高中数学《平面与平面垂直复习课》公开课优秀教学设计.docx

8.6.3平面与平面垂直复习课（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)一、教学目标1.进一步加深理解和掌握平面与平面垂直的定义、判定定理及性质定理，并能应用定理解决相关问题；2.理顺空间垂直位置关系的知识架构，并能应用相关知识对问题进行分析、转化和解决；3.通过平面与平面垂直判定和性质定理的综合应用，以及空间问题平面化的思维方式，体会化归思想方法的应用.二、教学重难点1.平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用.2.应用定理证明过程中表述的条理性和严谨性.三、教学过程1.知识回顾1.1面面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β.(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.【设计意图】复习面面垂直的定义，做到温故而知新.11.2【微训练】1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β【设计意图】通过小题训练，帮助学生回顾平面与平面垂直的判定定理.平面与平面垂直的判定定理2.判断题(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( )(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.( )(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.( )【设计意图】通过题组训练，帮助学生加深对平面与平面垂直的性质定理的理解. 平面与平面垂直的性质定理2图形语言2.课堂互动题型一求二面角的大小【活动要求】让学生提前练习，老师检查学生答题情况.如图所示，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC，求二面角P－BC－A的大小.【活动预设】引导学生找二面角的平面角.【设计意图】加强对二面角的理解，熟练的计算二面角的平面角.题型二平面与平面垂直的证明【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图，在四棱锥P­ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE.3【设计意图】通过对问题进行分析，学生可以体会和应用平面与平面垂直的判定定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.题型三平面与平面垂直的性质及应用【活动要求】让学生提前练习，老师检查、点评学生的答题情况.如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面P AD；(2)AD⊥PB；(3)求点D到面PAB的距离.4【设计意图】让学生体会和应用平面与平面垂直的性质定理在分析问题和解决问题中的转化功能，体会应用所学知识解决问题的心理愉悦.老师点评旨在规范学生的解题格式，注重表述的条理性和严谨性.3.归纳小结【设计意图】（1）梳理平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，提高应用定理解决相关问题的能力；（2）激发学生的探究精神，养成独立思考的习惯.四、课外作业1.四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)求二面角B－P A－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.2.图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．53.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE 沿DE折起，使点A到达点P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积．6。

