1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法(解析版)
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1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法
考点一、直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：
平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
若，则；表示为，有两个不等实数根；
若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
.
要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数
的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
题型1：直接开平方法解一元二次方程
1．一元二次方程2
250x-=的解为（ ）
A．
125xx==
B．
15=x
，
25x=-
C．
125xx==-
D．
1225xx==
【答案】B
【解析】
【分析】
先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．
解：2
250x-=，
移项得：2
=25x，
开平方得：
15=x
，
25x=﹣
，
故选B
．【点睛】
本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．
2．若2
2
2a=-，则a
是（ ）
A．-2B．2C．-2或2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算2
(2)-
，再用直接开平方法解一元二次方程即可．
2
2
24a=-=Q
2a\=±
故选C
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．
3．方程x2
-
64 =0的根为_______．
【答案】x=
±
22
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义得出
64=8，得出x2=8，利用直接开平方法即可求解．
解： x2
-
64 =0，
∴x2=8，
∴x
=
22±．
故答案为：x
=
22±．
【点睛】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．
4．有关方程2
90x+=的解说法正确的是（ ）
A．有两不等实数根3和3-
B．有两个相等的实数根3
C．有两个相等的实数根3-
D．无实数根
【答案】D【解析】
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
∵2
90x+=，
∴2
90x=-<，
∴该方程无实数解．
故选：D
【点睛】
考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项
移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．若方程
2
0axbab=>
的两个根分别是4m-
与38m-
，则b
a=
_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用直接开平方法得到b
x
a=±，得到方程的两个根互为相反数，所以4380mm-+-=
，解得3m=，则方
程的两个根分别是1与
1-
，则有1b
a=
，然后两边平方得到b
a的值．
解：∵
2
0axbab=>
，
∴2b
xa=
，
∴b
x
a=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∵方程2
axb=的两个根分别是4m-
与38m-
，
∴4380mm-+-=
，
解得3m=，
∴4341m-=-=-
，383381m-=´-=
，
∴一元二次方程ax2
＝b的两个根分别是1与1-，
∴1b
a=，
∴1b
a=
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2
xp=
或2
0nxmpp+=³的一元二次方程可采用直
接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2
xp=
的形式，那么可得xp=±
；如果方程能化成
2
0nxmpp+=³
的形式，那么nxmp+=±
．
6．解方程：
（1）2
3270x-=； （2）2
(5)360x--=
；
（3
）21
(2)6
2x-=
； （4）
4490+--=yy
．
【答案】（1）
123,3xx==-
；（2）
1211,1xx==-
；（3
）
12232,232xx=+=-+
；（4）
125,5yy==-
．
【解析】
【分析】
（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；
（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；
（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；
（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．
（1）2
3270x-=，
2
327x=，
2
9x=，
3x=±
，
即
123,3xx==-
；
（2）2
(5)360x--=
，
2
(5)36x-=
，
56x-=
或56x-=-
，
11x=
或1x=-
，即
1211,1xx==-
；
（3
）21
(2)6
2x-=
，
2
(2)12x-=，
223x-=
或
223x-=-，
232x=+
或
232x=-+，
即
12232,232xx=+=-+
；
（4）
4490+--=yy
，
2
1690y--=
，
2
25y=
，
5y=±
，
即
125,5yy==-
．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式
法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．
7．计算：4（3x+1）2
﹣1＝0
、327
4y
﹣2＝0的结果分别为（ ）
A．x＝
±1
2，y＝
±2
3B．x＝
±1
2，y
＝2
3
C．x
＝﹣1
6，y
＝2
3D．x
＝﹣1
6
或﹣1
2，y
＝2
3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接开平方与开立方，再解一次方程即可．
解：由4（3x+1）2
﹣1＝0得（3x+1）2
＝1
4，
所以3x+1＝
±1
2，
解得x＝
﹣1
6或x＝
﹣1
2，
由327
4y
﹣2＝0得y3
＝8
27，
所以y
＝2
3，
所以x＝
﹣1
6或
﹣1
2，y
＝2
3．
故选：D．
【点睛】
本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．
8
．一元二次方程
2
5335x-=的实数根为（ ）
A
．
120,23xx==
B
．
120,3xx==
C
．
123,3xx==-
D
．
1223,3xx==-
【答案】A
【解析】
【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．
2
5335x-=，
两边同除以
5
得：2
33x-=，
利用直接开方法得：
3=3x-±，
解得
120,23xx==
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．
题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件
9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )
A．2
30x=－B．2
(14)0x=－－C．2
20x=＋D．22
()12()x=－－
【答案】C
【解析】
【分析】
