定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。
二、换元积分题1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln 2\)。
2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
三、分部积分题1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。
2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到\(\pi\)。
四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。
2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的面积。
五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒内物体的位移。
2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米内物体所做的功。
六、综合题1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线\(x = 1\) 所围成的面积。
2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x = e\) 所围成的面积。
七、挑战题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。
答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。
专升本高数定积分练习题### 专升本高数定积分练习题#### 一、基础题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。
3. 计算定积分 \(\int_{-2}^{2} x dx\)。
4. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx\)。
#### 二、提高题5. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。
6. 计算定积分 \(\int_{-1}^{1} \cos x dx\)。
7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \ln x dx\)。
8. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \tan x dx\)。
#### 三、应用题9. 计算定积分 \(\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx\)，其中 \(a > 0\)。
10. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx\)。
#### 四、挑战题11. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^3 \ln x dx\)。
12. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx\)。
#### 答案解析1. \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)2. \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{2} = \ln 2 -\ln 1 = \ln 2\)3. \(\int_{-2}^{2} x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4\)4. \(\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(0) = 1\)5. \(\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1\)6. \(\int_{-1}^{1} \cos x dx = [\sin x]_{-1}^{1} = \sin(1) -\sin(-1) = 2\sin(1)\)7. \(\int_{0}^{1} \ln x dx = \left[x\ln x - x\right]_{0}^{1}= (1\ln 1 - 1) - (0\ln 0 - 0) = -1\)8. \(\int_{0}^{\pi} \tan x dx\) 此积分发散，因为 \(\tan x\)在 \(x = \frac{\pi}{2}\) 处无界。
一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a b f (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛ab f (x )d x >0.答案：A 2. 若22223,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2B.0C.22cos1+D. 22cos1- 【答案】A 【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0）， 利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰ 二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________． 解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s 三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x 2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)(cos e )d x x x π-⎰＋＝00cosxd e d x x x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x 0－π＝1－1eπ. (3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516. (4)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2.9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )．解：由f (0)＝0得c ＝0， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x | 10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，∴c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5 【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的A ．31 B ．34 C ．2 D ．38 【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。
定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解 （1）()f x ¢=422x x xee---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下： 故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求． 例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小． 解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ． 错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元． 例15 计算3sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1） 而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò， （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò． （1） 令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =． （2） 将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=． 故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。
