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反思，学生成长的阶梯摘要：初中数学教师在实际教学活动中，要善于培养学生积极能动的反思意识，重视学生学习活动过程的指导，引导学生开展问题辨析活动，让学生在自主活动、自主探析、自主思维中获得反思能力的有效提升。
关键词：初中数学教学自主反思能力培养策略学生对现实问题或社会现象充满能动探索、思考、解答的欲望，这是学生反思实践性的重要表现。
反思能力作为学生思维能力的重要组成部分，在学生良好学习能力素养的形成过程中具有积极的推进作用。
荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔曾经指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。
”“通过反思才能实现现实数学思维化。
”教育学家波利亚也指出：“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和检查这个结果，回忆得出这个结果的思路，学生可以巩固他们的知识，发展他们的能力。
”同时，新实施的初中数学课程标准也指出：“切实增强学生的问题意识、探究意识、反思意识，促进学生全面健康发展。
”现对初中数学教学中培养学生自主反思能力的策略进行简要论述。
一、设置问题特性教学情境，引发学生自主反思的内在潜能情境是教学内容外在化、具体化及生活化的重要表现形式，是激发学生内在潜能的重要因素之一。
初中生的反思缺乏稳定性和持久性，需要外在良好氛围和内在积极情感的双重“刺激”。
初中数学教师可以利用数学学科知识的典型特征，设置生活中的数学问题，凸显数学案例的“问题特性”，引导学生思考生活中的数学问题，调动学生自主反思的积极性和能动性。
如在教学“三角形的三边关系性质”后，教师设置了这样一个问题：小明在家做“拼接一个三角形”的手工作业，现在他准备了5厘米、7厘米、10厘米和15厘米的四根小木棒，小明可以拼出多少种不同的三角形。
学生纷纷动手在练习簿上画图。
有的学生认为可以拼出三种不同三角形，有的学生认为可以拼出四种不同三角形。
此时，教师让一位学生按照“1∶2”的比例，在黑板上进行模拟试验。
这时，学生认识到上述问题实际上是关于三角形三边性质的问题，利用两边之和及两边之差与第三边的关系就能求得。
数学教师个人成长案例教育是人类进步的阶梯，而教师则是教育事业中最重要的角色之一。
作为一名数学教师，我深知自己在学生成长路上扮演着重要的引导者和启发者的角色。
在这篇文章中，我将分享我个人的成长案例，希望能够给其他数学教师提供一些借鉴和启示。
1. 教学初期的挑战和反思作为一名新手教师，我面临了许多挑战。
最显著的一个问题是如何有效地传授数学知识给学生。
初始阶段，我的教学方法主要侧重于灌输式的教学，即将大量的知识点通过讲授的方式传递给学生。
然而，这种教学方式往往让学生感到枯燥乏味，对数学产生了厌恶情绪。
反思之后，我意识到培养学生对数学的兴趣和学习动力非常重要。
于是，我开始探索一些新的教学方法和策略，如引入数学游戏、实际应用案例等，以增加学生对数学的兴趣和参与度。
同时，我还鼓励学生互相交流和合作，提高他们的解决问题的能力。
2. 持续的专业学习和成长为了提升自己的教学水平，我始终坚持进行持续的专业学习和成长。
我不仅积极参加各类数学教育研讨会和培训课程，还定期研究最新的教育理论和教学方法。
通过这些学习，我不断更新自己的知识和教学技巧，并将其应用于实际的教学中。
除了专业学习，我还注重与其他教师的交流与合作。
我积极参与学校内部的教学研讨组，与其他教师分享经验和教学心得。
这些交流与合作让我从不同的角度看待问题，拓宽了我的教学思路，并与其他教师共同进步。
3. 创新教学实践的探索为了更好地引领学生，我开始尝试一些创新的教学实践。
例如，我引入了信息技术教学工具，如数学软件和在线学习平台，以提高学生的学习效果和兴趣。
同时，我也鼓励学生进行数学探究和独立思考，培养他们的解决问题的能力。
此外，我还积极参与学校数学竞赛和活动的组织。
通过参与竞赛和活动，学生们能够将所学知识运用到实际问题中，并与其他学生进行交流与竞争。
