第8讲 机器人的微分运动与速度

i
p = R pn
o n o i i
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
逆雅可比矩阵
若给定机器人手爪的广义速度向量 V ，由式V = J (q ) q 可解出相应的关节速度： q = J 1 (q ) V
q J 1 (q ) 称为逆雅可比矩阵， 为加给对应关节进给伺服系统
的速度输入变量。 当 J 不是方阵时， 1 (q ) 是不存在的，可以用广义逆雅可 J 比矩阵来确定关节速度向量。 当 J 是方阵时，可对 J 直接求逆，得到 J 1 (q )，但比较困 难。 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 J 1 (q )。
（一）雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q = [q1
T q2 qn ]
式中，qi (1,2, , n) 为连杆
i 相对于
i 1的角速度或线速度。
手爪在基坐标系中的广义速度向量为：
v V = = x y z ωx ω y ωz ω q 与 V 之间的线性映射关系称为
v V = = ω x x y z ω
[
ωy
ωz
]
T
广义加速度与各关节变量之间有什么关系 呢？如何计算呢？
五、加速度关系
V = J (q ) q
V = J (q ) q + J (q ) q = J 1 (V J q ) q
第八讲 机器人的雅可比矩阵 与速度分析
（一）雅可比矩阵的定义 （二）雅可比矩阵的构造法 （三）逆雅可比矩阵 （四）力雅可比 （五）加速度关系
例一：两自由度平面机构
写成矩阵形式：
Vx xB l1 sin θ1 l2 sin(θ 2 + θ1 ) l2 sin(θ 2 + θ1 ) θ1 VB = = = Vy y B l1 cosθ1 + l2 cos(θ 2 + θ1 ) l2 cos(θ 2 + θ1 ) θ 2
对左式求导，有：
（一）雅可比矩阵的定义
在机器人学中，雅可比矩阵是一个把关节 速度向量变换为手爪相对于基座标的广义 速度向量的变换矩阵。 在三维空间运行的机器人，J的行数恒为6； 在二维平面运行的机器人， J的行数恒为3； 列数则为机械手含有的关节数目。
（一）雅可比矩阵的定义
对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量 容易确定，且方位 与角运动的形成顺 序无关，可采用直接微分法求 J ，非常方便。
手爪速度向量
y A = 0.8 sin θ1 + 0.4 sin(θ 2 + θ1 ) + 0.5 sin(θ 3 + θ 2 + θ1 )
雅可比矩阵J 雅可比矩阵J
关节速度向量
θ = θ1 + θ2 + θ3
x A = 0.8 sin θ1 θ1 0.4 sin(θ 2 + θ1 ) (θ 2 + θ1 ) 0.5 sin(θ 3 + θ 2 + θ1 ) (θ 3 + θ 2 + θ1 )
四、力雅可比
机器人在与外界环境相互作用时，在接触处要产 生力 f 和力矩 n ，统称为末端广义力矢量，记做：
f F= n
在静止状态下，广义力矢量 F 应与各关节的驱动 力或力矩平衡。 个关节的驱动力矩组成 n 维矢 n 量： = [τ 1 τ 2 τ n ]T ，称为关节力矢量。 T
τ = J (q )F
= l1l 2 sin θ 2
显然，连杆的长度是不可能为0 显然，连杆的长度是不可能为0的；因此，若 θ 2 = kπ ， 因此， 机构出现奇异。 则 J = 0 。机构出现奇异。该机构的奇异形位就是两连 杆完全伸展或完全折叠，即机构工作空间的边界处。 杆完全伸展或完全折叠，即机构工作空间的边界处。 每个人都拿胳膊试试） （每个人都拿胳膊试试）
[x
y ]
T
（一）雅可比矩阵的定义
直接微分法对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从 机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 [x y z ]T 的显式方程，但找不到方位向量 [ x y z ]T 的一般表达式。 不能用直接微分法求雅可比矩阵，应采用构造法。
（二）雅可比矩阵的构造法
矢量积法和微分构造法： = J (q ) q D = J (q ) dq V 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其 前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 V 的传递 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 qi 对手爪 角速度 ω 的传递比，因此将 J 分块为：
