锐角三角函数-基础+培优

湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题与简答一．选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．如图，ABC∆中，90B∠=︒，2BC AB=，则sin(C=)A．52B．12C ．255D ．552．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，4BC=，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若4sin5BDC∠=，则AC的长是()A．43B．26C．10D．83．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:5，堤高4BC m=，则迎水坡宽度AC的长为()A．5m B．45m C．26m D．46m4．已知ABC∆是锐角三角形，若AB AC>，则()A．sin sinA B<B．sin sinB C<C．sin sinA C<D．sin sinC A<5．如图，在Rt ACB∆中，90C∠=︒，sin0.5B=，若6AC=，则BC的长为() A．8B．12C．63D．1236．已知A，B都是锐角、且sin sinA B<，则下列关系正确的是()A．A B∠>∠B．tan tanA B>C．cos cosA B>D．以上都不正确7．如图，在ABC∆中，30A∠=︒，3tan B，23AC=AB的长是()第1题图第2题图第3题图第5题图第7题图A ．4B ．33+C ．5D ．223+8．在Rt ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，1tan 2A =，则sin (B = ) A ．12B ．32C ．55D ．2559．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ''的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角AOA α∠'=，则栏杆A 端升高的高度为( ) A ．4sin α米 B ．4sin α米 C ．4cos α米 D ．4cos α米10．如图，A ，B 两景点相距20km ，C 景点位于A 景点北偏东60︒方向上，位于B 景点北偏西30︒方向上，则A ，C 两景点相距( ) A ．10kmB ．103kmC ．102kmD ．2033km 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知3tan(15)α+︒=，则锐角α的度数为 ︒． 12．比较大小：cos45︒ cos55︒（用“>”或“<”填空） 13．在ABC ∆中，若90C ∠=︒，10AB =，2sin 5A =，则BC = 14．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，3tanC =，3AB =，则AC 的长为 ．15．已知A ∠为锐角，且1cos 2A，那么A ∠的范围是 ． 16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，3tan 4B =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE = ．17．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的第9题图第10题图第14题图第16题图俯角α是45︒，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度41:3BCi=，则大楼AB的高为米．18．如图，在菱形ABCD中，AE BC⊥，E为垂足，若4cos5B=，2EC=，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是．三．解答题（共6小题，满分46分，其中19、20每小题6分，21、22每小题7分，23、24每小题10分）19．已知032a b=≠，求代数式3cot60(2)cos30tan45a ba b+︒-︒︒的值．20．如图，在ABC∆中，90C∠=︒，3tan3A=，ABC∠的平分线BD交AC于点D，3CD=，求AB的长？21．如图，AD是ABC∆的中线，1tan3B=，2cos C=，2AC=．求：（1）BC的长；（2）sin ADC∠的值．22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的长度是19.5米，MN是二楼楼顶，//MN PQ，点C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC MN⊥，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角CAQ∠为45︒，坡角BAQ∠为37︒，求二楼的层高BC（精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈第17题图第18题图23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD 急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF 的坡比1:3i =． （1）求加固后坝底增加的宽度AF ；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）湘教版2020—2021学年九年级数学上册第4章《锐角三角函数》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．C ． 7．C ． 8．D ． 9．B ． 10．B ． 二．填空题（共8小题）11． 15 ︒． 12． > ． 13． 4 ． 14．21． 15． 6090A ︒<︒ ． 16．87． 17． 27 ． 18． 4.8 ． 三．解答题（共6小题）19．已知032a b=≠，求代数式3cot 60(2)cos30tan 45a b a b +︒-︒︒的值． 【解】：032a b=≠， 23a b ∴=，∴23b a =， 原式323323..22322332(2).a a a===-．20．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，3CD =，求AB 的长？【解】：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan A =， 30A ∴∠=︒， 60ABC ∴∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，30CBD ABD ∴∠=∠=︒，又3CD =，3tan30CDBC ∴==︒，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒， 6sin30BCAB ∴==︒． 答：AB 的长为6．21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，2cosC =，2AC =．求：（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．【解】：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，2cos C 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==，4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==， 1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，2sin ADC ∴∠=． 22．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB 的长度是19.5米，MN 是二楼楼顶，//MN PQ ，点C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC MN ⊥，在自动扶梯底端点A 处测得C 点的仰角CAQ ∠为45︒，坡角BAQ ∠为37︒，求二楼的层高BC （精确到0.1米）．