这种实践性学习不仅激发了学生对数学的兴趣，还提升了他们的自信心和团队合作能力。
4. 关心学生的全面发展作为一名数学教师，我深知教育不仅仅是传授知识，更是培养学生的全面发展。
数学老师的个人成长与学习经历数学老师是一位充满智慧和耐心的职业，他们不仅需要具备扎实的数学知识，还需要不断学习和成长。
在这篇文章中，将探讨数学老师的个人成长与学习经历，并分享他们在教学道路上的心得体会。
一、数学老师的背景与专业知识任何一位合格的数学老师都应该拥有扎实的数学背景和相关专业知识。
他们通常会从大学数学系毕业或相关专业，获得数学学士学位或以上学位。
在求职过程中，他们还需要通过相关考试或面试来展示他们的专业能力和教学经验。
数学老师的专业知识范围包括基本数学概念、代数、几何、微积分等。
他们需要了解数学的发展历程，掌握各种解题方法和技巧，并能将这些知识有效地传授给学生。
二、持续学习与专业成长数学是一门不断发展和创新的学科，数学老师需要时刻保持对新知识和新方法的探索与学习。
他们可以通过参加专业培训、研讨会以及阅读学术期刊和教材来不断拓宽自己的知识面。
此外，数学老师还可以通过参与科研项目或与其他教育工作者合作研究来提高自己的专业水平。
这种合作可以促进他们的教学方法和教学资源的更新，提高教学效果。
三、教学实践与经验积累除了理论知识和专业成长，数学老师的教学实践和经验积累也是他们个人成长的关键。
每一位数学老师在经历了多年的教学工作后，都会积累出丰富的教学经验和有效的教学方法。
数学老师在课堂上要善于启发学生的思考，引导学生运用数学知识解决问题。
他们需要针对不同学生的学习特点和水平，采用不同的教学策略和方法，以提高学生的学习兴趣和学习效果。
四、与学生的互动与交流数学老师的个人成长也离不开与学生的互动与交流。
数学老师需要积极倾听学生的意见和建议，不断改进自己的教学内容和方式。
他们应该尊重学生的个体差异，关注每个学生的学习进展，并提供个性化的辅导和指导。
此外，数学老师还可以组织数学俱乐部、参与学校数学竞赛等活动，为学生提供更多的数学学习机会和挑战，激发学生对数学的兴趣和热爱。
五、对数学教育的思考与投入一位优秀的数学老师不仅注重个人成长，还会思考数学教育的发展和改革。
解题,数学教师专业成长的必由之路作者：杨建军来源：《湖南教育·下》2012年第02期编者按漫漫数学教学路，从满怀希望到突然失落，我们很容易趋于平淡，产生职业倦怠。
这当然是要杜绝的。
其实，数学教师的专业发展，是实现人生价值的过程。
与其倦怠，不如振作，努力使自己成为一名专家型教师，进而享受教育的幸福。
从本期开始，我们陆续采访一些在业界内有一定名气，并在自己的领域有喜人的成果的中学数学教师，探索他们成长的经历。
期待老师们从他们的成长经历以及他们的建议中，反思自己的教学，寻找自身专业成长的方向。
杨：熊老师，您好！我读研究生时选择的论文题目是《专家型高中数学教师的专业特点与成长启示》，需要访谈一些高中数学名师，在选择访谈对象时导师和您的一些朋友都极力推荐您，说您对中学数学教育感悟颇深，对教育教学有独到的见解。
熊：过奖了！我1978年7月考入益阳师范学校，1980年7月，16岁的我就参加工作了，一毕业我就不甘于一辈子只是中师毕业，所以抓住一切机会进修，经过两次进修，1993年毕业于华中师范大学数学系。
我始终认为，作为一名教师一定得有理想，我最初的理想就是当个优秀的中学数学教师。
正因为我的理想和不甘心，才使得我能一次次地超越自己。
杨：那您最初的想法和做法是什么呢？熊：我最初的想法就是努力使自己成为一个师德高尚、业务精湛、有一定魅力、受学生欢迎的中学数学教师。
为了实现这个想法，我觉得首先需要做的事情就是要学生喜欢自己的课，当时觉得自己不行，不满足现状，必须加倍努力学习，做了许多傻事，向一切老师学习是我最初的做法。
比如两年听课200多节，走遍了全区8个乡镇，几乎听遍了全区所有数学教师的课。
那个时候每周只有一天的休息时间，我从来没有这个概念，我非常感谢我的父母，为我创造了非常好的学习和工作条件，使我能够全力以赴地去学习，从那时起直到现在，非特殊情况我没在午夜12点前休息过。
杨：您起步之初最大的困难是什么？是怎么克服的？熊：可以说当时最大的困难应该是学习资料的匮乏。
2024年数学教研组工作总结紧张而又繁忙的一学期工作就要结束了，数学组的每位教师都是以认真、务实的态度忙于期未的收尾工作。