2.3.4 平面与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.三维目标1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 重点难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 课时安排 1课时教学过程复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD 垂直,直线A′A 垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A 与平面ABCD 垂直吗？图2推进新课 新知探究 提出问题①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB ⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B. 请同学们讨论直线AB 与平面β的位置关系.图3②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.③设平面α⊥平面β,点P ∈α,P ∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a 与平面α的关系. ④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. ⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换.问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a 与平面α的关系.问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB 与平面β垂直,如图3.②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂⊂⊥B CD AB CDAB CD AB βααβαAB⊥β.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB ⊂α，AB⊥a 于B. 求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD 垂足为B,则∠ABE 就是二面角αCD β的平面角. 由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE 与CD 是β内两条相交直线,∴AB⊥β. ③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知α⊥β，P ∈α，P ∈a ，a⊥β.求证：a ⊂α.图6证明：设α∩β=c ，过点P 在平面α内作直线b⊥c， ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P ∈a,∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a 应与直线b 重合.那么a ⊂α.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b ，不易想到，二是证明直线b 和直线a 重合，相对容易些.点P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.应用示例思路1例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.图7解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.变式训练如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.图8 图9证明：如图9,(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2.∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.又a1⊂α，a2⊂β，∴a1、a2都是α、β的交线，即都重合于a.∵b∥a1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.图10 图11（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB,又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB.又∵BC⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB.又∵侧面PAB⊥底面ABCD ，∴PE⊥面ABCD. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角. PE=23BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt△PEC 中，∠PCE=45°为所求. （3）解：在矩形ABCD 中，AB∥CD,∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB∥侧面PCD. 取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF⊥AB. 又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD, ∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF. 作EG⊥PF，垂足为G ，则EG⊥平面PCD. 在Rt△PEF 中，EG=530=∙PF EC PE 为所求.变式训练如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB 1C 1C⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线. 解：∵面ABC∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC, 面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC. 设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE, 则B 1C 1∥AE，即BC∥AE.过C 1作C 1D⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C⊥面ABC, ∴C 1D⊥面ABC ，C 1D⊥BC. 又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2a,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD. 那么有BC⊥面DAC 1,即AE⊥面DAC 1. 故AE⊥AD，AE⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角. ∵C 1D=23a ，AD=23a ，C 1D⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC,图13（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC. (证法二):取AB 中点O ，连接OD 、OC,则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD 是二面角CABD 的平面角. 设AC=a ，则OC=OD=a 22, 又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD 是直角三角形，即∠COD=90°. ∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD. 又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD,∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=23a ，OE=21a,∴cos∠OEC=33=CE OE 即为所求.变式训练如图14，在矩形ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C′，且C′在面ABC 内的射影O 恰好落在AB 上.图14（1）求证：AC′⊥BC′；（2）求AB 与平面BC′D 所成的角的正弦值； （3）求二面角C′BDA 的正切值.（1）证明：由题意,知C′O⊥面ABD,∵C′O ⊂ABC′, ∴面ABC′⊥面ABD.又∵AD⊥AB,面ABC′∩面ABD=AB,∴AD⊥面ABC′.∴AD⊥BC′. ∵BC′⊥C′D,∴BC′⊥面AC′D.∴BC′⊥AC′.(2)解:∵BC′⊥面AC ′D,BC′⊂面BC′D,∴面AC′D⊥面BC′D.作AH⊥C′D 于H,则AH⊥面BC′D,连接BH,则BH 为AB 在面BC′D 上的射影, ∴∠ABH 为AB 与面BC′D 所成的角.又在Rt△AC′D 中,C′D=33,AD=3,∴AC′=32.∴AH=6. ∴sin∠ABH=32=AB AH ,即AB 与平面BC′D 所成角的正弦值为32. (3)解:过O 作OG⊥BD 于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO 为二面角C′BDA 的平面角.在Rt△AC′B 中,C′O=6''=∙ABBC AC ,在Rt△BC′D 中,C′G=233''=∙BD D C BC .∴OG=22C G C '-'=23.∴tan∠C′GO=22'=OGOC , 即二面角C′BDA 的正切值为22.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角，求二面角BB 1CA 的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN⊥平面BCC 1B 1（AN 即为我们要找的垂线）,在平面BCB 1内过N 作NQ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连接QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角.∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA⊥AB，∴CA⊥B 1A.AB=BB 1=1，得AB 1=2.∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角，∴∠B 1CB=30°，B 1C=2. 在Rt△B 1AC 中，由勾股定理,得AC=2.∴AQ=1. 在Rt△BAC 中，AB=1，AC=2，得AN=36. sin∠AQN=AQ AN =36, 即二面角BB 1CA 的正弦值为36. 变式训练如图16，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为BC 的中点. (1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角PAMD 的大小.图16 图17(1)证明：如图17,取CD 的中点E ，连接PE 、EM 、EA, ∵△PCD 为正三角形,∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3. ∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PE⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 是矩形,∴△ADE、△ECM、△ABM 均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=3，AM=6，AE=3,∴EM 2+AM 2=AE 2.∴AM⊥EM.又EM 是PM 在平面ABCD 上的射影,∴∠AME=90°.∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角PAMD 的平面角. ∴tan∠PME=33EM PE =1.∴∠PME=45°. ∴二面角PAMD 为45°.知能训练课本本节练习.拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥S —ABC 中,侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,∠BAC=90°,O 为BC 中点.(1)证明SO⊥平面ABC;(2)求二面角ASCB 的余弦值.图18 图19(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,△ABC 为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=22SA,且AO⊥BC.又△SBC 为等腰三角形,故SO⊥BC,且SO=22SA. 从而OA 2+SO 2=SA 2.所以△SOA 为直角三角形,SO⊥AO. 又AO∩BC=O,所以SO⊥平面ABC.(2)解:如图19,取SC 中点M,连接AM 、OM, 由(1),知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC. 所以∠OMA 为二面角ASCB 的平面角.由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC. 所以AO⊥OM.又AM=23SA,故 sin∠AMO=3632==AMAO. 所以二面角ASCB 的余弦值为33. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组3、4.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，尤其是线面垂直问题是立体几何的核心，一个立体几何问题能否解决往往取决于能否作出平面的垂线；面面垂直的性质定理恰好能解决这个问题，因此它是高考考查的重点，本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题以及最新2007全国各地高考真题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。