J (q ) = 0
J
1
(q ) → ∞
q = J 1 (q ) V → ∞
由此可见，当雅可比矩阵的 行列式为0时，既使手爪的 速度为一个定值，关节速 度也将趋于无穷大，最终 结果会导致关节及该关节 的驱动装置损坏。
雅可比矩阵的奇异性
如前所述，雅可比矩阵不是一个常数矩阵，它的 行列式值随着机械手的运动在变化； 因此，当机械手运动到某个形位时，恰好使此时 的雅可比行列式值为0，就会造成奇异，此时机械 手的形位成为奇异形位； 机械手在工作时，应避开奇异形位附近，以免发 生危险，这导致了机械手的工作空间进一步缩小。
雅可比矩阵J，即：
[
]
T
x y z = ω x ω y ω z
q1 q 2 J q n
（一）雅可比矩阵的定义
在数学上，机器人终 端手爪的广义位姿向 量 V 可写成：
x(q1 , q 2 ,, q n ) y (q , q ,, q ) 1 2 n z (q1 , q 2 ,, q n ) P= x (q1 , q 2 , , q n ) y (q1 , q 2 ,, q n ) z (q1 , q 2 ,, q n )
V J i1 ω = J a1
Ji2 J a2
q1 J in q2 J a2 qn
矢量积法构造雅可比矩阵
对于移动关节 i
v zi zi w = 0 qi , J i = 0 对于转动关节 i
o o zi ×i pn v zi ×i pn qi , Ji = w = zi zi
末端速度向量
雅可比矩阵J 雅可比矩阵J
关节速度向量
xB = l1 cosθ1 + l2 cos(θ 2 + θ1 ) yB = l1 sin θ1 + l2 sin(θ 2 + θ1 )
Hale Waihona Puke Baidu
xB = l1 sin θ1 θ1 l2 sin(θ 2 + θ1 ) (θ 2 + θ1 ) y B = l1 cos θ1 θ1 + l2 cos(θ 2 + θ1 ) (θ 2 + θ1 )
T
四、力雅可比
例：2自由度机械手如图所示。取θ1＝0（rad）， θ2＝π/2（rad）的姿态时，分别求解生成手爪 τ 力 FA = [ f x 0]T 或 FB = [0 f y ]T 的驱动力τ A、 B 。
1）先求出机械手的 雅可比矩阵 2）代入力雅可比公 式，求得驱动力
五、加速度关系
设手爪在基座标系中的广义加速度为：
例二、三自由度平面机械手
写成矩阵形式： 由图可知： θ A 0.8 sin θ1 0.4 sin θ 2 0.5 sin θ 3 θ 1 V x x V = y = 0.8 cos θ θ VA = y A θ = θ1 +0.4 cos θ32 0.5 cos θ 3 2 θ2 + θ 1 ω z θ θ 3 1 1 1 x = 0.8 cos θ + 0.4 cos(θ + θ ) + 0.5 cos(θ + θ + θ ) A 1 2 1 3 2 1
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
例题：图中所示二自由度机械 手，手部沿固定坐标系X正向 以1.0m/s的速度移动，杆长 均为0.5m。设在某瞬时θ1＝ 30°，θ2＝60°，求相应瞬 时的关节速度。
（三）逆雅可比矩阵及奇异性
雅可比矩阵的奇异性
J * (q ) J 1 (q ) = J (q )
∵
若 则
y A = 0.8 cos θ1 θ1 + 0.4 cos(θ 2 + θ1 ) (θ 2 + θ1 ) + 0.5 cos(θ 3 + θ 2 + θ1 ) (θ 3 + θ 2 + θ1 )
结论
雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械臂末端速度 和各关节速度之间的关系； 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它 与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运 动，关节变量是变化的，雅可比（Jacobian）矩 阵也是变矩阵； 雅可比（Jacobian）矩阵的求法与求导有关； 雅可比（Jacobian）矩阵具有重要的研究意义；
奇异性的例子
l sin θ1 l2 sin(θ 2 + θ1 ) l2 sin(θ 2 + θ1 ) J = 1 l1 cos θ1 + l2 cos(θ 2 + θ1 ) l2 cos(θ 2 + θ1 )
J = l1 sin θ1 l 2 sin(θ 2 + θ1 ) l 2 sin(θ 2 + θ1 ) l1 cos θ1 + l 2 cos(θ 2 + θ1 ) l 2 cos(θ 2 + θ1 )