求函数定义域的几种类型

函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

s=（50-x）

故函数关系式为：s=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量

的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：s=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥ 故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又∵f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

∴函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

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1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

高中数学函数定义域的求法

求函数定义域的方法有以下几种：

1. 根据函数的解析式确定：

- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得有理式的分母不为零的实数值。

- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得无理式的被开方数不小于零的实数值。

- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。

2. 根据函数的图象确定：

- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就是曲线所覆盖的所有实数值。

- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就是这些点的横坐标所组成的集合。

3. 根据问题的实际意义确定：

- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。

需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。

函数定义域的几种求法

函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。求函数定义域的几种方法有：

1、根据函数的表达式或方程求解法

这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。

例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；

由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。

2、根据函数的几何图形特征求解法

这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。

例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。

3、根据定义求解法

例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。

4、根据解析学原理求解法

对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。

例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到 y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。根据等式 y - 1 =

0 我们可以得到

|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。