小学六年级奥数抓住不变量分数应用题PPT课件

六年级奥数——抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。

抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

二、精讲精练【例题1】437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。

619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。

”97分母：（61-43）÷（1－）＝8197分子：81×＝63981-61＝20或63-43＝20437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。

1练习1：9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？【例题2】42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。

534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。

由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。

35分子：（2+1）÷（－）=12243分母：12× -1＝172解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

抓住不变量解分数应用题一、夯实基础有些分数应用题，数量变化多，分析难度大，不易列式计算。

但是，如果我们仔细分析就会发现，变来变去，总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量”。

对于这类分数应用题，我们通常是抓住“不变量”，巧设单位“1”，把其他分率统一转化为同一个单位“1”，求出单位“1”的量，把它作为解题的中间条件，问题就迎刃而解了。

运用“量不变”的思维方法解题时，大体上有以下几种情况：（1）分量发生变化，总量没有变化；（2）总量发生变化，但其中有的分量没有发生变化；（3）总量和分量都发生变化，但分量之间的差没有发生变化。

二、典型例题例1．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占94，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的199。

问后来又有几名女生来看书？ 分析：解这道题的关键在于抓住不变量（男生人数前后未变），根据男生人数占原来看书总人数的1－94=95，可求出原来看书的男生有多少人。

根据男生人数占现在看书人数的1－199=1910，可求出现在看书的总人数，进而可求出新来了几名女生。

解：36×（1－94）÷（1－199）－36=38－36=2（人） 答：后来又有2名女生来看书。

例2．有两缸金鱼，如果从甲缸中取出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的21。

求原来甲、乙两缸各有金鱼多少尾？分析：本题中，甲、乙两缸金鱼的尾数都在变，但两缸中金鱼的总尾数不变，所以把两缸的金鱼总尾数作为单位“1”。

由题意可知，从甲缸中取出1尾放入乙缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的21；从乙缸中取出1尾放入甲缸时，乙缸中的金鱼是总尾数的211+＝31 。

两种情况，乙缸中的金鱼相差1+1=2（尾），这2尾就是总尾数的21－31＝61 。

所以总尾数为：2÷61=12（尾）。

解：2÷（21－211+）=12（尾） 甲缸原有：12÷2＋1＝7（尾）乙缸原有：12－7＝5（尾）答：甲缸原有7尾，乙缸原有5尾。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第15讲——抓“不变量”解题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想解决现实教学目标生活中的问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识梳理一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。

如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。

但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。

在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。

抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。

根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。

典例分析考点一：总量不变题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。

解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。

例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名)。

P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。

单位1的转化抓住不变量例1、有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的75。

如果从乙粮库调6吨粮食到甲，甲粮库存粮的吨数就是乙粮库的54。

问原来甲、乙粮库各存粮多少吨？分析：抓住甲、乙粮库总的存粮吨数保持不变。

解：6÷（544+-755+）=6÷361=216（吨）216×755+=90（吨） 甲216×757+=126（吨） 乙答：甲粮库存粮90吨，乙粮库存粮126吨。

例2、小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的71，晚饭后她又看了8页这时已看的页数是未看的61，求这本小说共有多少页？分析：抓住小芳又看了8页的部分和所对应的分率，求小说的总页数，用除法。

解：8÷（611+-711+）=448（页）答：这本小说共有448页。

例3、育才小学六年级学生中女生占127，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的53，求六年级原来有学生多少人？分析：抓住“后来转来的15名女生”的部分和它多对应的分率，求“六年级学生总数”，用除法。

解：15÷[53÷（1-53）-127÷（1-127）]=15÷101=150（人） 男生150÷（1-127）=360（人）答：六年级原来有学生360人。

例4、甲乙二人共同生产一批零件,甲生产的是乙的35。

如果甲把自己生产的零件给乙55个，甲生产的就是乙的43，问甲、乙两人各生产多少个零件？分析：抓住“55个零件”和它所对应的分率，先求出甲、乙二人共同生产的零件总数。

解：55÷（535+-433+）=55÷5611=280（个）280×535+=175（个） 甲280-175=105（个） 乙答：甲生产175个零件，乙生产105个零件。

