最新苏科版七年级(下)动点问题专项复习

(完整版)初一下册代数动点问题1. 引言本文档旨在介绍初一下册代数动点问题的完整内容。

代数动点问题是数学中一类经典的问题，它涉及到点在坐标平面上的移动和代数运算。

通过解决这些问题，学生可以提高对代数概念的理解，并培养分析和解决问题的能力。

2. 问题描述初一下册代数动点问题主要涉及以下几个方面：2.1 点的表示问题中的点可以通过坐标来表示。

常用的表示方法有：- 以字母表示点，如点A、点B等。

- 使用有序数对表示点的坐标，如$(x,y)$表示点的坐标。

2.2 点的运动问题中的点可以进行各种运动，并且根据给定条件进行位置的变化。

常见的运动方式有：- 平移：点按照给定的向量进行位置的变化。

- 旋转：点按照给定的中心和角度进行位置的变化。

- 反射：点按照给定的镜像轴进行位置的变化。

2.3 代数运算问题中的点可以进行各种代数运算，如点的加法、减法等。

代数运算可以通过点的坐标进行计算，从而得到结果。

3. 解题步骤解决初一下册代数动点问题的一般步骤如下：3.1 读懂题目仔细阅读题目，理解题目中的问题要求和给定条件。

确保对问题的描述和限定有清晰的理解。

3.2 找出关键信息从题目中找出与代数动点问题相关的关键信息，如点的坐标、运动方式、代数运算等。

将这些信息整理并记录下来，以便后续使用。

3.3 列出代数表达式根据题目要求和给定条件，将问题转化为代数表达式。

使用合适的符号和操作符表示点的运动和代数运算过程。

3.4 解方程或计算根据列出的代数表达式，解方程或进行计算，得到最终的结果。

在解方程或计算过程中，注意运算符的优先级和代数运算的特性。

3.5 检查答案将得到的最终结果代入原题中进行验证，确保答案的准确性。

如果验证结果与题目要求一致，则问题得到了正确解答。

4. 拓展练为了帮助初一学生更好地掌握代数动点问题的解题方法，以下是一些拓展练题：1. 有一个点A的坐标为(2, 3)和一个点B的坐标为(5, 1)，求点A到点B的距离。

七年级动点问题大全（一）例1:如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；①求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2:如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4:已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6:在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A 点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表- 24，- 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

七年级下册动点问题及压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16．（1）求C点坐标；（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数．（3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16．∴（OA+BC）×OB=16，∴（3+BC）×4=16，∴BC=5，∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）（2）如图，延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=∠CAE，∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=∠OAG，∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=∠ADO，∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=∠ADP，∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°即：∠APD=90°（3）不变，∠ANM=45°理由：如图，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=∠DAO=∠BDM，∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=（90°﹣∠BMD），∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=∠BMD，∴∠DAN+∠DMN=（90°﹣∠BMD）+∠BMD=45°在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，在△AMN中，∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]=180°﹣（45°+90°）=45°，∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【考点】JB：平行线的判定与性质．【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．3.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象，（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；（2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒后，△APD的面积是矩形ABCD面积的．4．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，等量关系是：这两种电器共30台；共用去了5600元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，根据“用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的”列出不等式组；（3）结合（2）中的数据进行计算．【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得，解得，所以，20×+10×=1400（元）．答：橱具店在该买卖中赚了1400元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，依题意得，解得22≤a≤25．又∵a为正整数，∴a可取23，24，25．故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．（3）设橱具店赚钱数额为W元，当a=23时，W=23×+27×=2230；当a=24时，W=24×+26×=2240；当a=25时，W=25×+25×=2250；综上所述，当a=25时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台．5．（本题12分）已知：在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点B (b ，0)、点A (0，a )，且a 、b 满足0|32|34=++++--b a b a ，点D (h ，m )是直线AB 上且不与A 、B 两点重合的动点(1) 求△AOB 的面积;(2) 如图1，点P 、点T 分别是线段OA 、x 轴正半轴上的动点，过T 作TE ∥AB ，连接TP ．若∠ABO ＝n °，请探究∠APT 与∠PTE 之间的数量关系？（注：可用含n 的式子表达并说明理由）(3) 若32S △BOD ≥S △AOD ，求出m 的取值范围.。

七年级下册动点问题及压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，b），且（a﹣3）2+|b+4|=0，S四边形AOBC=16．（1）求C点坐标；（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE 的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数．（3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b+4|=0，∴a﹣3=0，b+4=0，∴a=3，b=﹣4，∴A（3，0），B（0，﹣4），∴OA=3，OB=4，∵S四边形AOBC=16．∴（OA+BC）×OB=16，∴（3+BC）×4=16，∴BC=5，∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，∴C（5，﹣4）（2）如图，延长CA，∵AF是∠CAE的角平分线，∴∠CAF=∠CAE，∵∠CAE=∠OAG，∴∠CAF=∠OAG，∵AD⊥AC，∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，∵∠AOD=90°，∴∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠OAG，∴∠CAF=∠ADO，∵DP是∠ODA的角平分线∴∠ADO=2∠ADP，∴∠CAF=∠ADP，∵∠CAF=∠PAG，∴∠PAG=∠ADP，∴∠APD=180°﹣（∠ADP+∠PAD）=180°﹣（∠PAG+∠PAD）=180°﹣90°=90°即：∠APD=90°（3）不变，∠ANM=45°理由：如图，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∵DM⊥AD，∴∠ADO+∠BDM=90°，∴∠DAO=∠BDM，∵NA是∠OAD的平分线，∴∠DAN=∠DAO=∠BDM，∵CB⊥y轴，∴∠BDM+∠BMD=90°，∴∠DAN=（90°﹣∠BMD），∵MN是∠BMD的角平分线，∴∠DMN=∠BMD，∴∠DAN+∠DMN=（90°﹣∠BMD）+∠BMD=45°在△DAM中，∠ADM=90°，∴∠DAM+∠DMA=90°，在△AMN中，∠ANM=180°﹣（∠NAM+∠NMA）=180°﹣（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）=180°﹣[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]=180°﹣（45°+90°）=45°，∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°2．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【考点】JB：平行线的判定与性质．【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．【解答】解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴AB∥CD；（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：如图3，∵∠1=∠2，∴∠3=2∠2．又∵GH⊥EG，∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．3.如图①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D停止，点P的速度为每秒1cm，a秒时点P改变速度，变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后△APD的面积S（cm2）与x（秒）的关系图象，（1）参照图②，求a、b及图②中的c值；（2）设点P离开点A的路程为y（cm），请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达DC中点时x的值．（3）当点P出发多少秒后，△APD的面积是矩形ABCD面积的．4．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，等量关系是：这两种电器共30台；共用去了5600元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，根据“用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的”列出不等式组；（3）结合（2）中的数据进行计算．【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得，解得，所以，20×+10×=1400（元）．答：橱具店在该买卖中赚了1400元；（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，依题意得，解得22≤a≤25．又∵a为正整数，∴a可取23，24，25．故有三种方案：①防购买电饭煲23台，则购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，则购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，则购买电压锅25台．（3）设橱具店赚钱数额为W元，当a=23时，W=23×+27×=2230；当a=24时，W=24×+26×=2240；当a=25时，W=25×+25×=2250；综上所述，当a=25时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台．5．（本题12分）已知：在平面直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点B (b ，0)、点A (0，a )，且a 、b 满足0|32|34=++++--b a b a ，点D (h ，m )是直线AB 上且不与A 、B 两点重合的动点(1) 求△AOB 的面积;(2) 如图1，点P 、点T 分别是线段OA 、x 轴正半轴上的动点，过T 作TE ∥AB ，连接TP ．若∠ABO ＝n °，请探究∠APT 与∠PTE 之间的数量关系？（注：可用含n 的式子表达并说明理由）(3) 若32S △BOD ≥S △AOD ，求出m 的取值范围.。

考前辅导一、仔细审题二、细心做题可能出现的多解题目类型：1． 等腰三角形的腰长问题（要考虑是否满足三边关系，不满足就舍去）2． 多项式是完全平方，求m 的值（m 通常是两解，但也要看情况，见下）3． 动点问题（给的图通常不全，要自己考虑全面）遇到折叠的题目：把图还原，折叠的部分对应边相等，对应角相等题目图中有借助到三角尺的：充分利用三角尺的特殊角度【常见题型】1. 2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为.2.适合条件::2:3:4A B C ∠∠∠=的三角形ABC 是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形3.若x 、y 满足0)2(12=++++-y x y x ，则=-22y x ( ) A ．1 B ．2C ．–1 D ．–24.已知6,8==+xy y x ，则①22y x +=②（x-y ）2=.5.小明从点A 向北偏东75°方向走到点B ，又从点B 向南偏西30°方向走到点C ，则∠ABC 的度数为________。

6.若()()22x ax b x ++-的乘积中不含有2x和x 的项，则a =__________，b =_________． 7.现有若干张卡片，分别是正方形卡片A 、B 和长方形卡片C ，卡片大小如图所示．如果要拼一个长为（a ＋2b ），宽为（a ＋b ）的大长方形，则需要C 类卡片张数为（） A ．1B ．2C ．3D ．48.现有纸片：4张边长为a 的正方形，3张边长为b 的正方形，8张宽为a 、长为b 的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（）A ．2a ＋3bB ．2a ＋bC ．a ＋3bD ．无法确定9.若代数式()()03362x x -++-有意义，则x 应满足的条件是______________10.3a x =，4b x =，则2a b x -=_____________．11.已知：52x =，57y =，528z =，则x 、y 、z 之间关系为___________．12.如果把多项式x 2-8x ＋m 分解因式得(x -10)(x ＋n )，那么m ＝，n ＝_。

