E H F
G
E
AE =?
AE =?
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G , H 分别是边 AB , BC , CD , DA 的中点
(1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若 BD= 2 A
,AC=2,EG=2。求异面直线 AC 、BD 所成的角和 EG 、BD 所成的角。
B
D
C
证明:在?ABD 中,∵ E , H 分别是 AB , AD 的中点∴ EH // BD , EH =
1
BD 2
同理, FG // BD , FG = 1 BD ∴ EH // FG , EH = FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 2
(2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC = AC , AD = BD , E 是 AB 的中点。求证:(1) AB ⊥ 平面 CDE;
(2)平面CDE ⊥ 平面 ABC 。
A
证明:(1)
BC = AC ?
? CE ⊥ AB
?
同理, AD = BD ? ? DE ⊥ AB
B
C
?
又∵ CE ? DE = E
∴ AB ⊥ 平面CDE D
(2)由(1)有 AB ⊥ 平面CDE
又∵
AB ? 平面 ABC , ∴平面CDE ⊥ 平面 ABC
考点:线面垂直,面面垂直的判定
3
D
D
3、如图,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 是 AA 1 的中点,
求证: A 1C // 平面
BDE 。 1
证明:连接 AC 交 BD 于O ,连接 EO , ∵ E 为 AA 1 的中点, O 为 AC 的中点
∴ EO 为三角形 A 1 AC 的中位线 ∴ EO // A 1C
又 EO 在平面 BDE 内, A 1C 在平面 BDE 外
∴ A 1C // 平面 BDE 。考点:线面平行的判定
4、已知?ABC 中∠ACB = 90
, SA ⊥ 面 ABC , AD ⊥ SC ,求证: AD ⊥ 面 SBC . 证明:∵∠ACB = 90 ° ∴ BC ⊥ AC S
又 SA ⊥ 面 ABC
∴ BC ⊥ 面 SAC ∴ BC ⊥ AD
∴ SA ⊥ BC
A
B
又
SC ⊥ AD , SC ? BC = C C
∴ AD ⊥ 面 SBC
考点:线面垂直的判定
5、已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.
求证:(1) C 1O ∥面 AB 1D 1 ;(2) A 1C ⊥ 面 AB 1D 1 .
D 1 C 1
B 1
A 1
AC ? B D = O
证明:(1)连结 A 1C 1 ,设 1 1 1 1
1
,连结 AO 1
∵ ABCD - A 1B 1C 1D 1 是正方体 ∴ A 1 ACC 1 是平行四边形
C
∴A 1C 1∥AC 且 A 1C 1 = AC
O
又O 1 , O 分别是 A 1C 1 , AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1 = AO
A
B ∴ AO
C 1O 1 是平行四边形
∴C 1O ∥AO 1 , AO 1 ? 面 AB D ,
C O ? 面 AB D
∴C 1O ∥面 AB D
(2) CC 1 ⊥ 面 A 1B 1C 1D 1 ∵A 1C 1 ⊥ B 1D 1 1 1
1
1 1
1 1
∴CC 1 ⊥ B 1D !
又 , ∴ B 1D 1 ⊥ 面A 1C 1C 即A 1C ⊥ B 1D 1 同理可证
A 1C ⊥ AD 1 , 又 D 1
B 1 ? A D 1 = D 1
∴ A 1C ⊥ 面 AB 1D 1
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
1 B 1
F E
D G C =
1
.7、正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中.(1)求证:平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C ; (2)若 E 、F 分别是 AA ,CC 的中点,求证:平面 EB D ∥平面 FBD .
D 1
C 1 1
1
1 1
证明:(1)由 B 1B ∥DD 1,得四边形 BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD ,
A 又 BD ?平面
B 1D 1
C ,B 1
D 1 ? 平面 B 1D 1C , ∴BD ∥平面 B 1D 1C . 同理 A 1D ∥平面 B 1D 1C .
A
而 A 1D ∩BD =D ,∴平面 A 1BD ∥平面 B 1CD .
(2)由 BD ∥B 1D 1,得 BD ∥平面 EB 1D 1.取 BB 1 中点 G ,∴AE ∥B 1G .
从而得 B 1E ∥AG ,同理 GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面 EB 1D 1.∴平面 EB 1D 1∥平面 FBD .
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体 ABCD 中, AC = BD , E , F 分别为 AD , BC 的中点, 且 EF =
∠BDC = 90
,求证: BD ⊥ 平面 ACD
2 AC ,
2
证明:取CD 的中点G ,连结 EG , FG ,∵ E , F 分别为 AD , BC 的中点,∴ EG // 1
AC
2
FG =// 1 BD ,又 AC = BD , ∴ FG = 1 AC ,∴在?EFG 中, EG 2 + FG 2 = 1 AC 2 = EF 2
2 2 2
∴ EG ⊥ FG ,∴ BD ⊥ AC ,又∠BDC = 90
,即 BD ⊥ CD , AC ? CD = C ∴ BD ⊥ 平面 ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
9、如图 P 是?ABC 所在平面外一点, PA = PB ,CB ⊥ 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,
AN = 3NB
P
(1) 求证: MN ⊥ AB ;(2)当∠APB = 90
, AB = 2BC = 4 时,求 MN 的长。
证明:(1)取 PA 的中点Q ,连结 MQ , NQ ,∵ M 是
PB 的中点, M
∴ MQ // BC ,∵ CB ⊥ 平面 PAB ,∴ MQ ⊥ 平面 PAB
∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影 ,取 AB 的中点 D ,连结 PD ,∵ PA = PB , ∴
PD ⊥ AB ,又 AN = 3NB ,∴ BN = ND
C
A
∴ QN // PD ,∴ QN ⊥ AB ,由三垂线定理得 MN ⊥ AB
B
N
(2) ∵ ∠APB = 90
, PA = PB , ∴ PD =
1
AB = 2 ,∴ QN = 1 ,∵ MQ ⊥ 平面 PAB .∴ MQ ⊥ NQ ,且
2
MQ = 1
BC = 1,∴ MN = 2
考点:三垂线定理
10、如图,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 、 F 、G 分别是 AB 、 AD 、C 1D 1 的中点.求证:平面 D 1EF ∥ 平面 BDG .