中学数学课堂教学如何实施素质教育，是当前数学教学研究的重要课题。
“面向全体学生，引发学生的内在机制，使学生生动活泼自主地进行学习，在思维能力、创新能力等方面都得到发展”早已为大家达成共识，我们组从三方面改变教学理念：(1)改变传统的教育观念，提高对学生素质培养的要求;(2)注意研究有效的教学方法，培养学生的能力;(3)有意识地培养学生主动学习的愿望。
我们的具体作法如下：一、集体备课、资源共享为了节省老师的备课时间，发挥每位老师的特点，同仁之间互相学习、互相借鉴，本学期数学组采用了集体分节备课，每位老师在这个基础上，根据自己的特点、风格再进行修改，在教学上体现出自己的个性，教案力求符合下列要求：1、教学目标应有：认知目标、技能目标和情感教育目标，确定数学思想及数学方法的培养目标，提高学生的思维能力及创新能力，通过引导与规范管理，使学生养成良好的学习习惯。
2、教学设计应以课程标准为准绳，根据教学目标和本校的学生特点安排教材，要深入理解教材，突出重点、分散难点，对不同层次的学生要有不同层次的教学内容及不同的教法。
3、课堂模式百花齐放。
二、认真上好每一节课为了在课堂教学中落实素质教育，从发展的要求看，就不仅要让学生“学会”数学，更重要的是让学生“会学”数学，具备在未来工作中科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力，所以我们要求老师在教学过程中要时时考虑对学生进行学习指导，本学期重点是学习方法的指导，指导的要点是怎样听课、怎样做作业和怎样复习，为了能更好地体现学生的主体地位，要求教师引导学生参与教学活动，必须给学生自主参与活动的时间和空间，为了能上好每一节课，根据我校硬件的优势、优化教学手段、提高教学效果，马秋梅老师一学期制作了____个课件，是全校之最，为了上好一节课，新教师刘舒曼、许庆红都主动向老教师请教、取经，这两位教师进步的都很快。
教学反思：小学数学教师成长的助推器标签：数学教学；教学反思；作用教学反思是指教师在一定的教育理论的指导下，以自己的教学活动过程和课堂教学实践作为思考对象，对自己或他人的教学内容、教学过程、教学策略以及由此产生的结果，加以回顾、思考、分析和评价，而进行全面、深入、冷静的思考和总结，从而发现和解决教学中的问题、不断改进教学过程、提升教学质量的一种批判性思维活动，是教育教学工作中很重要的一环。
它不仅可以激活教师的教学智慧，而且能够使教师的业务水平不断得以提高，使教学质量得到长效的改进。
及时有效的教学反思是一个优秀教师成长过程中不可缺少的重要环节，它可以帮助教师深入挖掘教学经验中蕴涵的教育原理，使教学经验更好地为教学实践服务。
实践研究表明，教学反思对教师的成长具有重要的作用。
一、教学反思能提高教师的教学水平再成功的教学也有遗憾之处，而科学、有效的反思可以帮助教师减少遗憾。
教学反思的过程就是教师对教学诸要素的再认识、再研究的过程。
教师对已发生的教学现象进行反思，积极寻求新方法、新策略来解决所面临的教学问题，这会形成自己对教学问题的独特思考和创造性的见解，加深对教学规律的认识，从而选择更合理的教学策略，提升教学实践的实效性，并不断更新教学观念，提升教学能力，提高教学水平，实现自己在教学上的飞跃发展。
二、教学反思是教师专业发展的有效途径教师要适应发展和变革，就要不断提高自身的专业素质。
教师专业化是教育改革不断深入的必然要求，是教育事业发展的方向。
教师应把自我的发展与职业的要求结合起来，把教学的成功与持续不断的学习结合起来，把教学理论学习与对教学实践的研究结合起来，在科学理论的指导下不断反思自己的教学行为，认真思考教育教学中的经验与教训。
通过反思促进自身专业成长，成为教育教学的实践者和自身教学行为的研究者，以加快自身的专业化成长。
三、教学反思能激发学生的学习兴趣授人以鱼，不如授之以渔。
数学教学要求学生掌握的是学习的方法，而不是一味地寻求答案，所以在课堂教学时，教师要注重培养学生对题目的理解能力，多问几个为什么。
-010-2021年第31期（总第283期）摘 要：学生的成长离不开学生的自主反思，提高学生数学学习中的自主反思能力是当下数学课程改革的必然要求。
