2018年浙江高考数学仿真试卷(一)有答案

- 1 - 2018年浙江高考仿真卷(一)

(对应学生用书第163页)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝( )

A.3 B.5

C.6 D.7

B [由题意得z＝11－i＝1＋i－＋＝12＋12i，则|2z－3|＝|－2＋i|＝－2＋12＝5，故选B.]

2．若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为( )

A．7 B．8

C．9 D．10

C [1＋ba1＋4ab＝1＋4ab＋ba＋4≥5＋24ab·ba＝9，当且仅当2a＝b时，等号成立，所以1＋ba1＋4ab的最小值为9，故选C.]

3．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为( )

A．±3

B．±1

C．±34 D．±33

A [因为点M到抛物线的焦点的距离为2p，所以点M到抛物线的准线的距离为2p，则点M的横坐标为3p2，即M3p2，±3p，所以直线MF的斜率为±3，故选A.]

4．函数f(x)＝xecos x(x∈[－π，π])的图象大致是( )

- 2 - B [由题意得f(－x)＝－xecos(－x)＝－xecos x＝－f(x)(x∈[－π，π])，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点成中心对称，排除A、C.又因为f′(x)＝ecos x＋xecos x·(－sin x)，则f′(0)＝e，即函数f(x)在原点处的切线的斜率为e，排除D，故选B.]

5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为(

)

图1

A．14 B.2132

C．22 D.2732

A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×12×2×3＋13×2×12×2×3＝14，故选A.]

6．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝23，PA＝2，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为( )

A．20π B．24π

C．28π D．32π

A [因为∠BAC＝60°，AB＝AC＝23，所以△ABC为边长为23的等边三角形，则其外接圆的半径r＝232sin 60°＝2，则三棱锥P­ABC的外接球的半径R＝r2＋PA22＝5，则三棱锥P­ABC的外接球的表面积为4πR2＝20π，故选A.]

7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )

A．50 B．80

C．120 D．140

B [当甲组有两人时，有C25C23A22种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C35A22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C25C23A22＋C35A22＝80种不同的分配方案，故选B.]

8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)

A．{x|x≠±1}

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

- 3 - C．(－1,1)

D．(－1,0)∪(0,1)

B [设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)<2，即2f(x)＋xf′(x)－2<0，所以当x>0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]<0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x<0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]>0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，故选B.]

9．已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )

A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3

B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4

C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5

D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2

B [∵f(x)＝x2＋3x，∴f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，

∴|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，

∵|x－a|≤1，∴a－1≤x≤a＋1，∴2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，

∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B.]

10．如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则(

)

图­­

A．α<∠A′CD B．α>∠A′CD

C．α<∠A′CA D．α>∠A′CA

D [∵AB∥CD，∴∠A′BA为异面直线CD与A′B所成的角α，假设四边形ABCD是正方形，AB＝2，平面A′BD⊥平面ABCD，连接AC交BD于点O，连接A′A，A′C，则A′O⊥平面ABCD，A′O＝AO＝BO＝CO＝DO＝12AC＝2，∴A′A＝A′C＝A′B＝A′D＝2，∴△A′BA，△A′CD是等边三角形，△A′CA是等腰直角三角形，∴∠A′CA＝45°，∠A′CD＝∠A′BA＝60°，即α>∠A′CA，α＝∠A′CD，排除A，B，C，故选D.]

第Ⅱ卷

- 4 - 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)

11．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝________，∁RA＝________.

(1,4) (－∞，－1]∪[4，＋∞) [A＝(－1,4)，B＝(1,5)，所以A∩B＝(1,4)，∁RA＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．]

12.3x＋1x6的展开式中常数项为________(用数字作答)．

135 [二项式3x＋1x6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(3x)6－r1xr＝

36－rCr6x，令6－32r＝0，得r＝4，所以3x＋1x6的展开式中常数项为32C46＝135.]

13．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则OB→·OC→＝____________，cos A＝__________.

－45 1010 [由4OB→＋5OC→＝－3OA→，|OB→|＝|OC→|＝|OA→|＝1得(4OB→＋5OC→)2＝9OA→2，即16＋25＋40 OB→·OC→＝9，OB→·OC→＝－45，OB→·OC→＝1×1×cos∠BOC＝－45，解得cos∠BOC＝－45，因为∠BOC＝2∠A，所以cos A＝1＋－452＝1010.]

14. 已知变量x，y满足 x－4y＋3≤0，x＋y－4≤0，x≥1，点(x，y)对应的区域的面积________，x2＋y2xy的取值范围为________．

85 2，103 [不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和135，75为顶点的三角形区域，该区域的面积为12×2×135－1＝85.yx的几何意义是可行域上的点(x，y)与原点连线的斜率，当(x，y)为点135，75时，yxmin＝713，当(x，y)为点(1,3)时，yxmax＝3，所以yx∈713，3，令yx＝t∈713，3，则x2＋y2xy＝xy＋yx＝1t＋t，当t＝1时，取得最小值2，当t＝3时，取得最大值103，故x2＋y2xy的取值范围是2，103.]

15．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线的渐近线方程为________．

2x±y＝0 [由题意不妨设|PF1|－|PF2|＝2a，

∵|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

∵|F1F2|＝2c>2a，∴△PF1F2最小内角为∠PF1F2＝30°，∴在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝4c2＋16a2－

- 5 - 2×2c×4a×cos 30°，解得c＝3a，∴b＝2a，故双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x，即2x±y＝0.]

16．甲、乙两人被随机分配到A，B，C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到A岗位的人数为随机变量X，则随机变量X的数学期望E(X)＝________，方差D(X)＝________.

23 49 [由题意可得X的可能取值有0,1,2，P(X＝0)＝2×23×3＝49，P(X＝1)＝C12×23×3＝49，P(X＝2)＝13×3＝19，则数学期望E(X)＝0×49＋1×49＋2×19＝23，方差D(X)＝0－232×49＋1－232×49＋2－232×19＝49.]

17．若函数f(x)＝x2(x－2)2－a|x－1|＋a有四个零点，则a的取值范围为________．

a a＝－3227或－10 [显然x＝0和x＝2为函数f(x)

＝x2x－2|x－1|－1 的两个零点．当x≠0且x≠2时，令x2(x－2)2－a|x－1|＋a＝0得a＝ x2x－，x≥1，－xx－2，x<1，设g(x)＝ x2x－，x≥1，－xx－2，x<1，则由题意得直线y＝a与函数g(x)的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g(x)的图象如图所示，由图易得当a＝－3227或－10时，直线y＝a与函数g(x)的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，即a的取值范围为a a＝－3227或－10.]

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

18．(本小题满分14分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知函数f(x)＝sin(2x＋B)＋3cos(2x＋B)为偶函数，b＝fπ12.

(1)求b；

(2)若a＝3，求△ABC的面积S.

[解] (1)f(x)＝sin(2x＋B)＋3cos(2x＋B)＝2sin2x＋B＋π3，

由f(x)为偶函数可知B＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，

所以B＝π6＋kπ，k∈Z. 5分