初一数学下册中的动点问题张文彩初中一年级数学下册中有关几何内容是相交线与平行线，初一上册数学几何内容是点，线，面，体，还有角倍分的问题。

所以在初一阶段有关动点的问题相对简单，很多都与平行线有关，有时与平面直角坐标系结合一起，目的是考察学生的观察能力与思维能力。

下面根据平时的练习与本人的经验对初一数学下册出现的动点问题进行简单的总结，为初二初三年级研究复杂的动点问题打下坚实的基础。

动点在数轴上有规律的运动。

一、平面直角坐标中的动点。

在平面直角坐标系中根据平移的性质：平移前后的线段互相平行且相等，前后的线段就构成了平行四边形的一组对边，经常就会提出平行四边形的面积问题，三角形面积问题，由平行线可以设计一些有关角度之间关系的问题。

例1.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积 (2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)在x 轴上是否存在一点F ，使得三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍，若存在请求出点F 的坐标；若不存在请说明理由。

ABDCS 四边形P D CBAOxy（4）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合），设△CDP 与△BOP 的面积和为S ，则S 的取值范围是什么？（5）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：解析：（1）根据平移规律：左右平移横变化，左减右加；上下平移纵变化，上加下减。

A （－1，0），向上平移2个单位后得到坐标为：（-1,2），再向右平移1个单位，得到点C （0,2）；B 的坐标分别为（3，0），向上平移2个单位后得到坐标现（3,2），再向右平移1个单位得到点D （4,2）。

与线段中点有关的动点问题1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点；(3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A 、点B 表示的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB ＝|a ﹣b |．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值； （3）当7PQ =厘米时，求t 的值．7．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若24cm CD =，点N 是线段CD 的“奇妙点”，则CN = cm ； （3）（解决问题）如图③，已知24cm AB =，动点P 从点A 出发，以2cm/s 速度沿AB 向点B 匀速移动，点Q 从点B 出发，以3cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t ，请求出 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB 的长；（2）已知点P 为数轴上点A 左侧的一个动点，且M 为PA 的中点，N 为PB 的中点．请你画出图形，并探究MN 的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN 的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？14．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D 在数轴上表示的数是___，点A 在数轴上表示的数是___；（2）若点B 以每秒2个单位的速度向右匀速运动t 秒运动到线段CD 上，且BC 的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB 、CD 同时从原来的位置出发，线段AB 以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD 以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD 的中点记作P ，求出点P 与线段AB 的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．15．如图，已知数轴上点A 表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A ，B 两点间的距离为18．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t >0）秒，（1）数轴上点B 表示的数是____________，点P 表示的数是____________（用含t 的代数式表示）； （2）动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P 、Q 时出发．求： ①若点Q 向右运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 相遇?②若点Q 向左运动，当点P 运动多少秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度?16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．答案与解析1．如图，直线l 上有A ，B ，C ，D 四点，点P 从点A 的左侧沿直线l 从左向右运动，当出现点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，点P 就称为这两个点的黄金伴侣点，例：若P A ＝PB ，则在点P 从左向右运动的过程中，点P 成为黄金伴侣点的机会有（ ）A ．4次B ．5次C ．6次D ．7次【答案】C【分析】由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，根据线段中点定义解答即可．【详解】解：由题意知，点P 与A ，B ，C ，D 四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P 是其中一条线段的中点，图中共有六条线段：AB 、BC 、CD 、AC 、AD 、BD ， ∴点P 成为黄金伴侣点的机会有六次， 故选：C ．【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确理解题意得到线段中点定义是解题的关键．2．如图，C 为线段AB 上一点，45AB =，AC 比BC 的13多5，P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：①2BC AC =；②4AB NQ =；③当12PB BQ =时，12t =．其中正确的结论是________．3．如图，数轴上有两点,A B ，点C 从原点O 出发，以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动，点D 从点B 出发，以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC =，若点M 为直线OA 上一点，且AM BM OM -=，则ABOM的值为_______．4a b a a+-4．如图所示．点A ，B ，C 是数轴上的三个点，且A ，B 两点表示的数互为相反数，12AB =，13AC AB =．(1)点A 表示的数是______；(2)若点P 从点B 出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C 恰好是BP 的中点； (3)若点Q 从点A 出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB 的中点为M ，当2MC QB =时，则点Q 运动了多少秒？请说明理由．5．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB 的中点表示的数为2a b+． 如图，数轴上点A 表示的数为﹣2，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)填空：①A 、B 两点之间的距离AB ＝ ，线段AB 的中点表示的数为 ． ②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为 ；点Q 表示的数为 ． ③当t ＝ 时，P 、Q 两点相遇，相遇点所表示的数为 ． (2)当t 为何值时，PQ ＝12AB ．(3)若点M 为P A 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．6．如图，线段28AB =厘米，点D 和点C 在线段AB 上，且:5:2AC BC =，:1:4DC AB =．点P 从点A 出发以4厘米/秒的速度沿射线AD 向点C 运动，点P 到达点C 所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D 所在位置后停止运动，点Q 从点B 出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC 的方向运动，点Q 到达点D 所在的位置后停止运动．点P 和点Q 同时出发，点．Q 运动的时间为．．．．．．t 秒．． （1）求线段AD 的长度；（2）当点C 恰好为PQ 的中点时，求t 的值；PQ=厘米时，求t的值．（3）当77．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD 的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D 所表示的数（答案保留π）．）2AC =,，2BC +=+）点、C 都是线段，BC π=，BD y = AB AC =x x π∴+x y ∴=，AC BD ∴=（3）由题意可知：M N 、均为线段∴ 不妨设z z π∴+=1OM ∴=8．（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）CD=，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN=cm；如图②，若24cm（3）（解决问题）AB=，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B 如图③，已知24cm出发，以3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．）N 是线段根据定义，此题共分为三种情况．2CD=，即2DN=，即CN=，即24AB =∴ t 秒后，当P 点是由“奇妙点当AQ AP =PQ9．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(0+10)6a b -+=．动点P从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t （t ＞0）秒． （1）写出数轴上点A 表示的数是____________，点B 表示的数是______，点P 表示的数是____________（用含t 的式子表示）；（2）当点P 在点B 的左侧运动时，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，求PM －PN 的值（3）动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动多少秒时P 、Q 两点相距4个单位长度？10．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．11．【新知理解】如图①，点M 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AM 和BM ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M 是线段AB 的“奇点”． （1）线段的中点______这条线段的“奇点”（填“是”或“不是”） 【初步应用】（2）如图②，若18CD cm =，点N 是线段CD 的奇点，则______CN cm =； 【解决问题】（3）如图③，已知15AB cm =动点P 从点A 出发，以1/cm s 速度沿AB 向点B 匀速移动：点Q 从点B 出发，以2/m s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t ，请直接写出t 为何值时，A 、P 、Q 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的奇点？）一条线段的长度是另外一条线段长度的）18CD =可分三种情况，N 为中点时，N 为CD 的三等分点，且N 为CD 的三等分点，且AB=）15秒后，AP=由题意可知P为A、Q）点P为AQ中点时，则12．如图1，数轴上点A表示的数为－2，点B 表示的数为6，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点M、N分别为PA、QB的中点．P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，运动停止，设点P、Q 运动时间为t秒．（1）当点P、Q相遇时，t ＝，MN ＝．（2）当PQ之间的距离为4个单位长度时，求线段MN的长．[知识迁移]学校数学社团学员自制了一个圆形转盘，如图2，O为转盘圆心，A、O、B在一条直线上，指针OP从OA出发绕点O顺时针方向转动，指针OQ也以相同的速度从OB出发绕点O逆时针方向转动．OP、OQ同时出发，当OP、OQ分别到达OB、OA时，运动停止．已知OM平分∠AOP，ON 平分∠BOQ，设∠MON ＝α，∠POQ ＝β．试探索α与β的关系．（直接写出答案）13．（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？3314．如图，数轴上有A、B、C、D、O五个点，点O为原点，点C在数轴上表示的数是5，线段CD 的长度为6个单位，线段AB的长度为2个单位，且B、C两点之间的距离为13个单位，请解答下列问题：（1）点D在数轴上表示的数是___，点A在数轴上表示的数是___；（2）若点B以每秒2个单位的速度向右匀速运动t秒运动到线段CD上，且BC的长度是3个单位，根据题意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若线段AB、CD同时从原来的位置出发，线段AB以每秒2个单位的速度向右匀速运动，线段CD以每秒3个单位的速度向左匀速运动，把线段CD的中点记作P，求出点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位时运动的时间．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根据题意以及数轴上所表示的数字写出点D、A表示的数字；（2）根据等量关系：点B运动的距离-13=3，列方程求解；（3）线段CD的中点P的位置为8，分情况讨论即可．【详解】（1）∵点C在数轴上表示的数是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴点D在数轴上表示的数是11，点B在数轴上表示的数是﹣8，点A在数轴上表示的数是﹣10；（2）B运动到CD上时，走过的路程为2t，减去BC的距离即为此时BC的长度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由题意得，线段CD的中点P的位置为8，分三种情况讨论：①当点P在点B右侧2个单位时，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②当点P在点B左侧2个单位时，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此时P与A重合；③当点P在点A左侧2个单位时，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；综上，当t=2.8或3.6或4时，点P与线段AB的一个端点的距离为2个单位．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．15．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为18．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒，（1）数轴上点B表示的数是____________，点P表示的数是____________（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点P、Q时出发．求：①若点Q向右运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇?②若点Q向左运动，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是数轴上在A左侧的一点，则可得OB＝AB−OA＝12，因为点B在原点左边，从而可得点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为4t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−4t；（2）①若点Q向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18，然后解方程即可；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则18＋2a−4a＝8；超过Q，则18＋2a＋8＝4a；由此求得答案即可．【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA＝6，∵AB=18，B是数轴上在A左侧的一点，∴OB＝AB−OA＝12，点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为−12；点P运动t秒的长度为4t，∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，∴P所表示的数为：6−4t；（2）①若点Q 向右运动，根据两点之间的距离为18，则4t+2t=18， 解得t ＝3，答：当点P 运动3秒时，点P 与点Q 相遇；②设当点P 运动a 秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度， 当P 不超过Q ，则18＋2a−4a ＝8，解得a ＝5； 当P 超过Q ，则18＋2a ＋8＝4a ，解得a ＝13；答：当点P 运动5或13秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度．【点睛】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系是解题关键．16．如图，点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是12-、b 、c ，且b 、c 满足2(9)200b c -+-=，动点P 从点A 出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q 从点C 出发，以1个单位/秒速度向左运动，O 、B 两点之间为“变速区”，规则为从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为t 秒．（1）b =____，c =____，A 、C 两点间的距离为____个单位； （2）①若动点P 从A 出发运动至点C 时，求t 的值； ②当P 、Q 两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； （3）当t =___时，P 、Q 两点到点B 的距离相等．∴PB=15-t ，()311333BQ CQ CB BQ t t =-==-=-， ∵PB=BQ ， ∴15333t t -=-， 解得t=12，④当点Q 和点P 都过了“变速区”，即15t >，如图所示：∴()215230PB t t =-=-，()11495BQ OQ OB t t =+=⨯-+=-， ∵PB=BQ ， ∴2305t t -=-， 解得：25t =；综上所述：当t=12或25时，点P 、Q 到点B 的距离相等； 故答案为12或25．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．。

