高一数学 集合的含义与表示

集合的含义与表示

第1课时 集合的含义

学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.

知识点一 集合的概念

思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在这句话中，谁是集合？谁是集合中的元素？

答案 “某人的舅”是一个集合，“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素.

梳理 元素与集合的概念

(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.

(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.

知识点二 元素与集合的关系

思考 1是整数吗？12是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？

答案 1是整数；12不是整数.没有.

梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.

知识点三 元素的三个特性

思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？

答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？

答案 2个.集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性.

思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：“北京、上海、天津、重庆”；乙同学说：“上海、北京、重庆、天津”，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？

答案 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的.由此说明，集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的.

梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.

知识点四 常用数集及表示符号

名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N*或N＋ Z Q R

类型一 判断给定的对象能否构成集合

例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.

(1)不超过20的非负数；

(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；

(3)某班的所有高个子同学；

(4)3的近似值的全体.

解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；

(2)能构成集合；

(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；

(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.

反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.

跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )

A.数学必修1课本中所有的难题

B.小于8的所有素数

C.直角坐标平面内第一象限的一些点

D.所有小的正数

答案

B

解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合.

类型二 元素与集合的关系

命题角度1 判定元素与集合的关系

例2 给出下列关系：

①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，

其中正确的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案 B

解析 12是实数，①对；

2不是有理数，②对；

|－3|＝3是自然数，③错；

|－3|＝3为无理数，④错；

0是自然数，⑤错.

故选B.

反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.

跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空.

－2________R；

－3________Q；

－1________N；

π________Z.

答案 ∈ ∈ ∉ ∉

命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理

例3 集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.

答案 0,1,2

解析 ∵x∈N，63－x∈N，∴0≤x≤2且x∈N.

当x＝0时，63－x＝63＝2∈N；

当x＝1时，63－x＝63－1＝3∈N；

当x＝2时，63－x＝63－2＝6∈N.

∴A中元素有0,1,2.

反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法

①使用前提：集合中的元素是直接给出的.

②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现.

(2)推理法

①使用前提：对于某些不便直接表示的集合.

②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.

跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A,2∈A，则( )

A.a>－4 B.a≤－2

C.－4

答案 D

解析 ∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.

又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4

类型三 元素的三个特性的应用

例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.

(1)若－3∈A，求a的值；

(2)若x2∈B，求实数x的值；

(3)是否存在实数a，x，使A＝B.

解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，

可知a－3＝－3或2a－1＝－3，

当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.

经检验，0与－1都符合要求.

∴a＝0或－1.

(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，

但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.

(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，

只可能a－3＝0或2a－1＝0.

若a－3＝0，则a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}

＝{0,5,10}≠B.

若2a－1＝0，则a＝12，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}

＝{0，－52，54}≠B.

故不存在这样的实数a，x，使A＝B.

反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.

元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.

跟踪训练4 已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值.

解 方法一 根据集合中元素的互异性，

有 a＝2a，b＝b2或 a＝b2，b＝2a，

解得 a＝0，b＝1或 a＝0，b＝0或 a＝14，b＝12.

再根据集合中元素的互异性，得 a＝0，b＝1或 a＝14，b＝12.

方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同.

∴ a＋b＝2a＋b2，a·b＝2a·b2，

即 a＋bb－1＝0， ①ab·2b－1＝0， ②

∵集合中的元素互异，

∴a，b不能同时为零.

当b≠0时，由②得a＝0，或b＝12.

当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去).

当b＝12时，由①得a＝14.

当b＝0时，a＝0(舍去).

∴ a＝0，b＝1或 a＝14，b＝12.

1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )

A.一切很大的数

B.好心人

C.漂亮的小女孩

D.方程x2－1＝0的实数根

答案 D

2.下面说法正确的是( )

A.所有在N中的元素都在N*中

B.所有不在N*中的数都在Z中

C.所有不在Q中的实数都在R中

D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中

答案 C

3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案 C

4.下列结论不正确的是( )

A.0∈N B.2∉Q C.0∉Q D.－1∈Z

答案 C

5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )

A.2 B.3

C.0或3 D.0,2,3均可

答案 B

解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.

1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.

2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.

3.集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.

课时作业

一、选择题

1.已知集合A由x<1的数构成，则有( )

A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉A

答案 C

解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式.

2.由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含( )

A.2个元素 B.3个元素

C.4个元素 D.5个元素

答案 A

解析 由于|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素.

3.下列结论中，不正确的是( )

A.若a∈N，则－a∉N B.若a∈Z，则a2∈Z

C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则3a∈R