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解】：延长CB 交AQ 于点D ，则CD AQ ⊥，在Rt BAD ∆中，sin BD BAD AB ∠=，cos ADBAD AB∠=， sin 19.50.611.7BD AB BAD ∴=∠≈⨯=，cos 19.50.815.6AD AB BAD =∠≈⨯=，在Rt CAD ∆中，45CAD ∠=︒， 15.6CD AD ∴==， 3.9BC CD BD ∴=-=，答：二楼的层高BC 约为3.9米．23．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449)≈【解】：设MC x=，30MAC∠=︒，∴在Rt MAC∆中，3tan3MCAC xMAC===∠．45MBC∠=︒，∴在Rt MCB∆中，MC BC x==，又40AB DE==，40AC BC AB∴-==，即340x x-=，解得：2020354.6x=+≈，54.6 1.556.1MF MC CF∴=+=+=（米)，答：楼MF的高56.1米．24．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45︒的防洪大堤（横断面为梯形)ABCD急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比1:3i=．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【解】：（1）分别过点E、D作EG AB⊥、DH AB⊥交AB于G、H．四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，DH ∴平行且等于EG ．故四边形EGHD 是矩形． ED GH ∴=．在Rt ADH ∆中，tan 10tan4510AH DH DAH =÷∠=÷︒=（米)．在Rt FGE ∆中， 3EGi FG==， 33FG EG ∴=（米)．1033101037AF FG GH AH ∴=+-=-=（米)；（2）加宽部分的体积AFED V S =⨯梯形坝长 1(31037)105002=⨯+⨯⨯ 25000310000=-（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF 为(1037)米； （2）完成这项工程需要土石310000)立方米．。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中，4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=.在Rt ADM △中，tan MDDAM AM∠=，所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.设缉私艇的速度为v海里/小时，则有2491716=，解得617v=.经检验，617v=是原方程的解.答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．4．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数5．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3∵∠MCF＝30°∴FC3MF，即x＋33－20)解得：x ＝40331- ＝60＋203≈95m答：电视塔MN 的高度约为95m ．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCMS =.【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒，∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CMy 轴， ∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BMOC ， ∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=.故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图1，以点M （－1，0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－x －与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（2）如图2，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP : PH ＝3 : 2，求cos ∠QHC 的值；（3）如图3，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得8．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+【解析】【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解.【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AF ACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒tan EF ECF CF∴∠= 3123EF ∴= 43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.9．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，3PA 的长；(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3，∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD=+=2，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．10．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒.（2）若2ABD BDC ∠=∠.①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒，CE DB ⊥，90DEC ∴∠=︒，//CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒.（2）①如图，连接OC .OA OC =，12∴∠=∠.312∠=∠+∠，321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠，421∴∠=∠，43∴∠=∠，//OC DB ∴.CE DB ⊥，OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径，CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==.OC CF ⊥，90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==， 解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．。

探究新知
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它 的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，
∠A＝∠A'＝α，那么
BC AB
与 B' C'
A' B'
有什么关系？你能解释一
下吗？
B' B
A
C A'
C'
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
35m 50m
A
C C'
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管
三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
.
探究新知
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，A
∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比
AB BC A' B' B' C'
BC B' C' AB A'B'
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究新知
归纳： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
OP OA2 AP2 32 42 5.
因此 sin AP 4 .