课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。

【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。

能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。

【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。

记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。

师: 也就是说将线面角转化为线线角。

BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。

二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。

〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。

三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。

平面与平面垂直（第1课时）一、教学任务分析(一)教材地位分析平面与平面垂直选自《普通高中课程标准教科书·数学（必修2）》（人教版A版）第八章第六节的内容，共需2个课时，其中“二面角与二面角的平面角”“两个平面垂直及其判定定理”属于第1课时，“平面与平面垂直的性质定理”属于第2课时。

平面与平面垂直是空间垂直关系的重点和难点内容，是转化和降维思想的重要体现。

该内容位于第八章结尾，研究内容与方法与研究平面与平面平行类似，同时，本节的学习将进一步完善空间观念。

(二)教学内容分析本节课研究的是平面与平面之间的特殊关系——垂直，因此主要以教师引导和学生自主探究相结合。

类似于定义直线与平面垂直的过程，首先给出二面角的概念，在引导学生思考二面角的度量问题，联系前面的学习经验，通过转化与降维的思想得到二面角的平面角的概念，进而实现以直线与直线垂直为基础定义平面与平面垂直。

在此基础上，引导学生结合实例观察思考并小组讨论，归纳出面面垂直的必要条件，从而得到平面和平面垂直的判定。

二、学情分析通过前面对的直线与平面平行、平面与平面平行、直线与直线垂直、直线与平面垂直等知识的学习，学生已经有了运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算来学习、研究立体几何的经验，掌握了平面化的方法，对线线、线面、面面之间的关系的转化也已经比较熟悉。

因此采用启发引导、探究和小组讨论等多元结合的教学方法，通过具体情境引发学生主动的思考和探究，借助一系列问题引导学生发现和归纳，进而实现从具体到抽象的过渡，理解和掌握定义，直观感知定理。

但本节课的抽象程度较高，故采用多媒体辅助教学，并注重借助长方体、引导学生正确作图来帮助直观感知。

三、设计理念1.立体几何的学习抽象程度较高，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的要求较高，其中位置关系的研究聚焦在“平行”和“垂直”上，这是学习立体几何的两个重点部分。

而研究过程中，首先通过直观感知和操作确认来帮助学生由浅入深，有利于联系生活实际、激发学习兴趣，再进行推理论证、度量计算，从而实现由表及里、由定性到定量，深化对空间图形认识的过程，帮助学生逐步建立空间观念，体会数学源于生活，感悟数学的严谨性与逻辑性。

高中数学234平面与平面垂直的性质教案新人教A版必修2教案教学内容：高中数学《平面与平面垂直的性质》教学设计教学目标：1.理解平面与平面垂直的定义；2.掌握平面与平面垂直的判定方法；3.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学重点：1.平面与平面垂直的定义；2.平面与平面垂直的判定方法。

教学难点：1.运用平面与平面垂直的性质解决实际问题。

教学准备：1.多媒体设备；2.教学课件；3.板书工具。

教学过程：Step 1：导入新知以两面相交直线的垂直为例，复习垂直线段的定义与判定方法，并引入本节课的主要内容：平面与平面垂直。

Step 2：引入新知1.解释平面与平面垂直的定义：当两个平面的交线与其中一个平面的一条直线垂直时，称这两个平面垂直。

2.图示两个平面垂直的情况，强调交线与直线垂直的关系。

Step 3：判定平面与平面垂直的方法1.利用平面与直线垂直的性质，结合两个平面所包含的直线，判定两个平面垂直。

2.指导学生通过观察图形，判定哪些平面是垂直的。

Step 4：例题讲解结合具体示例，讲解平面与平面垂直的判定方法。

例题：已知平面P与平面Q的交线与直线l垂直，l与平面Q的交线与平面R的交线垂直。

问平面P与平面R是否垂直？解题思路：由已知条件可知，平面P与平面Q的交线与直线l垂直，说明平面P与平面Q垂直；同时l与平面Q的交线与平面R的交线垂直，说明平面R与平面Q垂直。

因此，根据垂直的传递性推论，可以得出平面P与平面R垂直。

Step 5：解决实际问题给学生提供一些有关平面与平面垂直的实际问题，引导学生用所学知识解决问题。

Step 6：归纳总结总结平面与平面垂直的定义与判定方法。

Step 7：课堂练习布置一些练习题，让学生进行巩固练习。

Step 8：作业布置布置课后作业，要求学生进一步巩固所学知识。

教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解平面与平面垂直的定义，并能够熟练运用判定方法解决问题。