七年级下册数学动点问题一、动点问题相关知识点1. 数轴上的动点问题在数轴上，点的移动规律是根据移动方向和移动距离来确定新的位置。

如果一个点A表示的数为公式，向右移动公式个单位长度，则移动后的点表示的数为公式；向左移动公式个单位长度，则移动后的点表示的数为公式。

例如：点公式在数轴上表示公式，向右移动公式个单位后，表示的数为公式；向左移动公式个单位后，表示的数为公式。

2. 平面直角坐标系中的动点问题点公式在平面直角坐标系中的移动规律。

如果点公式向右平移公式个单位，其坐标变为公式；向左平移公式个单位，坐标变为公式；向上平移公式个单位，坐标变为公式；向下平移公式个单位，坐标变为公式。

例如：点公式向右平移公式个单位后变为公式；向下平移公式个单位后变为公式。

3. 动点与几何图形的关系在三角形、四边形等几何图形中，动点的运动可能会改变图形的形状、大小或者某些线段的长度、角度等。

例如，在三角形公式中，点公式是公式边上的一个动点，当公式点运动时，三角形公式和三角形公式的面积关系可能会发生变化。

对于线段长度，若点公式，点公式，则线段公式的长度根据两点间距离公式公式来计算。

当点公式或公式为动点时，线段公式的长度会随着动点的运动而变化。

二、典型题目及解析1. 数轴上的动点问题题目：已知数轴上点公式表示的数为公式，点公式表示的数为公式，点公式从点公式出发，以每秒公式个单位长度的速度向右运动，点公式从点公式出发，以每秒公式个单位长度的速度向左运动，设运动时间为公式秒。

（1）当公式时，求点公式和点公式所表示的数。

（2）经过多少秒后，点公式和点公式相遇？（3）当公式时，求公式的值。

解析：（1）点公式从点公式出发，向右运动，速度为每秒公式个单位长度，当公式时，点公式表示的数为公式。

点公式从点公式出发，向左运动，速度为每秒公式个单位长度，当公式时，点公式表示的数为公式。

（2）点公式和点公式相遇时，它们所经过的路程之和等于公式之间的距离。

七年级动点问题大全例1 如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-1 2，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。

例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B 点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P 所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m 处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

初一数学动点问题集锦1、如图，已知ABC △中，10AB AC 厘米，8BC 厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP△全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t 秒，∴313BP CQ 厘米，∵10AB 厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD 厘米．又∵厘米，∴835PC 厘米8PC BC BP BC ，，∴PC BD ．AQ CDBP又∵AB AC ，∴BC ，∴BPD CQP △≌△．（4分）②∵PQv v ，∴BP CQ ，又∵BPD CQP △≌△，B C ，则45BPPCCQBD，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t秒，∴515443QCQ v t厘米/秒．（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x ，解得803x秒．∴点P 共运动了803803厘米．∵8022824，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．（12分）2、直线364yx 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6）1分（2）86OAOBQ ，10ABQ 点Q 由O 到A 的时间是881（秒）点P 的速度是61028（单位/秒）1分当P 在线段OB上运动（或03t ≤≤）时，2OQt OPt，2St1分当P 在线段BA上运动（或38t ≤）时，6102162OQ t AP t t ，,如图，作PDOA 于点D ，由PDAP BO AB，得4865t PD，1分21324255SOQ PDtt1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P，1分xAO QPBy12382412241224555555I M M ，，，，，3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA ，若PA=PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.∵△PCD为正三角形，∴DE=12CD=32，PD=3，∴PE=33 2.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，∴3342,=45AO PEAB PB PB即，∴315,2 PB∴31582PO BO PB，∴315(0,8)2P，∴31582k.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－3152－8)，∴k=－3152－8，∴当k=3152－8或k=－3152－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：B 5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB =5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长E的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP =，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3，AQ = CP= t ，∴3APt．由△AQF ∽△ABC ，22534BC ，得45QFt ．∴45QFt ．∴14(3)25S t t，即22655St t ．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP=90°．ACBPQED图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB，即335t t ．解得98t．②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQAP ABAC，即353tt ．解得158t．（4）52t或4514t．①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PCt，222QCQGCG 2234[(5)][4(5)]55t t ．由22PCQC，得22234[(5)][4(5)]55tt t ，解得52t．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t ，4514t】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B °，°，2BC．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为．（1）①当度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长ACBPQ E D 图5AC(E) BPQD图6GA C(E)BPQD图7GOE CB DAl OCB A（备用图）为；（2）当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………４分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………６分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.∴AB=4,AC=23.∴AO=12AC=3. ……………………８分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……………………10分7如图，在梯形ABCD中，354245AD BC AD DCABB∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC 于K ，DH BC 于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KHAD．1分在Rt ABK △中，2sin 454242AKABg ．2cos454242BKABg g2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，22543HC ∴43310BC BK KHHC3分ADCBMN（图①）ADCBK H（图②）ADCBG MN（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥∴3BG AD ∴1037GC 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ，．∵DG MN ∥∴NMC DGC ∠∠又C C ∠∠∴MNC GDC△∽△∴CNCM CDCG 5分即10257tt解得，5017t6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC 时，如图③，即102tt∴103t7分②当MN NC 时，如图④，过N 作NE MC 于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得11102522ECMCt t在Rt CEN △中，5cos EC t cNC t又在Rt DHC △中，3cos 5CH cCD ∴535tt 解得258t8分解法二：∵90C C DHC NEC ∠∠，∴NEC DHC△∽△∴NCEC DCHC 即553tt ∴258t8分③当MN MC 时，如图⑤，过M 作MFCN 于F 点.1122FCNCtADCBMN（图③）（图④）AD CBM NH E解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC CMCt解得6017t解法二：∵90C C MFC DHC ∠∠，∴MFC DHC△∽△∴FCMC HCDC即1102235t t ∴6017t综上所述，当103t 、258t或6017t时，MNC △为等腰三角形9分8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ，，60B∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PMEF 交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x .（图⑤）ADCBH N MF①当点N在线段AD上时（如图2），PMN△的形状是否发生改变？若不变，求出PMN△的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A DE BFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DE BFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）解（1）如图1，过点E 作EGBC 于点G ． 1分∵E 为AB 的中点，∴122BEAB．在Rt EBG △中，60B ∠，∴30BEG∠．2分∴22112132BGBEEG，．即点E 到BC 的距离为3．3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PMEF EGEF ，，∴PM EG ∥．∵EF BC ∥，∴EP GM ，3PM EG．同理4MNAB．4分如图2，过点P 作PH MN 于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMCB PMH∠∠，∠．∴1322PHPM ．∴3cos302MH PM g ．则35422NH MN MH．在Rt PNH △中，222253722PN NHPH．∴PMN △的周长=374PMPNMN．6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．图1ADEBFCG图2A DEBFCPNMG H当PM PN 时，如图3，作PRMN 于R ，则MRNR ．类似①，32MR．∴23MNMR．7分∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN．此时，6132x EP GMBC BG MC． 8分当MPMN 时，如图4，这时3MCMN MP ．此时，61353x EP GM．当NP NM 时，如图5，30NPM PMN ∠∠．则120PMN ∠，又60MNC ∠，∴180PNM MNC ∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan301MCPM g ．此时，6114x EP GM ．综上所述，当2x 或4或53时，PMN △为等腰三角形．10分9如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发图3AD EBFCPNM图4AD EBF CPMN 图5ADEBF （P ）CMNGGRG沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0）1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度．2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F，BE ⊥x 轴于点E，则BF＝8，4OFBE．∴1046AF．在Rt △AFB 中，228610AB3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ．∵90,ABCAB BC∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF．∴8614,8412OGFHCG．∴所求C 点的坐标为（14，12）．4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．∴APAM MP ABAFBF．1068t AM MP ．∴3455AMt PM t ，．∴3410,55PN OMt ON PMt ．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010St t t t（0≤t ≤10）5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a<0 ∴当474710362()10t时，△OPQ 的面积最大．6分A B CDEF G H M NPQOxy此时P的坐标为（9415，5310）． 7分（4）当53t或29513t时，OP与PQ相等．9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF o，且EF交正方形外角DCG 的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFC GEB图1 A DFC GEB图2A DFC GEB图3解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AMEC ，连接ME ．（2分）BMBE ．45BME°，135AME°．CF Q 是外角平分线，45DCF°，135ECF °．AME ECF ．90AEB BAEQ°，90AEBCEF°，BAECEF ．AME BCF △≌△（ASA ）．（5分）AEEF ．（6分）（2）正确．（7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE ，连接NE ．（8分）BN BE ．45NPCE°．Q四边形ABCD 是正方形，AD BE ∥．DAE BEA ．NAECEF ．ANE ECF △≌△（ASA ）．（10分）AEEF ．（11分）A D F CGEBM ADFC GE BN11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOBOA OB°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ，设OBx ，OC y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ，且使B D OB ∥，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△.xyBO Axy BO Axy BO A设点C 的坐标为00m m ，.则4BC OB OC m . 于是4AC BC m .在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OCOA，即22242mm，解得32m.点C 的坐标为302，. 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B,则B CD BCD △≌△. 由题设OBx OCy ，，则4B C BC OB OC y ，在Rt B OC △中，由勾股定理，得222B COCOB.2224yyx，即2128yx 6分由点B 在边OA 上，有02x ≤≤，解析式2128yx02x ≤≤为所求.Q 当02x ≤≤时，y随x 的增大而减小，y 的取值范围为322y ≤≤. 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B，且B D OB ∥.则OCB CB D . 又CBDCB D OCBCBD Q ，，有CB BA ∥.Rt Rt COB BOA △∽△.有OBOC OAOB，得2OC OB .9分在Rt B OC △中，设00OBx x，则02OCx .由（Ⅱ）的结论，得201228x x，解得08450845x x x Q ．，.点C 的坐标为08516，. 10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CECD时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CECD，则AM BN 的值等于；若14CE CD，则AM BN的值等于；若1CECDn（n 为整数），则AMBN 的值等方法指导：为了求得AM BN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（1）A BCDEFMN于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设111ABCEm BCmCD n，，则AM BN的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．图（2）N ABCD EF MN图（1-1）A BCDEFM由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BNEN ，．1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902ADCAB BCCDDA°,．∵112CECEDECD，．设BNx ，则NEx ，2NC x ．在Rt CNE △中，222NE CNCE．∴22221xx．解得54x，即54BN．3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM ABBM ，222DMDEEM ，2222AM AB DMDE ．5分设AM y ，则2DM y ，∴2222221y y．解得14y，即14AM．6分∴15AMBN．7分方法二：同方法一，54BN．3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．A DFMG∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CDBC ．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AGBN．∵90MNBE EBC BNM ，°．90NGBC MNGBNMEBCMNG Q ，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG CNGM，，°．∴BCE NGM EC MG △≌△，．５分∵114AMAGMG AM 5，=．46分∴15AM BN．7分类比归纳25（或410）；917；2211n n10分联系拓广2222211n mn n m12分。