同步拔高1．有东、西两个粮库，如果从东库取出51放入西库，东库存粮的吨数是西库存粮吨数的21。

分数应用题一一抓住不变量例1、3两储苹果•乙廉苹果的乖惟足甲f?苹累的2・从甲筐中取出5『克半果放人乙0* 偿后■乙g中苹卑的重S足甲蟻的#“甲、£^啟懐苹果共垂裟少千克？巩固训练-有附上购你怡原来叩粮时碑的吨數址乙捲雁的y期盟从乙轅儒州昨吨報金到fpflm卩肛晅rm的吨歆就足乙帳库的4・原来叽乙（ft 1琴备存粮育多少吨73暮十小芳ft看一車说*晚饭射.已昏的西救尼未行的7 ■罐冥看了耳页・a时已看前页艱垦素#的2*这本小说有多少萸？—_ 9斗亿二人典湎鳖芦「批琴件小性严的魁乙生产的1骨恢站瞅甲把白己生产的零件皓乙55 4甲生严的最乙生严的Y冲 Z网人齐陀产r #少F弄+杆曲级5柚”里女生占?融灿进儿窖如虫诽如占总人貓詁”龔术nr尬来巧寥少扎？聊固训S 1』察輪小学兀隼麵空^生中女电|?^看*后来乂转* 丁 15無女生*这样女，弋年饶总人数的y・霑年圾囁*仃多少M2、「粮站匣有丈米占粮徵总量的齐頃出24吨大桶所剩大米占粮食总量的%问这个椎站原来共有粮負多少吨7訐唱&K中男生占女生丸数的卡.后舉丈用1103个女生'男生人數占合唱駅总人®的沽合嚼臥丿男女生各有参少人°r；F^岸图笳馆疽科扌总爭和文艺弔共530+ .其中科技书占20燥-g黑又拡f 一®份 tl-H +这时科抽栋占总数的帥％.求此买来广多少本科技»J ?聊固训练”五年级其科学生51 A-K屮女牛■占寻，后農乂转S若干名女生电时女生占2转塞的女佈秆巧少人】盅护*宥一淮曲果•Jt中孙椭占15%*再放人用块肚果W后，奶糖就只占25%*那么这堆衲*中冇奶懈多少块？巩固训塚2 一包糖果期糖占总块ft的、枚人诣块朮果糖后网臨占站数的环奶箱药彩少^块？©A 右曲權快空•第一tW垃2i分米■第二根氏30分米•两W轶蟾剪£同样怏的一段斤第一粮制下的也廈^^弟二根* F长度的詁剪下的1段有多怏？£ 3 巩固训gw甲乙两人去看电枳T融粘«价迪甲所有铁的咅ft乙所有钱的亍当他们再自买了电影聚后・甲羁下的找比乙卿下的铁多3元•甲、乙两人买电影票前各宵參少找？22煤气牧歉员到一幢懵牧璇气畫价款.他出權时一嬴我交款的户散占已2款户数的J•如魁少收2户上世空就的户数恰好占已兗K户fc的亍这《樓有舞少户？【当堂测试】hP-H：盐水.盐占盐水的弭加J6克ttJR.盐占盐忒的匝育盘水备娄少1■克¥J I2Z £趴原有人削竝屮趴的4 .现住丛叩徐AS瑚人到乙队丽乙臥人数込环队的亍玳•乙/闊朋原来茬有圭步人7旅¥吠门［琏原汁划殖全班i的人雲加大扫除r临时乂冇两人±渤期加.惟冥臥总忧大扌T除的人数是班上余下人»的7・S9W划抽岀5；夕人釧卩大打缺£4 一牛西nuw典千克・它重董的9&%姥木分・将囲瓜放在丈阳下圖■水會履发后的两；t 匝蜻时95輛悬水分.BP么晒后西氐的ifl足多少f电"■=■ " ■ ■沁一L£『："：...■1讨\； G八暑乐"川旻嬪一班0奔班会.一6畀宦上台向£那报& J诒下则生人败楚女生人ft的芈".yj 生卜冶乐一位女生”说厂台F魁吃人數只有女主人数的令二盂年圾一飢共有事;V*A?。

六上·第6讲抓不变量问题（比的应用）模型1：抓和不变【模型概述】几个量的和不变【模型梳理】在一些关于比的问题中，如内部调配问题（也叫给来给去问题），几个量的和会保持不变，则变化前后它们对应的份数和也应该不变。

【模型公式】解决这类问题的主要步骤如下：①计算份数和：分别计算变化前、后几个量的份数和。

②统一份数和：将各个份数和统一成它们的最小公倍数。

③求1份的量：变化的量÷对应的份数差＝1份的量④求所求量：所求量＝所求量对应的份数×1份的量【模型例题】甲、乙两箱中粉笔盒数的比是5∶1，如果从甲箱中取出12 盒放入乙箱后，甲、乙两箱中粉笔盒数的比是7∶5，那么甲、乙两箱中粉笔共有多少盒?【分析】甲乙两箱中粉笔盒数的和是一个不变量粉笔盒数的和＝12÷12盒占总盒数的几分之几＝12÷（甲箱中原来粉笔盒数占比－甲箱中现在粉笔盒数占比）【解答】12÷（55＋1－77＋5）＝48（盒）答：甲、乙两箱中粉笔共有48盒。

【真题演练】（荆州月考）张阿姨打一份稿件，打了一些后，已打页数与剩下页数的比是1：4，又打了25页，此时已打页数与剩下页数的比是3：7。

这份稿件共多少页？模型2：抓差不变【模型概述】两个量的差不变【模型梳理】在一些关于比的问题中，如同增同减问题（两个量同时增加或减少相同的量），两个量的差会保持不变，则变化前后它们对应的份数差也应该不变。

【模型公式】解决这类问题的主要步骤如下：①计算份数差：分别计算变化前、后两个量的份数差。

②统一份数差：将各个份数差统一成它们的最小公倍数。

③求1份的量：变化的量：对应份数的差＝1份的量④求所求量：所求量＝所求量对应的份数×1份的量【模型例题】甲书架上书的数量与乙书架上书的数量的比是4∶7，两个书架上各増加33本书后，甲书架与乙书架上书的数量比是5∶6。

甲、乙两个书架上原来各有多少本书？【分析】两个书架上书本数量的差不变①计算甲乙书架份数差；②将各个份数差统一成它们的最小公倍数；③求1份的量是多少本；④甲、乙两个书架上的书本数＝甲、乙两个书架对应的份数×1份的量【解答】7—4＝3（份）6－5＝1（份）5∶6＝（5×3）∶（6×3）＝15∶1833÷（15—4）＝3（本）甲：4×3＝12（本）乙：7×3＝21（本）答：甲书架上原来有12本书，乙书架上原来有21本书。

六年级抓不变量解答分数应用题一、抓住和不变1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人?练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。

如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?二、抓住部分不变1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。

又买来多少本科技书？练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克?2、现有质量分数为20％的食盐水80克。

把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克?练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？三、抓住差不变王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？综合练习：1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。

那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克?3、乙队原有人数是甲队的3/7。