函数的定义域和值域教案

1 学 校： 年 级： 教学课题：

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

教学目标 函数的定义域，值域，解析式求法

教学内容

考点一：映射的概念

例1、下面能构成从集合A到集合B的映射的是

1 3 1 3 1 3

2 5 2 5 3 5

3 7 3 7 4 7

4 9 4 9

（1） （2） （3）

1 3 1 3

2 5 2 5

3 7 3 7

9 4

（4） （5）

考点二：集合与映射的关系

说明：原项的集合叫做原项集，项的集合叫做项集

例2、设A，B是两个非空集合，f:A→B是从A到B的一个函数，函数的定义域与值域分别为M，N则下列说法正确的是 （ ）

A.NBMA， B.NBMA, C.NBMA, D.NBMA,

考点三、函数概念

例3、下列关系中，y不是x的函数的是 （ ）

A.xy5 B.2xy C.xy42 D.xy

1 函数的定义域和值域

要点梳理

1．常见基本初等函数的定义域

(1)函数y＝ax(a＞0且a≠1)、y＝sin x、y＝cos x的定义域是R

(2) y＝logax的定义域是{x|x＞0}或(0，＋∞)，y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．

求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.

2．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为yy≥4ac－b24a；当a＜0时，值域为yy≤4ac－b24a.(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]．(7)y＝tan x的值域是R.

求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式

典型例题

求函数的定义域

例1、函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为________．

例2、函数f(x)＝x22－x－lg(x－1)的定义域是________．

例3、函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是________．

求函数的值域

例4、求下列函数的值域．

1 课题 函数的定义域和值域 编号 2

学习目标 （1）进一步理解函数的概念；

（3）会求函数的定义域、函数值；

教学重点、难点

会求基本函数的定义域、函数值；

教学方法 自主、合作、探究、交流

学习要点及自主学习导引 学习心得

主动出击：

1、若()21,()32,fxxgxx 则(2)g=

((2))fg ；

2、若22()1xfxx，111(1)(2)(3)(4)()()()234fffffff=____

3、求下列函数的定义域 （用区间表示）.

（1）2()343xfxxx；

（2）2()4fxxx

小结.求简单函数定义域的基本方法：

(1)分式函数中_____________________________

(2)偶次根式函数中__________________________________

(3)一次函数、二次函数（多项式函数）的定义域为________________（4）实际应用问题的定义域:就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

(5)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是____________________________集合．

典例探究

例1、下列哪个函数与函数y＝x相同？

(1) y＝(x)2； (2)y＝x2x；

(3) u＝3v3； (4)y＝t2．

例2、求函数221()456fxxxxx的定义域.

思想方法总结

2 例3.用长为40cm的铁丝围成矩形，试将矩形面积S(2cm)表示为矩形一边长x(cm) 的函数，并求函数的定义域。

例4.已知函数()fx，()gx分别由下表给出

x 1 2

3

4

()fx 2 3

4

1 x 1 2

3

4

()gx 2 1

4

3

（1）函数的()fx定义域为___________值域为______________

如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。

1．求复合函数的定义域

关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。

例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。 解析由 故函数的定义域为。

例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。 解析由

由a>0，而知只有当0

2．求复合函数的值域

关键是由里向外，逐层解决。

例3函数的值域是（）

（A）（B）[0，4]

（C）（D） 解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。

例4求函数的值域。 解析函数是由函数复合而成的。由u的定义域得：。由，或y>1，故所给函数的值域为。

3．求复合函数的奇偶性

（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；

（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；

（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

例5判断下列函数的奇偶性。

解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。

解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。

例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。

解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。

例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。 解析由于内函数非奇非偶，外函数也非奇偶性，这时，f(x)的定义域为（－１，１），又所以，函数f(x)为奇函数。