与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为。

题型4综合型分类讨论
例题4：（2005?南京）如图，已知半圆O的直径DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．
变式训练4：抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
=3S△ACM，若存在，求出P （3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S
△PAM
点坐标；若不存在，请说明理由．
三、同步训练
一、选择题（每题 3分，共 15分）
1．若等腰三角形的一个内角为50°则其他两个内角为（）
A．500 ，80o B．650， 650
C．500 ，650 D．500，800或 650，650
2．若
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1 3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（） A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9，则kb值为（）
A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14
二、填空题（每题3分，共15分）
6．已知_______.
7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.
8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为__________.
9．已知⊙O
1和⊙O
2
相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O
1
和⊙O
2
的圆心距
为________.
10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则的
值是______.
三、解答题（每题10分，共30分）
11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
12 解关于x的方程．
13 已知：如图所示，直线切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在直线上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？
四、同步跟踪巩固试题
（100分 60分钟）
一、选择题（每题4分，共20分）
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（）
A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18
2．已知的值为（）
3．若值为（）
A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或0
4．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（）
5．在同一坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象的交点的个数是（）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题4分，共24分）
6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．
7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．
8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．
9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．
10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底
边长为_______．
11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆
柱的表面积为_____.
三、解答题（56分）
12．（8分）化简.
13．（9分）抛物线与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．
14．（13分）已知关于 x的方程.
⑴当k为何值时，此方程有实数根；
⑵若此方程的两实数根x
1，x
2
满足，求k的值．
15．(13分)抛物线经过点A (1，0)．
⑴求b的值；
⑵设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐
标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．
16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．。

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分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法


b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲

人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲


设 lg(log210)＝t，则 lg(lg2)＝－t.由条件可知 f(t)＝5，即 f(t)＝ at3＋bsin t＋4＝5，所以 at3＋bsin t＝1，所以 f(－t)＝－at3－bsin
t＋4＝－1＋4＝3.
答案 C
规律方法 复杂的数学问题常用换元法实现化归与转化，运用 “换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，或者把较复杂 的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
▪分类讨论的常见类型：
▪(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身 就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等．
▪(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论： 有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同 的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公 式、函数的单调性等．
▪(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶 次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程 (不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取 值不同会导致所得结果不同等．
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4，
解得ad1＝＝－3，1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得 bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－qqn－－11＝nqn＋1－qn－＋11qn＋1. 于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1. 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1.
▪历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们 要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于 提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力 和技能、技巧.
2012年中考数学思想方法专题讲座——分类讨论

2012年中考数学思想方法专题讲座——分类讨论

中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。

二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。

三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。

四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。

分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。

解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。

小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。

而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。

【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。

深圳市中考数学总复习课件(专题：分类讨论问题)

深圳市中考数学总复习课件(专题：分类讨论问题)


题目2
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
题目3
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。
思考题
1
1. 应用分类讨论法解决其他类型
数学问题
2. 分类讨论法在误差分析和实验 设计方面的应用
2
思考如何应用分类讨论法解决其他类型 数学问题。
思考分类讨论法在误差分析和实验设计 方面的应用。
深圳市中考数学总复习课 件(专题：分类讨论问题)
深圳市中考数学总复习课件 专题：分类讨论问题
分类讨论法概述
将原问题分成几个子问题，分别进行讨论，综合得出原问题的解。与条件概率的关系。优点与缺点。
常见的分类讨论问题类型及解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整除性问题
常见整除性定理及应用。解 法：分类讨论+化简。
奇偶性问题
判断奇偶性的方法。解法： 分类讨论+化简。
最大最小问题
最大最小值的定义。解法： 分类讨论+化简 or 达到最大 最小值的条件。
递推关系问题
递推关系的表达。解法：分类讨论+化简 or 找出 递推规律。
均值不等式问题
均值不等式的表述及应用。解法：分类讨论+化 简 or 使用均值不等式。
练习题解析
题目1
根据以上分类讨论问题类型选取 数道中考真题进行讲解和分析。