第二十八章 锐角三角函数1. 锐角三角函数（一）预习归纳在直角三角形中，锐角a 的 对边 与 斜边 的比叫做角ɑ的正弦，记作sin ɑ ． 例题讲解 【例】（2014·兰州）如图，在Rt △ABC 中，∠C 90°，BC ＝3，AC ＝4，那么sin A 的值等于( C ) A ．43 B ． 54 C ． 53 D ． 34基础题训练1 ．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，则AC ：BC ：AB ＝2:3:12 ．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则∠A ＝ 30° ．3 ．已知△ABC 中，∠A ＝∠B ＝21∠C ，则BC ：AC ：AB4 ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的正弦是（ A ） A ．AB BC B ． AB AC C ． AC BC D ． BCAB5 ．计算2·sin45°的结果等于（ B ）A ．2 B ． 1 C ．22D ． 32 6 ．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2BC ，则sinA 的值为（ C ） A ．552 B ． 2 C ． 55D ． 32 7 ． 把Rt △ABC 的三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值（ A ）A ． 不变B ． 缩小为3倍C ． 扩大3倍D ． 不能确定 8 ．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13， BC ＝5，求sinB 的值．ABCABC解：sin B＝13129．（2015·包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB＝14，求线段AC的长．解：2中档题训练10 ．△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝31，则BC等于（ B ）A ．45B ．5C ．51D ．45111 ．(2014·威海）如图，在右边网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( D )A．310B．12C．13D．1012．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sinB＝135，求菱形的周长．解：设AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝12x，∴12x＋1＝13x，x＝1∴AB＝13，∴菱形的周长为52 ．ABDCE13 ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD ⊥AB 于D ，sinA ＝54，AC ＝5，求sinB 及BC 的长．解：sin B ＝53 BC ＝32014 ．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c ＝35，若关于x 的方程（35＋b ）x 2＋2ax ＋35－b ＝0，有两个相等的实数根． （1）试判断△ABC 的形状； （2）若sin A ＝53，求△ABC 的面积． 解：（1）由题意知：（a ＋b ）x 2＋2ax ＋c －b ＝0，△＝0，可知a 2＋b 2＝c 2，∴∠C ＝90°． （2）S △ABC ＝18 ．综合题训练15 ．（2014·上海）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．求sin B 的值．解：可证∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ，又AC 5CH ，故sinB 5．ADC2. 锐角三角函数（二）预习归纳1．在直角三角形中，锐角a 的 邻边 与 斜边 的比叫做角a 的余弦，记作 cosa 2．在直角三角形中，锐角a 的 对边 与 邻边 的比叫做角a 的正切，记作tana 例题讲解【例】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，则sinA ＝513；cosA ＝1213 ；tanA ＝ 512 ；sinB ＝ 1213 ；cosB ＝ 513；tanB ＝ 125 ．基础训练1 ．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，tanA ＝43，则BC ＝ 6 ；AB ＝ 10 ；sinB ＝45 ；cosB ＝ 35；tanB ＝ 43 ． 2 ． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝3，则sinAcosA ＝ ；sinB ＝；、cosB tan ＝ 13． 3．（2015·天津）cos45°的结果等于（ B ）A ．12 B ．C ． 23 D ．4 ．（2014·巴中） 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝513，则tanB 的值是（ D ） A ．1213 B ． 512 C ． 1312 D ． 1255 ．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝54，则tanB 的值为（ A ） A ． 34 B ． 43 C ． 53 D ． 546 ．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝5， AC ＝6，则tanB 的值是( C ) A ． 54B ． 53C ． 43D ． 34A7 ．在△ABC 中，∠C ＝90°∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列式子一定成立的是（ B ） A ． a ＝c ·sin B B ． a ＝c ·cosB C ． a ＝c ·tanB D ． a ＝Bccos 8 ．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，求tanA 、tanB 的值．解：tanA ＝3；tan B33 9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝1，BD ＝4． (1)求CD 的长； (2)求sin A 、tan B 的值． 解：(1)2 (2)255，12中档题训练10．