这就要求教师为学生构建一个宽松、开放的学习环境，以“自主、探索、反思”为课堂教学的基本原则，强调学生在课堂中的主体性，培养学生的自主学习习惯和自主反思能力，引导学生从“被生长”转为“自生长”，让学生在学习数学知识的过程中获得成长。
关键词：初中数学；自主反思能力；教学策略中图分类号：G633.6文献标识码：A刘志全（广西壮族自治区博白县旺茂镇第一初级中学，广西 玉林 537618）引 言在传统的课堂教学中，教师往往会对学生进行知识的灌输，学生对知识的接受是被动的，其主体地位没有得到体现，这不利于学生能力的发展。
传统的教学模式难以凸显学生在数学学习中的主体地位，也难以满足提高学生学习能力的新时代教学要求。
在高效课堂理念的指导下，笔者在课堂教学中引入了“课前自主预习，课中合作探索，课后反思复习”的教学理念，以课前自主学习为知识的纽带，以课堂作为学生交流与合作的平台，以教师引导学生进行知识探索和自我反思为巩固教学效果的重要途径，从而帮助学生在自我反思中实现数学素养的提升。
在这一教学模式中，“反思”是学生学习的关键环节，并贯穿数学学习的全过程。
笔者在下文中就如何在初中数学教学中提升学生的自主反思能力展开详细分析。
一、通过导学案培养学生的反思习惯预习是初中教学的重要步骤，也是学生展开学习的重要基础。
在学习数学课程内容前，教师应为学生分配预习任务，让学生能够对所学知识有大致了解，并使学生在预习中反思自我学习的难点。
因此，教师应通过制订合理的导学案对学生的预习内容、流程进行指导，给学生予以学习方法上的指导，以便学生掌握在预习中进行自我反思的能力，提高预习的效果。
通过教学实践，笔者观察到初中生的自我管理能力相对较弱，故制订一个完善、科学的导学案显得尤为重要。
其一是要求教师提前准备课程计划，编制完善且科学的导学案与预习计划，通过指导性的导学案为学生的预习指明方向，确保学生能够高效地完成学习任务。
作者： 刘志全[1]
作者机构： [1]广西壮族自治区博白县旺茂镇第一初级中学,广西玉林537618
出版物刊名： 求知导刊
页码： 10-11页
年卷期： 2021年 第31期
主题词： 初中数学;自主反思能力;教学策略
摘要：学生的成长离不开学生的自主反思,提高学生数学学习中的自主反思能力是当下数学课程改革的必然要求.这就要求教师为学生构建一个宽松、开放的学习环境,以"自主、探索、反思"为课堂教学的基本原则,强调学生在课堂中的主体性,培养学生的自主学习习惯和自主反思能力,引导学生从"被生长"转为"自生长",让学生在学习数学知识的过程中获得成长.。
解题——数学教师成长的阶梯有人说，解数学题，上数学课，写数学论文是数学教师的三项基本功．这话不假！笔者与数万道数学题“交过手”．由于长期从事解数学题的实践，积累了不少解题的资料，整理了数学题卡万余张，也产生过不少解数学题的所谓“火花”，这些“火花”的不断闪现又不禁使我产生想要表达解题体会的冲动，于是整理出关于数学解题的文章近300余篇在报刊发表．我深知自己解题能力一般，但与解题的感情却不一般．解题是我每天必进行的思维活动，解题活跃了我的思维，培养了我的能力，练就了我的本领，提高了我的素养，我在解题实践中找到了欢乐．现结合本人解题的成长历程谈点关于解题的管见．一、数学教师解题的重要意义1.数学教师解题是数学教学的需要．波利亚强调指出：“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练．”“解题的价值不是答案本身，而是在于弄清‘怎样想到这个解法的，是什么促使你这样想、这样做的？’”他有一句名言：掌握数学就是意味着善于解题．数学教学的一个重要基础是教师必须熟悉教学内容，可以说教学过程就是指导学生运用所学知识、方法不断发现问题、分析问题、解决问题的过程．解题就是熟悉教学内容的必经之路，解题是具有强烈的实践性与探索性的思维活动．“就像游泳、滑雪与弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题”（波利亚：《数学的发现》序言）．数学的基础知识要通过解题实践来消化，数学的思维素质要通过解题实践来优化，数学的解题方法要通过解题实践来强化．