同时，通过解决实际问题的训练，提高了学生的应用能力。

教学设计标题：平面与平面垂直的判定学情分析：学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，并且大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.然而，对两个平面的垂直关系还停留在感性的认识阶段，还没有上升到理论，学生还不知道应该如何定义和判定两个平面互相垂直，还未能建立起各种垂直关系之间的联系，还没有形成完整的空间知识结构体系，学生内在的知识网络还有待进一步清晰化，所以学生在学习的过程中要适时的引导，关注学生的学习过程．教学目标：1.通过实例，引导学生运用类比的思想，提出平面与平面垂直关系的判定方法，提升直观想象、数学抽象和逻辑推理素养；2.学生通过直观感知、推理论证等探究过程，领悟研究几何问题的基本思路，提高运用图形语言、符号语言和文字语言表达与交流的能力；3.学生通过对实际问题的分析和探究，能将现实空间问题抽象为数学问题，并通过研究性学习的实践与展示，体验敢于探究、乐于探索和勇于创新的科学精神．教学重难点：教学重点：二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理教学难点：平面与平面垂直的判定定理的形成过程角，就说这两个平面互相垂直平面角例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找出下列二面角的平面角.(1)D1-AB-D (2)C1-BD-C (3)C-C1B-B1在正方体中设置两个二面角的问题学生通过抢答的方式找二面角的平面角，借此巩固二面角及其平面角的相关概念，并通过后面两个直二面角的问题，引发对判定定理的期待. （学生答完一题后，课件上展示二面角问题的图形并揭示答案）到直角，操作性有待改善，联想其它位置关系都有判定定理，因而激发学生对平面与平面垂直的判定定理的思考和期待，进而开启下一个内容，也就是难点内容，使得教学过程更流畅自然。

探究面面垂直判定定理(三)活动探究面面垂直的判定定理情景一：转动的门跟地面情景二：建筑工人砌墙，常用铅锤检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴地面，就说明墙面与地面垂直，不然就不垂直。

5.2 平面与平面垂直-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.能够理解平面与平面垂直的概念，并用数学语言描述；2.能够根据所给定的条件，判断两平面之间的垂直关系；3.能够通过实例分析，应用垂直条件解决相关问题。

二、教学重难点1.教学重点：平面与平面垂直的概念、判断两平面之间的垂直关系、垂直条件的应用；2.教学难点：垂直条件的应用。

三、教学内容及课时安排1.教学内容：•平面与平面垂直的概念；•判断两平面之间的垂直关系；•判断两平面之间的垂直关系的条件；•垂直条件的应用。

2.课时安排：本节课需要2课时。

四、教学步骤和过程1. 概念教学•共面直线：在同一个平面内的两个直线相交，它们所在的平面称为共面直线；•平面：三维空间中无限多个点组成的一个平坦面，它有无限多个方向；•平面的方程：平面再三维坐标系中可以用一般式和点法式表示；•平面的垂线：从一个点出发，与平面垂直的直线称为平面的垂线；•平面与平面垂直：若两平面所在的直线互相垂直，这两个平面就是垂直的；•垂直条件：两个平面垂直的等价条件是它们的法向量的点积为零。

2. 方法讲解•如何根据垂直条件判断两个平面是否垂直；•解决实例问题的思路和方法。

3. 练习与讲解1.根据垂直条件判断以下两组平面是否垂直•x+y−z+1=0和2x+2y+2z−4=0•2x−y+3z=1和4x−2y+6z=82.某家具店的展厅长方体长为4m，宽为3m，高为2.5m。

展厅的顶棚与地面平面垂直，请问它的顶棚与每堵墙都垂直吗？五、教学反思本节数学课主要讲解了平面与平面垂直的概念、如何判断两平面之间的垂直关系以及相关的垂直条件。

在教学过程中，结合实例并让学生自己思考问题能够更好的加深理解，培养学生的分析和理解能力。

同时，通过课堂训练，学生的运用垂直条件的技能与能力得到提升。

提问回答例题练习1..二面角的概念（1）半平面：平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（3）二面角的画法和记法：面1－棱－面2 点1－棱－点2二面角βα--l二面角QlP--问题1：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？问题2：探究：用课本作模型，相邻两页书也构成二面角，活动：尝试“打开课本”为30°、90°、120°，观察是指哪个角的变化？（4）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.思考：∠AOB 的大小与点O在棱l上的位置有关吗？为什么？二面角的平面角必须满足：①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻两个墙面与地面可构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