(2014·苏州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5， BC ＝8．若∠BPC＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝ 43． 11．(2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )． A ．2 B ．255 C ．55 D ．12第10题图 第11题图 第12题图 12．如图，△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是多少？ 解：AD ⊥BC ，∵△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35．AC ＝5，∴cos B ＝2＝BDAB，∴∠B ＝ 45°，∵sin C ＝35＝AD AC ＝5AD ，∴AD ＝3，CD ＝4，∴BD ＝3，则△ABC 的面积是：12×AD ×BC ＝12×3×(3＋4)＝21213．如图，正方形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 上一点，BN ＝3CN ，求tan ∠MAN 的值．解：连MN ，易证△ADM ≌△MCN ，知∠AMN ＝90°，∴tan ∠MAN ＝MN AM ＝CM AD ＝12．综合题训练14．如图，直线y＝－3x＋b与x轴、y轴分别交于点D、A，与双曲线y＝kx在第一象限交于B、C两点，且AB·AC＝4．(1)求tan∠ADO的值；(2)求k的值．解：(1)过B作BM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵A (0，b)，D (3b，0)，∴tan∠ADO＝3b ＝3．(2)设点B和点C的横坐标分别为m，n，则AB＝23m，AC＝23n，∴AB·AC＝23m·23n＝4，∴mn＝3，又m，n为方程－3x＋b＝kx的两根，∴mn＝k，∴3＝3k，∴k＝33．锐角三角函数(三)预习归纳锐角α30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313(1)α的值逐渐增大，α的值逐渐减小，α的值逐渐增大．(2)sin30°＝cos60°，sin30°＝cos60°；(3) sin230°＋cos230°＝1；(4)sin30cos30︒︒＝tan30°；(5)若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．例题讲解【例】计算：1－2sin30°·cos30°＝232-．基础题训练1．计算: sin30°·cos30°＋cos60°·sin45°＝32+．2．计算：3tan30°·tan45°＋2cos60°＝3＋1．3．若α为锐角，且tanα＝1，则α＝45°，cosα＝22．4．计算：cos601+1+sin60tan30︒︒︒＝2．5．(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A＝3，co sB＝12，则∠C＝60°．6．计算：(1) (2011－1)0＋18sin45°－22．(2) (2015·长沙) (12)－1＋4cos60°－|－3|＋9．解：原式＝0解:原式＝4(3)27－(4－π)0－6cos30°＋|－2| (4)(2015·福州) (－1)2015＋sin30°＋(2－3)(2＋3)．解：原式＝1解：原式＝1 2中档题训练7．(2014·凉山州)在△ABC中，若|cos A－12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是( C)A．45°B．60°C．75°D．105°8．反比例函数y＝kx的图象经过点(tan45°，cos60°)，则k＝12．9．在△ABC中，∠A＝30°，sin B＝3，AC＝23，则AB＝4．10．已知2＋3是方程x2－5x sinθ＋1＝0的一个根，且0°＜θ＜90°，求sinθ的值．解：sinθ＝4 511．(2014·连云港)如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，求tan∠ANE的值．解：设正方形的边长为2a，DH＝x，则CH＝2a－x，由翻折的性质，DE＝12AD＝12×2a＝a．EH＝CH＝2a－x，在Rt△DEH中，DE2＋DH2＝EH2，即a2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝34a，∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°∵∠ANE＋∠AEN＝90°∴∠ANE＝∠DEH，∴tan∠ANE＝tan∠DEH＝DHDE＝34aa＝34综合题训练12．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD 上．(1)求证：△ABF≌△DFE；(2)若sin∠DFE＝13，求tan∠EBC的值．(1)略(2) Rt△DFF中，sin∠DFE＝DEEF＝13，∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝22EF DE＝22a，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴CE＝EF＝3a，CD＝DE＋CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，又由(1)△ABF≌△DFE，∴EFBF＝DFAB＝224aa＝22，∴tan∠EBF＝EFBF＝2，tan∠EBC＝tan∠EBF＝24. 解直角三角形（一）预习归纳在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则有：(1)三边的关系（勾股定理）是__________ a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系是__________∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系是：sin A__________ac；sin B__________bc；cos A__________bc；cos B__________ac；tan A__________ab；tan B _________ba.