数学教师只有通过解题实践，才能熟悉所教内容，形成数学能力；才能灵活驾驭教材，有针对性地对学生进行解题指导；当学生遇到解题困惑时，才能把自己解题时的所思、所想、所困、所惑、所获等等通过解题实践所获得的东西生动、鲜活、艺术地表达出来，与所教学生分享．才能对教学对象给予适时的启发、恰到好处的点拨和简练精当的指导．否则，只能是生硬地将参考书上的解答或问题的正确答案展现给学生，少了许多过程性的指导和过程性的情趣，从而也就缺少了师生互动中情感、态度、价值观的一条重要的培养途径．2.数学教师解题是数学研究的需要数学解题研究是数学研究的重要内容，也是数学教学研究的重要组成部分．数学的解题研究是充满情趣、颇具魅力的思维活动，它让广大数学教师和数学教育工作者情不自禁参与其中，为之添砖，为之加瓦．教师广泛收集解题资料，充分参与解题实践，深入剖析解题过程，可以发现许多新问题，对这些新问题的深入研究又能产生许多新的成果，从而不断推进数学教育研究，使得数学研究更加五彩缤纷、充满朝气与活力．在此过程中，也不断推动教师自身素质的提高．教师解题，能发现一些解题规律、命题规律，得出一些有益的结论．笔者通过对近些年高考应用题的解题分析，总结出高考应用题在考查数学思维方面的一些规律，撰写了《浅议高考应用题中思维障碍的设置》发表于安徽《中学数学教学》2003年第6期．3.数学教师解题是专业成长的需要．著名数学家华罗庚说过，学数学不解题，如入宝山而空返．任何一种能力都是在不断实践中发展培养起来的，数学解题能力的培养也是如此．教师通过不断地解题，逐步积累解题经验，掌握数学解题的思维方法，培养解题的能力，从而提升数学教师自身的素质，实现数学教师的专业成长．1980年8月，早早就师范毕业的我背着行囊，揣着组织给我的分配通知书，来到湖南安化梅城镇上的一所初级中学，开始了我漫长的教书生涯，那年我才十六岁．由于“文革”的影响，那时的我专业基础并不扎实．面对一双双渴求知识的眼睛，我有些胆怯——我这师范毕业初出茅庐的小伙子能胜任初中数学教学吗？两个班的学生近120人，虽然良莠不齐，但也不乏有几个“数学尖子”，他们不知从哪弄来些难题，常常趁下课的十分钟时间，来“请教”我——试试老师有多少功力！后来我才知道，这是学生测试老师专业水平的狠招！天生喜欢解题的我，虽然有一定的知识和方法的积累，大部分问题的解题思路甚至答案能脱口而出，但也有面对问题目瞪口呆的时候．如果不能及时将问题解决，使学生心服口服，我的教学根基、我的教师形象、我的专业权威会大打折扣．那时的我，依靠父母给我创造的良好的生活条件，我除了工作，就是学习．为了提高自己的解题能力，我常常不分白天黑夜，夜以继日，默默无闻地干着一系列“傻”事：工整地抄下了教材所有定义、定理、公理，并自觉背诵过关；从教材开始，一个不漏，逐题求解，在作业本上完成了教材上所有题目的解答；完成了购买的几本习题集的所有题目的解答；在作业本上完成了几十套中考数学试题的解答．每当进行中考试题自我训练时，为了防止朋友来访影响解题训练，我总是安排学生将自己反锁在课室后面的办公室里（随着时代的发展，这类楼房结构早已成为历史），一段时间的训练后，竟产生出55分钟左右的时间能完整地解完一套中考题的“辉煌”成果（含抄题时间，注：那是1987年的事）．……凭着良好的解题技能和虚心好学的治学态度，我调入了县一中，担任高中数学教学工作．记得教第一届高中毕业班时，也常常被学生“问倒”，学生手头上的资料比老师还要多．不过，这样一种良好的教学氛围促进了师生共同成长．在解题的过程中，我不仅和学生建立了良好和谐的感情，而且寻找到了和学生共同思考、共同分析、共同研究的乐趣，当和我一起共破难题的学生考上清华、北大时，我好不惬意．多年来，我养成了自觉解题的习惯，每当高考结束，我总是尽快找来高考题，自我检测，并认真研究试题，也发表过好几篇关于高考试题巧解、分析、点评的文章．随着解题实践的不断深入，我已在高三教学岗位上奋斗了13个春秋，我的解题能力不断增强，专业水平不断提高，我手头上的数学书籍也越来越多，研究的问题也越来越广泛．每天晚上，我总是要解几道题“过把瘾”才入睡．解题是数学教师数学活动的基本形式，是数学教师数学活动的主要内容，是数学教师数学教学的必经之路，是数学教师的成才之道，是数学教师专业成长的催化剂．二、数学教师解题的主要方式1.平时随机解题数学教师一般在工作单位承担着比较繁重的教学和研究工作，一般难于有成块的时间进行解题训练，解题只能利用茶余饭后的零散时间．