【答案】三个2. 平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作：βα⊥图形表示：深刻二面角概念。

学生做好笔记，并理解记忆学生做好笔记，并力。

通过思考，引入二面角的平面角，提高学生分析问题、概括能力。

通过观察，由实例引入两平观察：如图，建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？【答案】用铅锤来检测，如系有铅锤的细线紧贴墙面，认为墙面垂直与地面。

3.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

图形： 符号语言：βαβα⊥⇒⊂⊥a a , 简记：线面垂直，则面面垂直。

三、巩固知识、典型讲练练习：概念辨析．判断下列说法的对错：(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.（ ）(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（ ）(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.（ ）(4)若m ⊥α , m ⊂β,则α⊥β.（ ）例 1.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求证：平面A C AC BD A ''⊥'平面例2.如图,AB 是圆O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.练习：练．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③四、课堂小结1. 平面与平面垂直的判定：(1)定义(2)判定定理2.数学思想：转化思想五、布置作业习题8.6 6,7题让学生进行小结结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

《平面与平面垂直》教学设计第1课时◆教学目标理解二面角的定义，会作二面角的平面角，能求二面角的平面角的大小；通过直观感知，操作确认，归纳面面垂直的定义；掌握面面垂直的判定定理、会用定理证明垂直关系．◆教学重难点◆教学重点：了解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理．教学难点：灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入【新知探究】问题1：如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角” 变大的感觉，你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：如何定义二面角的平面角？范围是什么（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）预设的答案：(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.(2)图形表示：(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．设计意图：通过定理思辨，提升学生对二面角定义的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．问题2：师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：如何定义平面与平面垂直？平面与平面垂直的判定定理是什么预设的答案：1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.2．画法判定定理(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：如果l ⊂α，l ⊥β，则α⊥β.(4)作用：证明平面与平面垂直.证明：当,l l αβ⊂⊥时，α与β一定相交，如图所示，设,m l O αββ== 过O 在平面β内作与m 垂直的直线OA ，则有l OA ⊥，从而可知α与β所成角的大小为90o，因此αβ⊥注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面．设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 如图所示，在正方体''''ABCD A B C D -中，求二面角'D AB D --的大小． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：连接'D A 和'C B ，由已知有AB ⊥面''ADD A ．所以',AD AB AD AB ⊥⊥．因此'D AD ∠即为二面角'D AB D --的平面角由于'D AD ∆是等腰直角三角形，因此'45o D AD ∠=．所以二面角'D AB D --的大小为45o.设计意图：通过典例分析，提高学生对面面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2. 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥A 1E .(1)求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1； (2)求证：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1. 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1)∵ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱． ∴BB 1⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ． ∴AD ⊥BB 1，又D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，又BC ∩BB 1＝B ，BC ，BB 1⊂平面BCC 1B 1. ∴AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADA 1． ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. (2)∵ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱． ∴AA 1⊥平面ABC ，又DE ⊂平面ABC ． ∴AA 1⊥DE ，∵DE ⊥A 1E ． 又A 1E ∩AA 1＝A 1． ∴DE ⊥平面ACC 1A 1．又DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面ACC1A1.设计意图：通过典例分析，提高学生对面面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：1．求二面角的大小的关键是什么？2．面面垂直的判定方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．2．面面垂直的判定方法(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直．(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面与平面垂直的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．()(2)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．()设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．2. 经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．3. 在三棱锥P－ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，如图，则在三棱锥P－ABC 的四个面中，互相垂直的面有________对．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．4. 如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC 是直角三角形，∠P AC＝90°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．参考答案：1. (1)正确．(2)错误．可能平行，也可能相交或异面．2. 1个或无数个设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.3. 3平面P AB⊥平面P AC，平面P AB⊥平面PBC，平面P AC⊥平面PBC．4. 因为平面P AC⊥平面ABC．平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC．所以P A⊥平面ABC.又BC平面ABC．所以P A⊥BC.又因为AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB平面P AB．P A平面P AB．所以BC⊥平面P AB.又BC平面PBC．所以平面P AB⊥平面PBC。