证明:∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点,∴ EF ∥ BD 又 EF ? 平面 BDG , BD ? 平面 BDG ∴ EF ∥平面 BDG ∵ D 1G
EB ∴四边形 D 1GBE 为平行四边形, D 1E ∥ GB
又 D 1E ? 平面 BDG , GB ? 平面 BDG ∴ D 1E ∥平面 BDG
EF ? D 1E = E ,∴平面 D EF ∥平面 BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
2
2 11、如图,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 是 AA 1 的中点.
(1) 求证: A 1C // 平面 BDE ;
(2) 求证:平面 A 1 AC ⊥ 平面 BDE .
证明:(1)设
AC ? BD = O , ∵ E 、O 分别是 AA 1 、 AC 的中点,∴ A 1C ∥ EO
又 A 1C ? 平面 BDE , EO ? 平面 BDE ,∴ A 1C ∥平面 BDE
(2)∵ AA 1 ⊥ 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , AA 1 ⊥ BD 又 BD ⊥ AC ,
AC ? AA 1 = A ,∴ BD ⊥ 平面 A AC , BD ? 平面 BDE ,∴平面 BDE ⊥ 平面 A AC
1
1
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知 ABCD 是矩形, PA ⊥ 平面 ABCD , AB = 2 , PA = AD = 4 , E
为 BC 的中点. (1) 求证: DE ⊥ 平面 PAE ;(2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角. 证明:在?ADE 中, AD 2
= AE 2
+ DE 2
,∴ AE ⊥ DE ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,∴ PA ⊥ DE 又 PA ? AE = A ,∴ DE ⊥ 平面 PAE
(2) ∠DPE 为 DP 与平面 PAE 所成的角
在 Rt ?PAD , PD = 4 ,在 Rt ?DCE 中, DE = 2 在 Rt ?DEP 中, PD = 2DE ,∴ ∠DPE = 300
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13 、如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是∠DAB = 600
且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD .
(1) 若G 为 AD 的中点,求证: BG ⊥ 平面 PAD ; (2) 求证: AD ⊥ PB ;
(3) 求二面角 A - BC - P 的大小.
证明:(1) ?ABD 为等边三角形且G 为 AD 的中点,∴ BG ⊥ AD 又平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,∴ BG ⊥ 平面 PAD
(2) PAD 是等边三角形且G 为 AD 的中点,∴ AD ⊥ PG
且 AD ⊥ BG , PG ? BG = G ,∴ AD ⊥ 平 面 PBG ,
PB ? 平面 PBG ,∴ AD ⊥ PB (3) 由 AD ⊥ PB , AD ∥ BC ,∴ BC ⊥ PB 又 BG ⊥ AD , AD ∥ BC ,∴ BG ⊥ BC ∴ ∠PBG 为二面角 A - BC - P 的平面角
在 Rt ?PBG 中, PG = BG ,∴ ∠PBG = 45
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
2
1 1 ?
14、如图 1,在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, M 为CC 1 的中点,AC 交 BD 于点 O ,求证: A 1O ⊥ 平面 MBD .
证明:连结 MO , A M ,∵DB ⊥ A A ,DB ⊥AC ,
A 1 A ? AC = A ,
1
1
∴DB ⊥平面 A 1 ACC 1 ,而 A 1O ? 平面 A 1 ACC 1 ∴DB ⊥ A 1O . 设正方体棱长为a ,则 AO 2
= 3
a 2 , MO 2
= 3
a 2
.
1
2 4 在Rt △ A C M 中,A M 2 = 9
a 2 .∵ A O 2 + MO 2 = A M 2 ,∴ A O ⊥ OM .
1 1 1 4
1 1 1
∵OM ∩DB =O ,∴ A 1O ⊥平面 MBD .
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直
15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作 B E ⊥C D ,E为垂足,作 A H ⊥B E 于H.求证:A H ⊥平面
B C D . 证明:取 A B 的中点F,连结 C F ,D F .
∵ AC = BC ,∴ CF ⊥ AB . ∵ AD = BD ,∴ DF ⊥ AB .
又CF DF = F ,∴ AB ⊥ 平面 CDF . ∵ CD ? 平面 C D F ,∴ CD ⊥ AB . 又CD ⊥ BE , BE ? AB = B , ∴ CD ⊥ 平面 A B E , CD ⊥ AH .
∵ AH ⊥ CD , AH ⊥ BE ,
CD ? BE = E , ∴ AH ⊥ 平 面
B C D . 考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中,A 1C ⊥平面 BC 1D
证明:连结 AC
∵BD ⊥AC ∴ AC 为 A 1C 在平面 AC 上的射影
∴ BD ⊥A 1C
?
? A C ⊥平面BC D
同理可证A C ⊥BC ? 1
1
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°, 求证:平面 ABC ⊥平面 BSC .
证明∵SB=SA=SC ,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O ,连 AO 、SO 则 AO ⊥BC ,SO ⊥BC ,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a ,又∠BSC=90°,∴BC= 2 a ,
SO= 2 a 1 1
AO 2=AC 2-OC 2=a 2- 2 a 2= 2 a 2,∴SA 2=AO 2+OS 2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC ⊥
平面 BSC .
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)
2