随机解题可以根据数学教师在学校担负的工作情况随时作出恰当的调整，是一种较为灵活的训练方式，是数学教师解题训练的主要方式，其训练时间安排相对灵活，操作起来相对简便．用这种方式解题，重在对解题过程的分析研究，对问题深入探究，将问题进行联系、变形、拓展、推广．2.自我限时训练随机解题培养能力，限时训练优化思维．限时训练是指教师能挤出半小时、一小时等“成块”时间来训练．这时可以挑一些具有一定难度的各地市模拟考试题，删去部分容易题，进行限时自我训练．这样可以促使教师养成良好的解题习惯，锻炼数学教师的解题思维，培养数学教师敏捷的思维能力．3.师生同场考试利用统考时机，教师同时参与学生的考试，师生同场唱“同一首歌”，这是一种强度较大的强化训练好形式，也是数学教师解题最为有效的训练途径．采用这种“以身试考，置身其中”的方式进行解题训练，需要教师解放思想，转变角色，需要有足够的勇气和胆识．训练时重在准确审题，熟练运用解题方法，快捷运算，感受、体验应考的氛围，收集应考信息，促进教师深入研究高考、课标、考纲、考试说明、学情和考情，以便考后指导更具针对性，提高复习效率．目前不少地方采用教师和学生同时参加某种模拟考试的方法对青年教师进行培养，不失为一条好途径．三、数学教师解题的主要途径1.立足教材，逐步深入教材上的例题、练习题、习题等，是教师直接面对不允回避的问题，是学生最为关心、最为迫切需要解决的问题．教师要通过解题训练，对这些题做到题题过关，一看便会，一算就对，驾轻就熟，如履平地．通过对教材上的题的解答和研究，特别是对教材上典型例题、习题的研究，将中学数学基础知识、基本思想和基本方法联成网络．切切不可好高骛远，夜郎自大．2.真题训练，真情感受高考、中考真题及模拟考试题，一般都有较好的试题结构，良好的能力立意，每套题中还镶嵌着几道精彩原创题，一般都凝聚了数学教育工作者的心血，是数学教育工作者的智慧的结晶．教师经常求解这样的问题，能不断积累和丰富新知识、新方法，能在解题实践中体现“与时俱进”，把握数学教学发展的“脉搏”，真情演练，真实感受，获得对试题的“真情实感”，为教学研究、解题研究积累有价值的素材．3.赛题训练，异样收获数学竞赛题常常以其试题的情景新颖和表述简练、解法的思路巧妙而吸引着无数数学爱好者，数学教师适当求解数学竞赛题，能开阔视野，广开思路，培养数学思维的敏捷性、深刻性、创造性等思维品质，领悟精彩纷呈的数学技巧，深化对数学思想方法的理解，体会到数学问题的魅力，使自己的解题能力上升到一个新高度．通过对数学竞赛题的解题训练，常可获得令人拍案叫绝的解题策略，常有意想不到的异样收获．例如：题1 （1963年莫斯科竞赛题）设a,b,c +∈R ，求证23≥+++++b a c a c b c b a ； 题2 （第二届友谊杯国际数学竞赛题） 设a,b,c +∈R ，求证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++． 两题的优美解法已有数种，此略．我们先对题2左边略作变形：ba c a cbc b a +++++222 =)()()()(222c b a c ba cb ac b a c b a ++-++++++++ =)()()()(c b a ba cb ac a c c b a b c b c b a a ++-+++++++++++ =)1)((-+++++++ba c a cbc b a c b a ． 显然，若23≥+++++b a c a c b c b a ，则可得2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++； 反之，若2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++，则可得23≥+++++b a c a c b c b a ． 原来，两道赛题等价！另外，常常求解一些基本的高等数学题，掌握高等数学题的基本解题方法和策略，能居高临下，深化对中学数学解题研究，是中学数学教师解题训练不可或缺的．4.积累“好题”，分类整理教师在不断解题的实践中逐步积累知识、方法的同时，要注意采用恰当的方式随时积累数学“好题”，为以后数学教学、数学解题研究积累一定的素材．