七年级数学几何动点问题一、点在直线上运动。

题目1：已知数轴上点A表示的数为 - 3，点B表示的数为1，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发向左运动，同时点Q以每秒4个单位长度的速度从点B出发向左运动。

设运动时间为t秒。

当t为何值时，点P与点Q重合？当t为何值时，点Q到原点的距离是点P到原点距离的2倍？解析：点P表示的数为-3 - 2t，点Q表示的数为1-4t。

当点P与点Q重合时，-3-2t = 1 - 4t移项得：4t-2t=1 + 32t=4，解得t = 2。

点P到原点的距离为|-3-2t|，点Q到原点的距离为|1-4t|。

由题意得|1 - 4t|=2|- 3-2t|情况一：当1-4t = 2(-3 - 2t)1-4t=-6 - 4t，此方程无解。

情况二：当1-4t=-2(-3 - 2t)1-4t = 6 + 4t移项得：-4t-4t=6 - 1-8t=5，解得t=-(5)/(8)题目2：在数轴上，点A表示的数为20，点B表示的数为 - 10，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒。

当t = 5时，求点P表示的数；点P到点A和点B的距离相等时，求t的值。

解析：当t = 5时，点P向左运动的距离为3×5=15点P表示的数为20-15 = 5点P表示的数为20-3t，点P到点A的距离为|20-(20 - 3t)|=3t，点P到点B的距离为|20-3t+ 10|=|30 - 3t|当点P到点A和点B的距离相等时，3t=|30 - 3t|情况一：3t=30 - 3t6t=30，解得t = 5情况二：3t=-(30 - 3t)3t=-30 + 3t，此方程无解。

二、点在三角形边上运动。

题目3：在ABC中，BC = 8，AC = 6，∠ C = 90^∘，点P从点B出发，沿BC方向以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动，设运动时间为t秒（0）。

数轴上的动点问题【知识概要】“数轴上的动点问题”是初中数学中的动点问题的基础，它的解决离不开数轴上两点之间的距离．为了便于我们对这一类问题的学习和分析，不妨先明确以下两个问题：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，或用右边的数减去左边的数的差．用式子表示为：数轴上两点间的距离＝右边点表示的数—左边点表示的数；2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此将向右运动的速度看作正速度，对应地，将向左运动的速度看作负速度．这样，在起点的基础上加上点的运动路程，就可以直接得到运动后点的坐标．例如：一个点表示的数为a ，向左运动)0(≥b b 个单位后表示的数为b a -；向右运动)0(≥c c 个单位后所表示的数为c a +．【例题讲解】【例1】一个动点A 在数轴上跳动，点n A （n 为正整数）表示点A 第n 次跳动后的位置．若点1A 在原点的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且221=A A ，点3A 在点2A 的左边，且332=A A ，点4A 在点3A 的右边，且443=A A ，……，依照上述规律确定点2012A 和点2013A 所分别表示的数．【例2】如图，已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为20-，B 点对应的数为100．(1)AB 中点M 对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁甲从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；(3)若当电子蚂蚁甲从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．【例3】已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-、3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．(1)若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；(2)数轴上是否存在点P ，使它到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值．若不存在，请说明理由？(3)当点P 以每分钟1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等？ 归纳：对于(3)这种问题，“到点A 、点B 的距离相等”意味着分类讨论．【例4】已知数轴上有A 、B 、C 三点，对应的数分别是24-，10-，10．还是那两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点出发，甲的速度为4个单位/秒．(1)请问：多少秒后，甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位？(2)若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，那么甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(3)在(1)、(2)的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回．在这种情况下，甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．【例5】数轴上A 点对应的数为5-，B 点在A 点右边，电子蚂蚁甲、乙（我们今天的主角）在B 点处分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙（我们今天的配角）在A 点以3个单位/秒的速度向右运动．(1)若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C 点，求C 点表示的数；(2)若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B 点表示的数；(3)在(2)的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t ，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的两倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由．【随堂练习】1、电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……．按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的100K 所表示的数恰是06.20．试求电子跳蚤的初始位置点0K 表示的数．2、已知数轴上A 、B 两点对应数分别为2-、4，P 为数轴上一动点，对应数为x ．(1)若点P 为线段AB 的三等分点，求点P 对应的数；(2)数轴上是否存在到A 、B 两点的距离和为10的点P ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．(3)若A 、B 两点和P 点（P 点在原点）同时向左运动．它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P 点为线段AB 的中点？3、已知数轴上A 、B 两点对应数为－2、4，P 为数轴上一动点，对应的数为x ．（1）若P 为AB 线段的三等分点，求P 对应的数；(2)数轴上是否存在P ，使P 到A 点、B 点距离和为10，若存在，求出x ；若不存在，说明理由．(3)A 点、B 点和P 点（P 在原点）分别以速度比1 ：10 ：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P为AB 的中点．【提升训练】1、如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB ＝ 12AC ，点C 对应的数是200． (1)若BC ＝300，求A 点所对应的数；(2)在(1)的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR ＝4RM （不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）P A R Q C200(3)在(1)的条件下，若点E 、D 对应的数分别为－800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从点D 运动到点A 的过程中，32QC －AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． E A D C3、已知数轴上A 、B 两点对应数为－2、4，P 为数轴上一动点，对应的数为x ．－2 －1 0 1 2 3 4（1） 若P 为AB 线段的三等分点，求P 对应的数；(2)数轴上是否存在P ，使P 到A 点、B 点距离和为10，若存在，求出x ；若不存在，说明理由．(3)A 点、B 点和P 点（P 在原点）分别以速度比1 ：10 ：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P为AB 的中点．4、已知数轴上有顺次三点A, B, C ．其中A 的坐标为-20.C 点坐标为40，一电子蚂蚁甲从C 点出发，以每秒2个单位的速度向左移动．(1)当电子蚂蚁走到BC的中点D处时，它离A,B两处的距离之和是多少？(2)这只电子蚂蚁甲由D点走到BA的中点E 处时，需要几秒钟？(3)当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标。

苏科版初一数学第二学期期末单元复习第七章平面图形的认识（二）考点一：探索直线平行的条件；考点二：探索平行线的性质；考点三：图形的平移；考点四：认识三角形；考点五：多边形的内角和与外角和。

重点：掌握直线平行的条件与性质；掌握平移的基本性质；掌握三角形相关概念（内角、外角、中线、高线、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线、高线；掌握多边形的内角和与外角和定理，并能利用此进行相关角度的计算。

难点：平行线条件与性质的探索过程，平行线间的距离，能进行相关线段和差及角度和差的计算。

1、下列说法错误的是（）A、两点确定一条直线B、线段是直线的一部分C、一条直线是一个平角D、把线段向两边延长即是直线2．在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）3．如图，有以下四个条件：①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中能判定AB∥CD的条件的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4（3题图）（4题图）4．．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于。