例题讲解【例】在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，则cos B的值是（B）.A.3B. 13C. 33D.23基础题训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若c＝12，sin A＝13，则a＝__________4，b＝__________；（2）若∠A＝30°，a＝8，则∠B＝__________60°，c＝__________16，b＝__________；（3）若a＝，b＝，则∠A＝__________60°，∠B＝__________30°，c＝__________（4）若a＝c＝4，则∠A＝__________45°，∠B＝__________45°，b＝__________.2. （2015·兰州）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝（D）CA.B.12C. D.3. 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，给出下列四个结论：①a＝c·sin A；②a＝b·tan A；③c＝a·sin C；④sincosAA＝tan A，其中正确的结论是（B）BA. ①②③B. ①②④C. ①③④D.②③④4. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，∠CBD＝a，AB＝3，BC＝4.（1）求sinα的值；（2）求AD的长.解：（1）4 5（2）9 55.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a－b1，求斜边c的长.解：tan A＝ababb－b1，b＝1，c＝2.中档题训练6.如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝45°，BC，求AC 的长.解：作BD ⊥AC 于D ，CD ＝BD ＝1，ADAC＋1. 7.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果BD ＝9，BC ＝5，cos B ＝35，E 为AC 的中点，求sin ∠EDC 的值.解：sin ∠EDC ＝sin ∠C ＝1213. 8.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC的角平分线，若AC ，求线段AD 的长.解：∵△ABC 中,∠C ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠BAC ＝60°，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD ＝30°，∴在Rt △ADC 中，AD ＝cos30AC＝2.9.如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE ，求sin ∠ACE .E解：过E 作EH ⊥AC ，∴AH ＝3CH ，∴sin ∠ACE .综合题训练10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，（1）求ACBC的值；（2）求sin A的值.解：（1）在AC上取点E，使AE＝BE，则∠CEB＝30°，设BC＝1，则BE＝2，CE，AC＝2AB2＝（2）2＋1＝8＋AB1，ACBC＝2（2）sin A＝BCAB5. 解直角三角形（二）预习归纳视线与视平线的夹角叫做__________视角；当视线在视平线之上时，此视角叫做__________仰角；当视线在视平线之下时，此视角叫做__________俯角.例题讲解【例】如图，飞机于空中A处探测地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角∠α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为（B）A.1200米B. 2400米米米基础题训练1.如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于（A）A. 34B.43C.45D.352.（2014·孝感）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交所成的锐角为a ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则ABCD 的面积是（ A ）A. 12ab sinαB. ab sinαC. ab cosαD. 12ab cosα 3. 如图，是意大利著名的比萨斜塔，塔身的中心线与垂直中心线的夹角A 约为5°28＇，塔身的长为54.5m ，则塔顶中心偏离垂直中心线的距离BC 是（ A ）A. 54.5×sin5°28＇mB. 54.5×cos 5°28＇mC. 54.5×tan5°28＇mD.o 54.5m sin528'4. （2015·长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为（ C ）OAA. 30tan α米 B.30sinα米 C. 30tanα 米 D.30cosα米5. （2015·哈尔滨）如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1200m ，从飞机上看到地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ D ）1200mαBCAA.1200 m 2 m 3 D.2400 m中档题训练6.如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆20米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝22°，求电线杆AB 的高.（精确到0.1）（sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）.α解：AB ＝20×tan22°＋1.20≈9.3.7.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度，已知在离地面1500 m 高的C 处有一架飞机，飞行员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.CD解：∵OA ＝1500×tan30°＝1500×33＝5003，OB ＝OC ＝1500， ∴AB ＝1500－5003≈1500－865＝635（m ）.8.