笔者近十多年来，以每年积累千题的速度，采取卡片形式，整理了万余道数学“好题”．并按问题内容分门别类整理，编码装入信封．既为课堂教学、课后辅导备料，也为解题研究、教学改革聚材．5.一题多解，活跃思维一题多解是对问题进行多角度、多方位的思考，寻求不同解题策略解决问题的方法．由于解题者对问题的分析和思考不是固定的、一成不变的，因而往往能获得对问题全面、深刻、丰富的认识，产生不同途径的解决问题的策略．久而久之，就能培养我们全面深刻、灵活善变的思维能力．（1）一题多解能启发思考，活跃思维一题多解在思维培养方面的功能是显然的．由于对同一个问题从不同角度加以分析，获得不同的解题路径，最后产生殊途同归的效果，每每完成一道题的多解，往往给人以愉悦的感觉．笔者发表的关于解题的文章中，涉及一题多解的文章有30多篇．如笔者在解2001年广州市高考模拟题“在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 为80°，a 2=b(b+c)，求角C 的度数”时，经过分析研究，发现此题至少可以利用三角、复数、平面几何手段求解，于是撰写了《六法巧解一道高考模拟题》，发表于湖南《高中生》2002年第11期．又如在解“求经过A （4，－1）且与已知圆056222=+-++y x y x 切于点B （1，2）的圆的方程”这道题时，经过研究，得出了十一种不同的解法．于是撰写了《一道圆的方程问题的多种解法》发表于2005年5月19日海南《考试报》．（2）一题多解能解除疑惑，促进研究一般而言，一题多解都能得到同样形式的结果，但在解题实践中，本人的确遇到过“殊途”不能“同归”的例子．笔者在解“已知16log 8=a ，16b =5，试用a 、b 表示40log 32”时，通过思考，得到两种不同的解法．解法1： 40log 32=b a a +-=+-=⨯⨯=25log 8log 8log 16log )58(log 8832log 40log 32log 16161621616161616． 解法240log 32=ba ab a a +-=++=++=13168log 5log 8log 4log 8log 40log 32log 216161616161616． 乍一看，结果“不同”．“问题”出在哪里呢？原来，由已知条件16log 8=a ，可得a =43，此时b a a +-2ba a +-=13，即这两个结果是相同的． 笔者用不同方法求解“已知△ABC 中，A ∶B ∶C=2∶3∶4，AB ∶BC=3∶2，AC=5，求△ABC 的周长（1985年安徽省成人高考文科数学试题第五题）”时，遇到了相互矛盾的结果．利用条件A ∶B ∶C=2∶3∶4，求出各角，继而利用余弦定理求出AB 、BC ，得△ABC 的周长为7725+5．而用平面几何方法又求得△ABC 的周长为15．两种解法竟得出不同的结果，让我百思不得其解．也是笔者头一次遇到这类“奇”事！后经分析，原来条件A ∶B ∶C=2∶3∶4与AB ∶BC=3∶2不相容！题目中各已知条件内部相容，不能相互矛盾，这是命题的一个基本原则．6．独辟蹊径，避繁就简“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意．”教师在分析典型例题的解题过程时，除了从规范、有序、简练、科学等角度分析外，还应多从批判的角度进行分析和研究．研究解题方法是否可以作些改进．比如不少高三复习资料有这样一题：铜片绕在盘上，空盘时盘蕊半径为40mm ，满盘时半径为80mm ，铜片厚度为0.1mm ，满盘时铜片总长度为 πmm ．(π为圆周率)本题源于学生身边的生活实际，情境熟悉，背景公平，题目朴素，短小灵巧，作为一道考查求等差数列前n 项和的应用题，堪称好题，其解题通法是：解：铜片厚度为0.1mm ，每绕一圈半径增加0.1mm ，满盘时共绕了(80－40)÷0.1=400(圈)． ∴铜片总长度L=40.05×2π+(40.05+0.1)×2π+……+[40.05+(400－1)×0.1]×2π=32040π+15960π=48000π(mm)．但若着眼于问题的整体，抓住其本质，略去其枝叶，则只需一元一次方程知识，就可化繁为简出其不意地得到一个令人拍案叫绝的简捷解法：解：设满盘时铜片总长度为x πmm ．