5．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于( )A．70°B．100° C．110°D．120°6．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A．8 B．7 C．4 D．37．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )A．中线B．角平分线 C．高D．连接三角形两边中点的线段8．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝25°，那么∠2＝°．9．如图，若∠1＝∠2，则在下列结论中：①∠3＝∠4；②AB∥CD；③AD∥BC，正确的结论序号是．（注：填上你认为正确的所有结论的序号）（8题图）（9题图）（10题图）10．如图，小明从点A出发，沿直线前进10m后向左转60°，再沿直线前进10m，又向左转60°……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了米．11．如图，若AB//CD，则∠B、∠C、∠E三者之间的关系是( )A．∠B＋∠C＋∠E＝180° B．∠B＋∠E－∠C＝180°C．∠B＋∠C－∠E＝180° D．∠C＋∠E－∠B＝180°12．如图，FB⊥AB，EC⊥AB，∠1＝∠D＝45°，则图中与∠CED相等的角共有( )个．A．2 B．3 C．4 D．5（11题图）（12题图）（14题图）13．任意画一个三角形，它的三个内角之和为( )A． 180°B．270°C．360°D．720°14．如图，已知AB// CD//EF，AF∥CG，则图中与∠A（不包括∠A）相等的角有( )A．5个B．4个 C．3个D．2个15．如图，已知AB∥CD，则∠a、∠B和∠y之间的关系为( )A．α＋β－γ＝180° B．α＋γ＝β C．α＋β＋γ＝360° D．α＋β－2γ＝180°（15题图）16．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为°．17．如图，将正方形纸片ABCD沿BE翻折，使点C落在点F处，若∠DEF＝30°，则∠ABF的度数为．18．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝°．（18题图）（20题图）19．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )A．5cm、7cm、2cm B．7cm、13cm、10cm C．5cm、7cm、11cm D．5cm、11cm、13cm 20、．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于( )A．65° B．55° C．45° D．50°第八章幂的运算考点一：同底数幂的乘法；考点二：幂的乘方与积的乘方；考点三：同底数幂的除法。