如图，教室窗户的高度AF 为2.5米，遮阳篷外端一点D 到窗户上椽距离为AD ，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC 为30°，PE 为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为3米，试求AD 的长度.（结果带根号）B F PA D解：AD ＝332米. 综合题训练 9. （2015·天津）如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上，小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°.已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC ＝21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位）.参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.47°42°F A BD解：如图，根据题意，DE ＝1.56，EC ＝21，∠ACE ＝90°，∠DEC ＝90°，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，则∠DFC ＝90°，∠ADF ＝47°，∠BDF ＝42°，可得四边形DECF 为矩形，∴DF ＝EC ＝21，FC ＝DE ＝1.56，在Rt △DF A 中，tan ∠ADF ＝AFDF，∴AF ＝DF ·tan47°≈21×1.07＝22.47，在Rt △DFB 中，tan ∠BDF ＝BFDF，∴BF ＝DF ·tan42°≈21×0.90＝18.90，于是，AB ＝AF －BF ≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC ＝BF ＋FC ≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5. 答：旗杆AB 的高度约为3.6m ，建筑物BC 的高度约为20.5m.6. 解直角三角形（三）预习归纳在一斜坡上，升高的高度h与水平前进的距离l的比叫坡度，用字母i表示，即i＝hl.例题讲解【例】如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，测得斜坡的坡度为1:2.4，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是（C）A.6.2米B.6.4米C. 6.5米D.7.2米基础题训练1. 如图，已知某斜坡的坡度为13，则斜坡的坡角α是（A）i=1:3αA.30°B. 45°C. 60°D.0°＜α＜30°2. 一艘海轮位于灯塔的北偏红65°方向，那么灯塔位于这艘海轮的（A）A. 南偏西65°方向B. 南偏西25°方向C. 北偏西65°方向D. 北偏西25°方向3. （2014·上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1:2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为__________26米.4. 河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡的坡比是3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比），则AC的长是（）ABA. 5米B. 10米C. 15米3米5. 如图，某人从A 点出发，沿着西南方向行了个单位，到达B 后观察到原点O 在它的南偏东60°方向上，则原来A 点的坐标为__________（04）.（结果保留根号）6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为个坡面的坡度为__________1：2.7.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB：1，坡长AB m ，为加强水坝强度，将坝底从A 处向后延伸到F 处，使新的背水坡BF 的坡度为1:1，求AF 的长度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）.解：过B 作BE ⊥AD 于E ，在Rt △ABE中，tan ∠BAE ＝BEAE则∠BAE ＝60°，∴AE＝3BE ＝BE ＝30，tan ∠BFE ＝BEEF＝1，∴BE ＝EF ＝30，∴AF ＝EF －AE ＝30－13 m中档题训练8.如图，斜坡AC 的坡度为1:3，AC ＝10米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与点A 有一条彩带AB 相连，AB ＝14米，试求旗杆BC 的高度. 解：BC ＝6米9.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积.(结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732≈，2 1.414≈) 解：52.010.（2015 南京）如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO ＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h 和36km/h .经过0.1h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO ＝58°,此时B 处距离码头O 有多远？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈）解：设B 处距离码头O 有x km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°.∵tan COCAO AO∠=. ∴()tan 450.1tan 45 4.5CO AO CAO x x ︒=∠=⨯+=+，在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°， ∵tan DODBO BO∠=，∴tan tan 58DO BO DBO x ︒=∠=，∵DC DO CO =-， ∴()360.1tan 58 4.5x x ︒⨯=-+，∴360.1 4.5360.1 4.513.51.601tan 581x ︒⨯+⨯+=≈=--，因此，B 处距离码头O 大约13.5km .综合题训练11.