则满盘时铜片所在圆环的面积为π(802－402)mm 2，由题意有x ×0.1=π(802－402)，解之得x=48000π(mm)．又如笔者在几本书中看到这样的问题：设△ABC 的三边长a 、b 、c(a 、b 、c 互不相等)成等比数列，而log c a 、log b c 、log a b 成等差数列，求证：公差d=23． 这些书提供的解法是：解：∵log c a=c a lg lg ，log b c=b c lg lg ，log a b=ab lg lg ． ∴logc alog b clog a b=1 ①又b 2=ac ，∴log b a+log b c=2， 2=ba log 1+logb c=bc b a a a log log log 1+，∴2log a b=1+log a blog b c ② 又 2log b c=log c a+log a b ③ 将①变形，得log b c=a b c a log log 1⋅代入②、③得 ⎩⎨⎧=+=--2)log (log log log 01log log log 2a b a b a a b c a c ac c a ⇒log a b=4337±，log c a=4335±-，log b c=4331±． 故d= log b c － log c a=……=23． 专业的敏感性和数学的直觉告诉我，问题的解法应该可以作些避繁就简的改进．经过分析思考，得出下面的解法．解：由题意： log c a=log b c －d ， ①log a b=log b c+d ， ②为方便计，设t= log b c ．∵b 2=ac ，∴由①得log cb c 2=t －d ⇒t 2+(1－d)t －2=0 ③ 由②得 b c b 2log =log b c+d ⇒t -21=t+d ⇒t 2+(d －2)t+1－2d=0 ④ ④－③得 (2d －3)t=2d －3．∵ t=log b c ≠1(a ，b ，c 互不相等)．∴ 2d －3=0，从而d=23． 类似地，还可有下面的解法．解：由题意：log c a=2log ac c －d ⇒log c a=1log 2+a c －d ① log 2a ac=2log ac c+d ⇒1log 2log 2121+=+a a c c +d ② 设t= log c a ，则由①得 t 2+(d+1)t+d －2=0 ③由②得 (2d －1)t 2+2(d+1)t －1=0 ④消去(d+1)t ，得 (2d －3)t 2=2d －3，∵ t=log c a ≠1(a ，b ，c 互不相等)∴ 2d －3=0，于是d=23． 7．隐去结论，开放问题解题之后，研究问题的结构，分析问题的条件、结论之间的内在联系，研究条件、结论可否作些变化，这些变化又是如何影响问题的．将数学题进行加工改造，编拟出新的问题，是数学解题训练的高级形式．这种训练能产生新的视角，往往有新的发现．笔者发表于1997年第4期《中学数学教学参考》的《隐去结论，让学生自己去探索》就是例证．又如，在解“在△ABC 中，若三边a ，b ，c 成等差数列，求证acos 22C +ccos 22A =32b ．”这道题时，经过研究，这道题在已知条件下，可以得出一系列结论，于是可以改编成开放式问题：“在△ABC 中，若三边a ，b ，c 成等差数列，可以得出哪些结论．”经过探索，可以推出下列结论：（1）sinA+sinC=2sinB ．（2）acos 22C +ccos 22A =32b ．（3）cosA+2cosB+cosC=2．（4）sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B ．（5）tan 2A ·tan 2C =31． （6）cot 2A +cot 2C =2cot 2B ，即cot 2A 、cot 2B 、cot 2C 也成等差数列． （7）cos(A －C)+4cosB=3．（8）5cosA －4cosAcosC+5cosC=4．继续分析下去，还可得到许多漂亮而深刻的结论．有趣的是，在△ABC 中，这些命题的逆命题都成立．且由条件、结论九者中任意一个成立，可推出其余八个都成立，可见这是一个内涵十分丰富且颇具趣味的三角问题．。