专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为时，△PQB为直角三角形．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B是AC上一点，且BC＝6cm，AB＝4cm，射线BD⊥AC，垂足为B，动点M从A出发以2cm/s的速度沿着AC向C运动，同时动点N从B出发以3cm/s的速度沿着射线BD向cm2，两动点运动了t（s），则t的值为．下运动，连接MN．当△BMN的面积为323．（2022•临清市一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以√2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒，则t＝秒时，S1＝2S2．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC ＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2√2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为秒．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当时间为时，点P和点Q之间的距离是10cm．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为ts，请解决下列问题：（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为2√3cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD ＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A 时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8cm2；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t＝1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t＝以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x2+6x+1的最小值；（2）求﹣2x2+6x+1的最大值；（3）如图，已知AB＝8，P上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，设AP＝x，直接用含有x的代数式表示MN2，并直接写出MN2的最小值．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝；当点Q到终点时，PC的长度为；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．18．（2022春•大庆期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD交于O，AC＝8cm，BD＝6cm，动点M从A出发沿AC方向以每秒2cm C，动点N从B出发沿BD方向以每秒1cm匀速直线运动到D，若M，N同时出发，问出发后几秒钟时，△MON的面积为菱形ABCD面积的11219．（2022秋•海州区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝5cm，动点P以√2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动时间为ts（0＜t＜5）．在P、Q两点移动的过程中，PQ的长度能否等于√10cm？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．20．（2022•曹县二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝1cm，AB＝3cm，BC＝5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）（1）求线段CD的长；（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？21．（2022秋•天宁区月考）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求点Q的坐标；个平方单位？（2）当t为何值时，△APQ的面积为24522．（2022秋•镇江期中）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C移动，点P运动到点B时，点Q也停止运动，几秒钟后△PQC的面积等于16cm2？23．（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10cm，点P从点A出发沿射线AB以1cm/s的速度做直线运动，点Q从点C出发沿射线BC以2cm/s的速度做直线运动．如果P，Q分别S△ABC？从A，B同时出发，经过几秒，S△PCQ=122524．（2022春•萧山区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．有一动点P从B 点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC 方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．（2）连接AP、PQ，求使△APQ面积为3cm2时相应的t的值．（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．25．（2022秋•营山县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问几秒钟时△PBQ的面积等于8cm226．（2022秋•淮安校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？27．（2022秋•武侯区期末）如图，AB＝200cm，O为AB的中点，OE⊥AB，P从A点以2cm/s的速度向B 运动，点Q从O点以3cm/s的速度运动向E运动，当P、Q两点运动多少时间时，△POQ的面积为1800cm2？28．（2022春•永嘉县期中）附加题（1）试用一元二次方程的求根公式，探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根互为相反数的条件是．=．（2）已知x、y为实数，√3x−2+y2−4y+4=0，则xy（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90度，BC＝16，AD＝21，DC＝12，动点P从点D出发，沿线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒．①设△BPQ的面积为S，求S和t之间的函数关系式；②当t为何值时，以B、P、Q29．（2022秋•驻马店期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点F是CD延长线上一点，且DF＝2cm．点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动．FP、FQ分别交AD于E、M两点，连接PQ、AC，设运动时间为t（s）．（1）用含有t的代数式表示DM的长；（2）设△FCQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）线段FQ能否经过线段AC的中点？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）设△FPQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答：在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的？30．（2022春•文登区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从A出发向C 以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．？（1）几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的18（2）填空：①点经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．专题一元二次方程中的动点问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了一元二次方程中的动点问题所有类型！一．填空题（共7小题）1．（2022•峨边县模拟）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，当t为2或5+√5或5−√5时，△PQB为直角三角形．【分析】要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB＝90°或∠PBQ＝90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，再分别就∠PQB＝90°和∠PBQ＝90°讨论，求出符合题意的t值即可；【解答】解：作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°，∵OP=√2t，∴OG＝PG＝t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2＝（6﹣2t）2+22，PQ2＝（2t﹣t）2+t2＝2t2，①若∠PQB＝90°，则有PQ2+BQ2＝PB2，即：2t2+[（6﹣2t）2+22]＝（6﹣t）2+（2﹣t）2，整理得：4t2﹣8t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝2，∴t＝2，②若∠PBQ＝90°，则有PB2+QB2＝PQ2，∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]＝2t2，整理得：t 2﹣10t +20＝0，解得：t ＝5±√5．∴当t ＝2或t ＝5+√5或t ＝5−√5时，△PQB 为直角三角形．故答案为：2或5+√5或5−√5．2．（2022春•衢江区校级期末）如图，B 是AC 上一点，且BC ＝6cm ，AB ＝4cm ，射线BD ⊥AC ，垂足为B ，动点M 从A 出发以2cm /s 的速度沿着AC 向C 运动，同时动点N 从B 出发以3cm /s 的速度沿着射线BD 向下运动，连接MN ．当△BMN 的面积为32cm 2，两动点运动了t （s ），则t 的值为 2−√22或2+√22或2+√62 ．【分析】分0＜t ＜2及2＜t ≤5两种情况考虑，当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为3cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（4﹣2t ）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t +1＝0，解得：t 1=2−√22，t 2=2+√22；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（2t ﹣4）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t ﹣1＝0，解得：t 3=2−√62（不合题意，舍去），t 4=2+√62． 综上所述，t 的值为2−√22或2+√22或2+√62． 故答案为：2−√22或2+√22或2+√62．3．（2022•临清市一模）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以√2cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t 秒，则t ＝ 6 秒时，S 1＝2S 2．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S 1和S 2，然后根据S 1＝2S 2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高，∴AD ＝BD ＝CD ＝8√2cm ，又∵AP =√2t ，则S 1=12AP •BD =12×8√2×√2t ＝8t ，PD ＝8√2−√2t ， ∵PE ∥BC ，∴∠AEP ＝∠C ＝45°，∠APE ＝∠ADC ＝90°，∴∠P AE ＝∠PEA ＝45°∴PE ＝AP =√2t ，∴S 2＝PD •PE ＝（8√2−√2t ）•√2t ，∵S 1＝2S 2，∴8t ＝2（8√2−√2t ）•√2t ，解得：t ＝6或0（舍弃）故答案是：6．4．（2022•于洪区校级模拟）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝6cm ，AB ＝8cm ，BC ＝14cm ．动点P 、Q 都从点C 同时出发，点P 沿C →B 方向做匀速运动，点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，当P 、Q 其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P 以1cm /s 速度运动，点Q 以2√2cm /s 的速度运动，连接BQ 、PQ ．当时间t 为 2 秒时，△BQP 的面积为24cm 2．【分析】由于点P 在线段CB 上运动，而点Q 沿C →D →A 方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：①点Q 在CD 上；②点Q 在DA 上．针对每一种情况，都可以过Q 点作QG ⊥BC 于G ．由于点P 、Q 运动的时间为t （s ），可用含t 的代数式分别表示BP 、QG 的长度，然后根据三角形的面积公式列出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围，根据面积为24cm 2，列出方程，解方程并结合t 的范围取舍．【解答】解：如图1，过D 点作DH ⊥BC ，垂足为点H ，则有DH ＝AB ＝8cm ，BH ＝AD ＝6cm ．∴CH ＝BC ﹣BH ＝14﹣6＝8cm ．在Rt △DCH 中，∠DHC ＝90°，∴CD =√DH 2+CH 2=8√2cm ．当点P 、Q 运动的时间为t （s ），则PC ＝t ．①如图1，当点Q 在CD 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则QC ＝2√2t ．又∵DH ＝HC ，DH ⊥BC ，∴∠C ＝45°．∴在Rt △QCG 中，QG ＝QC •sin ∠C ＝2√2t ×sin45°＝2t ．又∵BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×2t ＝14t ﹣t 2． 当Q 运动到D 点时所需要的时间t =2√2=√22√2=4．∴S ＝14t ﹣t 2（0＜t ≤4），当S ＝24时，14t ﹣t 2＝24，解得：t 1＝2，t 2＝12（舍）． ②如图2，当点Q 在DA 上时，过Q 点作QG ⊥BC ，垂足为点G ，则：QG ＝AB ＝8cm ，BP ＝BC ﹣PC ＝14﹣t ，∴S △BPQ =12BP ×QG =12（14﹣t ）×8＝56﹣4t ． 当Q 运动到A 点时所需要的时间t =2√2=√2+62√2=4+3√22． ∴S ＝56﹣4t （4＜t ≤4+3√22）， 当S ＝24时，56﹣4t ＝24，解得：t ＝8＞4+3√22，舍去， 综上，当t ＝2时，S ＝24，故答案为：2．5．（2022秋•惠来县月考）如图，已知AB ⊥BC ，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1cm /s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2cm /s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当△MNB 的面积为24cm 2时运动的时间t 为 2 秒．【分析】根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，进而可得出BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，根据△MNB 的面积为24cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：根据题意可知CN ＝tcm ，AM ＝2tcm ，∴BN ＝（8﹣t ）cm ，BM ＝（12﹣2t ）cm ，∵△MNB 的面积为24cm 2，∴12×（12﹣2t ）×（8﹣t ）＝24， 整理得：t 2﹣14t +24＝0，解得：t 1＝2，t 2＝12（不合题意，舍去）．故答案为：2．6．（2022秋•兰山区期末）如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝30cm ，BC ＝25cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，速度是2cm /s ；同时，动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，速度是1cm /s ，则经过10 s 后，P ，Q 两点之间相距25cm ．【分析】设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，用x 表示出CP 、CQ ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设x 秒后P 、Q 两点相距25cm ，则CP ＝2xcm ，CQ ＝（25﹣x ）cm ，由题意得，（2x ）2+（25﹣x ）2＝252，解得，x 1＝10，x 2＝0（舍去），则10秒后P 、Q 两点相距25cm ．故答案是：10．7．（2022秋•渭滨区期中）如图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2cm /s 的速度向点D 运动，当时间为 85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ．【分析】设当t 秒时PQ ＝10cm ，利用勾股定理得出即可．【解答】解：设当时间为t 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作ON ⊥AB 于点N ，则QC ＝2tcm ，PN ＝（16﹣5t ）cm ，故62+（16﹣5t ）2＝100，解得：t 1=85，t 2=245， 即当时间为85s 或245s 时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ，故答案为：85s 或245s ．二．解答题（共23小题）8．（2022秋•方城县期末）如图，已知等边三角形ABC 的边长为6cm ，点P 从点A 出发，沿A →C →B 的方向以2cm /s 的速度向终点B 运动，同时点Q 从点B 出发，沿B →A 的方向以1cm /s 的速度向终点A 运动．当点P 运动到点B 时，两点均停止运动．运动时间记为ts ，请解决下列问题：（1）若点P 在边AC 上，当t 为何值时，△APQ 为直角三角形？（2）是否存在这样的t 值，使△APQ 的面积为2√3cm 2？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点P 在边AC 上时，由题意知AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，再分∠APQ ＝90°和∠AQP ＝90°两种情况分别求解即可；（2）分点P 在边AC 上和点P 在边AC 上两种情况，表示出S △APQ ，再根据△APQ 的面积为2√3cm 2列出关于t 的方程，解之即可．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ＝CA ＝6，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，当点P 在边AC 上时，由题意知，AP ＝2t ，AQ ＝6﹣t ，当∠APQ ＝90°时，AP =12AQ ，即2t =12（6﹣t ），解得t ＝1.2，当∠AQP ＝90°时，AQ =12AP ，即6﹣t =12×2t ，解得t ＝3，所以，点P 在边AC 上，当t 为1.2s 或3s 时，△APQ 为直角三角形；（2）存在，①当点P 在边AC 上时，此时0≤t ≤3，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，在Rt △APD 中，∠A ＝60°，AP ＝2t ，∴sin A =PD AP ，即sin60°=PD 2t =√32， ∴PD =√3t ，S △APQ =12AQ •PD =12（6﹣t ）•√3t ，由12（6﹣t ）•√3t =2√3得t 1=3+√5(不合题意，舍去)，t 2=3−√5； ②当点P 在边BC 上时，此时3≤t ≤6，如图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，在Rt △BPF 中，∠B ＝60°，BP ＝12﹣2t ，∴sin B =PF BP ，即sin60°=PF 12−2t =√32， ∴PF =√3(6−t)，S △APQ =12AQ •PF =12（6﹣t ）•√3(6−t)，由12（6﹣t ）•√3(6−t)=2√3得t 1＝4，t 2＝8（不合题意，舍去），因此，当t 的值是(3−√5)s 或4s 时，△APQ 的面积为2√3cm 2．9．（2022秋•泗阳县期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12cm ，BC ＝24cm ，动点P 从点A 出发沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，同时动点Q 从点B 出发沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，当P 运动到B 点时P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为ts ．（1）BP ＝ （12﹣2t ） cm ；BQ ＝ 4t cm ；（用t 的代数式表示）（2）D 是AC 的中点，连接PD 、QD ，t 为何值时△PDQ 的面积为40cm 2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，利用三角形中位线定理求得DH 的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP ＝2tcm ，BQ ＝4tcm ，所以BP ＝（12﹣2t ）cm ，故答案是：（12﹣2t ）；4t ；（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，∵∠B ＝90°，即AB ⊥BC ．∴AB ∥DH ．又∵D 是AC 的中点，∴BH =12BC ＝12cm ，DH 是△ABC 的中位线． ∴DH =12AB ＝6cm ． 根据题意，得12×12×24−12×4t ×（12﹣2t ）−12×（24﹣4t ）×6−12×2t ×12＝40， 整理，得t 2﹣6t +8＝0．解得：t 1＝2，t 2＝4，即当t ＝2或4时，△PBQ 的面积是40cm 2．10．（2022春•淄川区期中）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝16，CD ＝12，AD ＝21．动点P 从点D 出发，沿线段DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动．点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点P 运动到点A 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （s ），当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形为等腰三角形？【分析】以B ，P ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB ＝PQ 时，当PQ ＝BQ 时，当BP ＝BQ 时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．【解答】解：如图1，当PB ＝PQ 时，作PE ⊥BC 于E ，∴EQ =12BQ ， ∵CQ ＝t ，∴BQ ＝16﹣t ，∴EQ ＝8−12t ，∴EC ＝8−12t +t ＝8+12t ． ∴2t ＝8+12t ．解得：t =163．如图2，当PQ ＝BQ 时，作QE ⊥AD 于E ，∴∠PEQ ＝∠DEQ ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ=√t2+144．16﹣t=√t2+144，解得：t=72；如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t=163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．11．（2022•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为√6cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q 在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为√6cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为√6cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：1（6﹣x）•2x＝82解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有1（6﹣m）（8﹣2m）＝12∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+√2（舍），m2＝5−√2∴m＝5−√2符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有1（6﹣n）（2n﹣8）＝12∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有1（k﹣6）（2k﹣8）＝12解得k1＝5+√2，k2＝5−√2（舍）∴k＝5+√2符合题意；∴经过（5−√2）秒，5秒，（5+√2）秒后，△PBQ的面积为1cm2．12．（2022秋•射阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．【分析】（1）根据矩形的对边相等得到AP＝PQ，由时间×速度＝路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系AP＝PQ列出方程并解答；（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案．【解答】解：（1）∵四边形APQD为矩形，∴AP＝PQ，∴2t＝6﹣t，∴3t＝6，∴t＝2．（2）过点P作PE⊥CD于点E，∵∠A＝∠D＝∠DEP＝90°，∴四边形APED是矩形．∴AP＝DE＝2t，∴EQ＝CD﹣DE﹣CQ＝6﹣3t，在Rt△PQE中，PE2+EQ2＝PQ2，即（6﹣3t）2＝9，解得t1＝1，t2＝3，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．13．（2022春•铜山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．问：（1）几秒时△PBQ的面积等于8；（2）几秒时△PDQ的面积等于28cm2；（3）几秒时PQ⊥DQ．【分析】（1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8cm2列式求值即可；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程，再解方程即可；（3）如果PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，得出△BPQ∽△CQD，即可得出BPCQ =BQCD，再设AP＝x，QB＝2x，得出6−x12−2x =2x6，求出x即可．【解答】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm2．则AP＝x，QB＝2x．∴PB＝6﹣x．∴12×（6﹣x）2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）设出发秒x时△DPQ的面积等于28cm2．∵S矩形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ＝S△DPQ∴12×6−12×12x−12×2x（6﹣x）−12×6×（12﹣2x）＝28，化简整理得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，答：2秒或4秒后△PDQ的面积等于28cm2；（3）设x秒后PQ⊥DQ时，则∠DQP为直角，∴△BPQ∽△CQD，∴BPCQ =BQCD，设AP＝x，QB＝2x．∴6−x12−2x =2x6，∴2x2﹣15x+18＝0，解得：x=32或6，经检验x=32是原分式方程的根，x＝6不是原分式方程的根，当x＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．答：32秒或6秒后PQ⊥DQ．14．（2022•宿迁三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）．（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题；（2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题．【解答】解：（1）点P 从开始到运动停止用的时间为：（12+6）÷2＝9s ，点Q 从开始到运动停止用的时间为：（6+12）÷1＝18s ，∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是：（6+12）﹣1×9＝9cm ，答：点P 先到终点，此时点Q 离终点的距离是9cm ；（2）在运动过程中，△APQ 的面积能等于22cm 2，当P 从点B 运动到点C 的过程中，设点P 运动时间为as ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−2a×62−(12−2a)×a 2−(6−a)×122=22，解得，此方程无解；当点P 从C 到D 的过程中，设点P 运动的时间为（b +6）s ，∵△APQ 的面积能否等于22cm 2，∴12×6−(6+2b)×122−b(6−2b)2=22，解得，b 1＝1，b 2＝14（舍去），即需运动6+1＝7s ，△APQ 的面积能等于22cm 2．15．（2022春•嘉兴期末）如图，长方形ABCD （长方形的对边相等，每个角都是90°），AB ＝6cm ，AD ＝2cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q 以1厘米/秒的速度向D 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t ，问：（1）当t ＝1秒时，四边形BCQP 面积是多少？（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ 3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【分析】（1）如图1，当t＝1时，就可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4cm，由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD 于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝2，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴AB＝6﹣2＝4cm．=5cm2．∴S=2(1+4)2答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=6±√5．3如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ ＝t ，∴QE ＝t ﹣（6﹣2t ）＝3t ﹣6在Rt △PEQ 中，由勾股定理，得（3t ﹣6）2+4＝9，解得：t =6±√53． 综上所述：t =6−√53或6+√53；（3）如图3，当PQ ＝DQ 时，作QE ⊥AB 于E ，∴∠PEQ ＝90°，∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴QE ＝BC ＝2cm ，BE ＝CQ ＝t ．∵AP ＝2t ，∴PE ＝6﹣2t ﹣t ＝6﹣3t ．DQ ＝6﹣t ．∵PQ ＝DQ ，∴PQ ＝6﹣t ．在Rt △PQE 中，由勾股定理，得（6﹣3t ）2+4＝（6﹣t ）2，解得：t =3±√72． 如图4，当PD ＝PQ 时，作PE ⊥DQ 于E ，∴DE ＝QE =12DQ ，∠PED ＝90°． ∵∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形BCQE 是矩形，∴PE ＝BC ＝2cm ．∵DQ ＝6﹣t ，∴DE =6−t 2． ∴2t =6−t 2，解得：t =65；如图5，当PD ＝QD 时，∵AP ＝2t ，CQ ＝t ，∴DQ ＝6﹣t ，∴PD ＝6﹣t ．在Rt △APD 中，由勾股定理，得4+4t 2＝（6﹣t ）2，解得t 1=−6+2√333，t 2=−6−2√333（舍去）． 综上所述：t =3+√72，3−√72，65，−6+2√333． 故答案为：3+√72，3−√72，65，−6+2√333．16．（2022秋•皇姑区校级月考）（1）求x 2+6x +1的最小值；（2）求﹣2x 2+6x +1的最大值；（3）如图，已知AB ＝8，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，∠DAP ＝60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，当点P 在线段AB 上移动时，设AP ＝x ，直接用含有x 的代数式表示MN 2，并直接写出MN 2的最小值．【分析】（1）将代数式配方，由于二次项系数大于0，代数式有最小值，根据配方式可得最小值；（2）将代数式配方，由于二次项系数小于0，代数式有最大值，根据配方式可得最大值；（3）连接PM 、PN ．首先证明∠MPN ＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，PN =√3（4−12x ），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）x 2+6x +1＝（x +3）2﹣8，当x ＝﹣3时，x 2+6x +1有最小值，最小值是﹣8；（2）﹣2x 2+6x +1＝﹣2（x −32）2+112， 当x =32时，﹣2x 2+6x +1有最大值，最大值是112；（3）连接PM 、PN ．∵四边形APCD ，四边形PBFE 是菱形，∠DAP ＝60°，∴∠APC ＝120°，∠EPB ＝60°，∵M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，∴∠CPM =12∠APC ＝60°，∠EPN =12∠EPB ＝30°， ∴∠MPN ＝60°+30°＝90°，设P A ＝x ，则PB ＝8﹣x ，PM =12x ，=√3（4−12x ），MN 2＝（12x ）2+[√3（4−12x ）]2＝x 2﹣12x +48＝（x ﹣6）2+12， ∴x ＝6时，MN 2有最小值，最小值为12，故答案为：12．17．（2022秋•宽城区校级月考）如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4．点P 从点A 出发，沿A →D →C →D 运动，速度为每秒2个单位长度；点Q 从点A 出发向点B 运动，速度为每秒1个单位长度．P 、Q 两点同时出发，点Q 运动到点B 时，两点同时停止运动，设点Q 的运动时间为t （秒）．连接PQ 、AC 、CP 、CQ ．（1）点P 到点C 时，t ＝ 6 ；当点Q 到终点时，PC 的长度为 4 ；（2）用含t 的代数式表示PD 的长；（3）当三角形CPQ 的面积为9时，求t 的值．。