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行，现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米. (1)求坡角∠D 的度数.(结果精确到1°)（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？ (参考数据：cos 200.94︒≈，sin 200.34︒≈，sin180.31︒≈，cos180.95︒≈)解：（1）4cos cos 0.944.25AB D ABC BC ∠=∠==≈，∴0.94D ∠≈. (2) sin 85sin 20850.3428.9EF DE D ︒=∠=≈⨯=米，共需台阶28.910017170⨯÷=级.专题三角函数与圆 利用圆转化角求三角函数1.如图，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ A ）A ．OM 的长B .2OM 的长C .CD 的长 D .2CD 的长2.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则 sin ∠BAC 的值等于线段（ B ）A ．BC 的长B .DE 的长C .AD 的长 D .AE 的长3.如图⊙O是△ABC外接圆，AD是⊙O的直径，连CD，若⊙O的半径32r=，AC＝2，则cos B的值是（B）.A.12B.53C.52D.234.如图，直角梯形ABME中，∠M＝90°，BM∥AE，以AB为直径的⊙O与EM切于点C，连BE,若AE＝6,AB＝10，则tan∠BEM的值为（D）.A.12B.2C.13D.65.如图，⊙O与矩形ABCD的边CD切于点E，交BC于点F，M为BF上一点，若7CE=，7AD=，则tan∠M的值为（A）.A.7B.34C.7D.356.如图，已知⊙O的半径为10，AB＝6，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于D，则sin∠CBD 的值等于（B）.A.13B.10C.310D.37.如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相较于P点，BPC a∠=，则CDAB的值为（B）.A.sin aB.cos aC.tan aD.1 cos a专题 三角函数与圆 圆中三角函数的综合运用1.（2011武汉中考）如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与P A 的延长线交于点E . (1)求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若1tan 2ABE ∠=，求sin E 的值.证：（1）连OA ，证△PBO ≌△P AO .(2)连接AD ，证AD ∥OP ，∴△ADE ∽△POE ，∵EA ADEP OP=由AD ∥OC 得AD ＝2OC ， ∵1tan 2ABE ∠=，∴12OC BC =，设OC t =，则2BC t =，2AD t =，由△PBC ∽△BOC ，得 24PC BC t ==，5OP t =，∴25EA AD EP OP ==，可设2EA m =，5EP m =，则3PA m =， ∴3sin 5PB E EP ==. 2.（2012 武汉中考）在锐角△ABC 中，5BC =，4sin 5A =. (1)如图1，求△ABC 外接圆的直径；（2）如图2，点I 为△ABC 的内心，BA BC =，求AI 的长.解：（1）作直径CD ，连BD ，∴254CD =. (2)延长BI 交AC 于D ，则BD ⊥AC ，IE ⊥BC 于F .∴4BD =，3AD AE CD ===，2BE BF ==，设ID IE IF x ===，在△BIF 中有 ()22224x x +=-，32x =，∴35AI =3.(2013武汉4月调考)在⊙O 中，AB 为直径，PC 为弦，且P A ＝PC . (1)如图1，求证：OP ∥BC ；（2）如图2，DE 切⊙O 于点C ，若DE ∥AB ，求tan ∠A 的值.解：（1）证△POA ≌△POC ，∠BCP ＝∠A ＝∠APO ＝∠CPO .(2)设PC 交AB 于M ，证△APB ∽△COM ，BP OM AP OC =，∴2BM BC BCOM OP OC===，设OM x =，2BM x =，∴212OM OC x x==-+，∴21BPAP =-.4.(2015 乌鲁木齐)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E . (1)求证：DC ＝DE ；（2）若1tan 2CAB ∠=，3AB =，求BD 的长.解：（1）连OC ，证∠DCE ＝∠E 即可. (2)1BD =.5.如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，P AB 是经过圆心O 的割线. （1）求证：∠PTA ＝∠BTO ；（2）若4PT =，2PA =，求sin B 的值.解：（1）90PTO ATB ︒∠==∠，∴PTA BTO ∠=∠；（2）在Rt △POT 中，222OP OT PT +=，∴()22242r r +=+，3r =， 由△P AT ∽△PTB ，∴12AT PA TB PT ==，设AT x =，2BT x =，∴5AB x =，∴5sin 5AT B AB ==.6.如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，ACD ABC ∠=∠.(1)求证：CA 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知6BE =，2tan 3ABC ∠=，5tan 3AEC ∠=，求圆的直径. 解：（1）略； （2）5tan 3AC AEC EC ∠==，∴35EC AC =，2tan 3AC ABC BC ∠==，∴32BC AC = 6BE BC EC =-=，∴203AC =，∴3201023BC =⨯=. 7.如图，AB 为⊙O 的直径，CD CB =，CE ⊥AD 于E ，连BE .(1)求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若6AE =，⊙O 的半径为5，求tan BEC ∠的值.证：（1）连OC 、BD 交于M ，证四边形EDMC 为矩形.(2)设OM x =，则2AD x =，5CM DE x ==-，∴()256x x +-=，1x =，∴26BM =，46BD =6tan tan 46DE BEC DBE BD ∠=∠==.。