人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计

18.4 柯西不等式和排序不等式

典例精析

题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式

【例1】设a1，a2，…，an都为正实，证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.

【证明】方法一：由柯西不等式，有[]

(a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥

(a1a2·a2＋a2a3·a3＋…＋ana1·a1)2＝(a1＋a2＋…＋an)2.

不等式两边约去正因式a1＋a2＋…＋an即得所证不等式.

方法二：不妨设a1≤a2≤…≤an，则a21≤a2≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an.[]

由排序不等式有

a21·1a2＋a22·1a3＋…＋a2n－1·1an＋a2n·1a1≥a21·1a1＋a22·1a2＋…＋a2n·1an＝a1＋a2＋…＋an，

故不等式成立.

方法三：由均值不等式有

a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2na1＋a1≥2an，将这n个不等式相加得

a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整即得所证不等式.

【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处.

【变式训练1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.

【证明】左边＝[2(a＋b＋c)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)

＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，

(或左边＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)

＝3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋c＋aa＋b＋c＋ab＋c

人教版高中数学选修4-5课堂练习

第三讲 柯西不等式与排序不等式

3.1 二维形式的柯西不等式

3.2 一般形式的柯西不等式

A级 基础巩固

一、选择题

1．函数y

＝x－5＋

26－x的最大值是( ) A.3 B.5

C．3 D．5

解析：根据柯西不等式，知y＝

1·x－5＋

2·6－x≤

12

＋22

·（x－5）2

＋（6－x）2

＝5.

答案：B

2．已知a，b∈R，a2

＋b2

＝4，则3a＋2b的最大值为( )

A．4 B．213

C．8 D．9

解析：(a2

＋b2

)(32

＋22

)≥(3a＋2b)2

，3a＝2b时取等号，

所以(3a＋2b)2

≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值

所以3a＋2b≤213.

答案：B

3．已知a，b

＞0，且a＋b＝

1，则(4a＋1＋4b＋1)2

的最大值是( )

A．26 B.6 C．6 D．12

解析：

(4a＋1

＋4b＋1)2

＝

(1·4a＋1＋

1·4b＋1)2

≤(12

＋12

)·(4a＋1＋4b

＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，

当且仅当4a＋1

＝4b＋1，即a＝b时等号成立．

答案：D

4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是( )

A．1 B.3

C．3 D．9

解析：由柯西不等式得(a)2

＋(b)2

＋(c)2

](12

＋12

＋12

)≥(a＋b＋c)2

，

所以(a＋b＋c)2

≤3×1＝3.

当且仅当a＝b＝c＝1

3时等号成立． 所以a＋b＋c的最大值为3.故选B.

答案：B

5．已知a2

1＋a2

2＋…＋a2

n＝1，x2

1＋x2

2＋…＋x2

n＝1，则a

1x

1＋a

2x

2＋…＋a

nx

n

的最大值为( )

A．1 B．2

C．－1 D．不确定

解析：因为(a

1x

1＋a

2x

2＋…＋a

nx

n)2

≤(a2

1＋a2

2＋…＋a2

n)(x2

1＋x2

2＋…＋x2

n)＝1×1

＝1，

当且仅当a

i＝kx

i(i＝1，2，…，n)时等号成立．

所以a

1x

1＋a

2x

1 二 一般形式的柯西不等式

名称 形式 等号成立条件

三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)

一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)

[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn

＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2]·1x12＋1x22＋…＋1xn2≥

x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn2＝n2，

∴1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2.

其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．

第三讲 柯西不等式与排序不等式

3.3 排序不等式

A级 基础巩固

一、选择题

1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )

A．3 B．6

C．9 D．12

解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，

由乱序和不小于反序和知，

所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，

所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.

答案：A

2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )

A．420 元 B．400 元 C．450 元 D．570 元

解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．

答案：A

3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )

A．M≥N B．M＝N

C．M＜N D．M＞N

解析：不妨设a≥b≥c＞0，

则a4≥b4≥c4，

运用排序不等式有：

a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，

又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，

所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，

即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.

答案：A

4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是( )

A．1 B．2

C．3 D.33

解析：设a≥b≥c≥0，所以a ≥b ≥ c.

由排序不等式可得ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc. 而(aa＋bb＋cc)2≤(aa)2＋(bb)2＋(cc)2](1＋1＋1)＝9，即aa＋bb＋cc≤3.