七年级下册数学动点专项训练七年级下册数学动点专项训练数学是一门需要动脑筋的学科，而动点专项训练则是数学学习中的重要环节。

在七年级下册的数学学习中，动点专项训练是必不可少的。

下面，我将为大家介绍一些七年级下册数学动点专项训练的内容。

首先，我们来看一下平面直角坐标系中的动点问题。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，确定动点的坐标。

例如，已知点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，求线段AB的中点坐标。

解决这类问题的关键是要理解坐标的含义，掌握坐标系的画法，并且能够根据给定的条件，进行坐标的计算和推导。

其次，我们来看一下平面图形的运动问题。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，确定图形的位置和形状的变化。

例如，已知正方形ABCD的边长为3cm，点A沿着x轴正方向移动4cm，点B沿着y轴正方向移动2cm，求移动后正方形的面积。

解决这类问题的关键是要理解图形的特征和性质，掌握图形的平移、旋转和缩放等运动方式，并且能够根据给定的条件，进行图形的变换和计算。

再次，我们来看一下平面图形的相对位置问题。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，确定图形之间的相对位置关系。

例如，已知点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，求线段AB的长度。

解决这类问题的关键是要理解坐标的含义，掌握坐标系的画法，并且能够根据给定的条件，进行坐标的计算和推导。

最后，我们来看一下平面图形的投影问题。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，确定图形在某个方向上的投影长度。

例如，已知正方体的边长为3cm，求正体在x轴上的投影长度。

解决这类问题的关键是要理解投影的概念，掌握图形的投影方式，并且能够根据给定的条件，进行投影长度的计算和推导。

通过以上的介绍，我们可以看出，七年级下册数学动点专项训练内容丰富多样，涉及到平面直角坐标系、平面图形的运动、相对位置和投影等多个方面。

在进行动点专项训练时，我们需要注重理论的学习和实践的训练，通过大量的练习和思考，提高自己的动点问题解决能力。

专题4.5 一元一次方程中的动点压轴题专项训练（60题）【苏科版】考卷信息：本卷试题共60道大题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对动点问题的理解！一．解答题（共60小题）1．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC =54．（1）求C点对应的数；（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．①当MN＝4时，求t的值；②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．2．（2022秋•城关区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？3．（2022秋•汉阳区校级期中）如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原点记作O．（1）求a和b；（2）数轴有一对动点A1和B1分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位长度/秒．①经过多少秒后满足AB1＝3A1B？②另有一动点O1从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在A1与B1之间，且满足A1O1B1O1=12，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO1+BO1＝m，请直接写出符合条件m的取值范围．4．（2022秋•荔城区期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣10）2＝0．（1）求线段AB的长；（2）线段CD在点A左侧沿数轴向右匀速运动，经过线段AB需要10秒，经过点O的时间是2秒，求CD的长度；（3）点E在数轴上对应的数为6，点F与点B重合．线段EF以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点P从点A左侧某处以每秒3个单位长度的速度向右运动，点G是线段BE的中点，点P与点E相遇t秒后与点G相遇．若在整个运动过程中，PE＝kFG恒成立，求k与t的值．5．（2022秋•宝鸡校级期中）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4．（1）若点M到点A、点B的距离相等，那么点M所对应的数是．（2）若点M从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N恰好从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设M、N两点在数轴上的点E相遇，则点E对应的数是．（3）若点D是数轴上一动点，当动点D到点A的距离与到点B的距离之和等于10时，则点D对应的数是．（4）若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过多少秒后，M、N两点间的距离为24个单位长度．6．（2022春•海珠区月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M，点N 同时出发）．（1）数轴上点B对应的数是．（2）当点M运动到距离点O为2个单位长度时，所经过的时间是．（3）经过几秒，点M，点N分别到原点O的距离相等？7．（2022秋•新丰县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数；点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是．（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？8．（2022秋•临沂期中）如图，点A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．（1）写出数轴上点A，B表示的数：，；（2）动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，点P，Q相距6个单位长度．9．（2022秋•香河县期末）数轴上A点对应的数为﹣5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．10．（2022秋•石狮市期末）如图，数轴上两点A、B所表示的数分别﹣2、10，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，点N从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动．（1）填空：点A和点B间的距离为；（2）若点M和点N同时出发，求点M和点N相遇时的位置所表示的数；（3）若点N比点M迟3秒钟出发，则点M出发几秒时，点M和点N刚好相距6个单位长度？此时数轴上是否存在一点C，使它到点B、点M和点N这三点的距离之和最小？若存在，请直接写出点C所表示的数和这个最小值；若不存在，试说明理由．11．（2022秋•乌苏市期末）如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．（1）填空：AB＝，BC＝；（2）若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点B以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒7个单位长度向左运动．问：①点A运动多少秒时追上点B？②点A运动多少秒时与点C相遇？12．（2022秋•婺城区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？13．（2022秋•遂宁期末）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．14．（2022秋•高邑县期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t ＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是．（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？15．（2022秋•大冶市期末）已知式子M＝（a+24）x3﹣10x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c．（1）则a＝，b＝，c＝．（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，P到A、B、C的距离和为40个单位？（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点T和点Q分别从点A和点C 出发，向左运动，点T的速度1个单位/秒，点Q的速度5个单位/秒，设点P、Q、T所对应的数分别是x P、x Q、x T，点Q出发的时间为t，当143＜t＜172时，求|x P﹣x T|+|x T﹣x Q|﹣|x Q﹣x P|的值．16．（2022秋•高新区校级期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝；（2）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，此时，A与B两点间的距离为个单位长度；（3）数轴上a、b、c三个数所对应的点分别为A、B、C，点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC．①t秒钟过后，AC的长度为（用t的关系式表示即可）；②请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．17．（2022秋•兴化市期中）定义：若线段AB上有一点P，当P A＝PB时，则称点P为线段AB的中点．已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，（a+2）2+|b﹣4|＝0，P为数轴上一动点，对应数为x．（1）a＝，b＝；（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为．若B为线段AP的中点时则P点对应的数x为．（3）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从﹣16处以2个单位长度/秒向右运动．①设运动的时间为t秒，直接用含t的式子填空AP＝；BP＝．②经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？18．（2022秋•江阴市校级月考）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）如果M、N为数轴上两个动点，点M从点A出发，速度为每秒1个单位长度；点N从点B出发，速度为点A的3倍，它们同时向左运动，点O为原点．当运动2秒时，点M、N对应的数分别是、．当运动t秒时，点M、N对应的数分别是、．（用含t的式子表示）运动多少秒时，点M、N、O中恰有一个点为另外两个点所连线段的中点？（可以直接写出答案）19．（2022秋•江岸区校级月考）已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0（1）直接写出a、b的值；（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当P A＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；（3）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发．以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动当PQ＝10时，求P点对应的数．20．（2022秋•长汀县校级月考）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边．（1）点A和点B两点所对应的数分别为和．（2）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左运动，在点C处追上了点A，求点C对应的数．（3）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中线段PO﹣AM的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．21．（2022秋•阳江期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣6）2+|a+b|＝0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．22．（2022秋•秦安县期末）如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，则P、Q两点对应的有理数分别是；PQ＝；（2）点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且CB＝2CA，求x的值；（3）在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？23．（2022秋•惠城区校级期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2＝0，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒．（1）求点A，B两点之间的距离；（2）若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P 三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？（3）若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为t（0＜t＜10），在运动过程中①OA−PBMN 的值不变；②OA+PBMN的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．24．（2022秋•湖里区校级期中）如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，点C在数轴上对应的数为c，且|a+2|+（b﹣1）2＝0，2c﹣1=12c+2．（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）在数轴上是否存在点P，使得P A+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由．（Ⅲ）现在点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动．假设t秒后，点B和点C之间的距离表示为BC，点A和点B之间的距离表示为AB．请问AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出常数值．25．（2022秋•丹徒区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了3cm，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，3s后两点在长方形ABCD某一边上的E点处第二次相遇后停止运动．设点P原来的速度为xcm/s．（1）点Q的速度为cm/s（用含x的代数式表示）；（2）求点P原来的速度．（3）判断E点的位置并求线段DE的长．26．（2022秋•宁江区期末）已知，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，O为原点，且a、b 满足：|a+4|+（b﹣2）2＝0．试解答下列问题：（1）求数轴上线段AB的长度；（2）若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则经过t秒后点A表示的数为；（用含t的代数式表示）（3）若点A，B都以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，经过t秒后其中一个点是一条线段的中点，求此时t的值．27．（2022秋•宁晋县期中）A、B两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及在数轴上的位置记录如下．（1）根据题意，填写下列表格；时间（秒）057A点位置19﹣1B点位置1727（2）A、B两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇，请说明理由；（3）A、B两点能否相距9个单位长度，如果能，求相距9个单位长度的时刻；如不能，请说明理由．28．（2022秋•麻城市期末）点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足（b+3）2+|c﹣24|＝0，且多项式x|a+3|y2﹣ax3y+xy2﹣1是五次四项式．（1）a的值为，b的值为，c的值为；（2）已知点P、点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以7个单位/秒的速度向左运动：①若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和点D所表示的数；②若点P运动到点B处，动点Q再出发，则P运动几秒后这两点之间的距离为5个单位？29．（2022秋•福州期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a＝，b＝，c＝．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和6个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．30．（2022秋•越城区期末）如图1，有A、B两动点在线段MN上各自做不间断往返匀速运动（即只要动点与线段MN的某一端点重合则立即转身以同样的速度向MN的另一端点运动，与端点重合之前动点运动方向、速度均不改变），已知A的速度为3米/秒，B的速度为2米/秒（1）已知MN＝100米，若B先从点M出发，当MB＝5米时A从点M出发，A出发后经过秒与B第一次重合；（2）已知MN＝100米，若A、B同时从点M出发，经过秒A与B第一次重合；（3）如图2，若A、B同时从点M出发，A与B第一次重合于点E，第二次重合于点F，且EF＝20米，设MN＝s米，列方程求s．31．（2022秋•祁东县校级期中）已知：a是最大的负整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0．（1）请求出a、b、c的值；（2）a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，当点P在B到C之间运动时，化简：|x+1|﹣|x﹣3|；（写出化简过程）（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．32．（2022秋•雨花区校级期中）已知，A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（a+5）2+|b﹣15|＝0．（1）数轴上点A表示的数是，点B表示的数是（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，当C点在数轴上且满足AC＝3BC时，求C点对应的数．（3）若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动，当P运动到B点时，再立即以同样速度返回，运动到A点停止；点P从点A出发时，另一动点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒速度向B运动，运动到B点停止．设点Q运动时间为t秒．当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．33．（2022秋•姑苏区校级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝．（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB＝，AC＝，BC＝．（用含t的代数式表示）（3）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．34．（2022秋•海沧区校级期中）已知：a、b、c满足a＝﹣b，|a+1|+（c﹣4）2＝0，请回答问题：（1）请求出a、b、c的值；（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P在线段BC上时，请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|（请写出化简过程）；（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC＝3PB？35．（2022春•南岗区校级期中）已知数轴上点A、点B对应的数分别为﹣4、6．（1）A、B两点的距离是．（2）当AB＝2BC时，求出数轴上点C表示的有理数；（3）点D以每秒10个单位长度的速度从点B出发沿数轴向左运动，点E以每秒8个单位长度的速度从点A出发沿数轴向左运动，点F从原点出发沿数轴向左运动，点D、点E、点F同时出发，t秒后点D、点E、点F重合，求出点F的速度．36．（2022秋•海安市校级月考）数轴上点A对应的数为﹣1，点B对应的数为4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P在数轴上对应的数为x；（2）数轴上是否存在点P，使P到点A、点B的距离之和为9？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）若点M从点A出发以1个单位/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发以2个单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t（秒），当M、N两点重合时，求t的值；（4）若点M从点A出发以1个单位/秒的速度向左运动，同时点N从点B出发以2个单位/秒的速度也向左运动，当点M、N开始出发时，点P以10个单位/秒的速度从原点出发向右运动，当遇到点N时立即返回按原速向左运动，遇到点M时又立即返回原速向右运动，遇到点N时再返回，如此反复直到M、N两点重合时停止．问点P从开始出发到停止，一共运动多少个单位长度？37．（2022春•临沧期末）如图所示，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a、b、c、d，且满足a＝﹣2，|b|＝0，（c﹣12）2与|d﹣18|互为相反数．（1）b＝；c＝；d＝．（2）若A、B两点以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时C、D两点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，并设运动时间为t秒，问t为多少时，A、C两点相遇？（3）在（2）的条件下，A、B、C、D四点继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使得B与D的距离是C与D的距离的3倍？若存在，求时间t；若不存在，请说明理由．38．（2022秋•太原期末）如图，在数轴上点A，点B，点C表示的数分别为﹣2，1，6．（1）线段AB的长度为个单位长度，线段AC的长度为个单位长度；（2）点P是数轴上的一个动点，从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿数轴的正方向运动，运动时间为t秒（0≤t≤8）．用含t的代数式表示：线段BP的长为个单位长度，点P在数轴上表示的数为；（3）点M，点N都是数轴上的动点，点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度运动，点N从点C出发以每秒3个单位长度的速度运动．设点M，N同时出发，运动时间为x秒．请从下面A，B两题中任选一题作答，我选择题．A．设点M，N相向运动，当点M，N两点间的距离为13个单位长度时，求x的值，并直接写出此时点M在数轴上表示的数．B．设点M，N同向运动，当点M，N两点间的距离为14个单位长度时，求x的值，并直接写出此时点M在数轴上表示的数．39．（2022秋•孟州市期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣6）2＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．①当t＝1时，则AC＝，AB＝；②当t＝2时，则AC＝，AB＝；③请问在运动过程中，3AC﹣4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．40．（2022秋•吴中区期末）如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b和8，O是原点，且（a+20）2+|b+10|＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示BC和AB的长；并探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由．（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B 点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：①当t为多少时，点Q追上点P；②当t为多少时，P、Q两点相距6个单位长度？41．（2022秋•桂林期末）如图，点A，B是数轴上的两个点，点A表示的数为﹣4，点B在点A右侧，距离A点10个单位长度，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）填空：①数轴上点B表示的数为；②数轴上点P表示的数为（用含t的代数式表示）．（2）若另一动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P，Q同时出发，问点P运动多少秒能追上点Q？（3）设AP和PB的中点分别为点M，N，在点P的运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长．42．（2022秋•锡山区校级期中）已知a、b满足（a﹣2）2+|ab+6|＝0，c＝2a+3b．（1）直接写出a、b、c的值：a＝，b＝，c＝．（2）若有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．如果数轴上有一点N到点A的距离AN＝AB﹣BC，请直接写出点N所表示的数；（3）在（2）的条件下，点A、B、C在数轴上运动，若点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A 和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动．试问：是否存在一个常数m使得m•AB﹣2BC不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．。