抽象函数解题全攻略
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抽象函数解题全攻略
抽象函数常以高中函数的主体内容——定义域、函数的单调性、函数的奇偶性、函数
的周期性为背景,以解不等式、求数列通项等为目的,知识覆盖面较大,综合性较强,灵活选择
方法的要求较高,再加上题意变幻,构思精巧,具有相当的深度和难度.为了应对2010年的高考,本
着未雨绸缪的思想,本文探讨一些抽象函数问题,并举例分析其解题方法,旨在探索题型规律,
开拓同学们的视野.
一、抽象函数的周期性
一个函数,如果有两条对称轴,则它是周期函数,如果有两个对称中心,它也必然是周期函
数;如果有一个对称中心和一条对称轴,则它也是周期函数,抽象函数经常在这个方面出题.
例1 设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有
f(1)=f(3)=0. ⑴ 试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2010,2010]上的根
的个数,并证明你的结论.
⑴分析:证明函数f(x)是偶函数,只须证①定义域关于原点对称;②f(-x)=f(x),要注意判断
y=f(x)也有可能是非奇非偶函数.
解析 ⑴由f(2-x)=f(2+x),得f(x)=f(4-x);由f(7-x)=f(7+x),得f(x)=f(14-x),故f(4-x)=f(14-x),
即f(x)=f(x+10),函数y=f(x)的周期为T=10,而f(3)=f(1)=0,f(7)≠0,f(-3)=f(-3+10)=f(7)≠0,所以
f(-3)≠±f(3),故函数y=f(x)是非奇非偶函数.
⑵ 分析:显然要根据周期解决,周期为10,在闭区间[0,7 ]上,只有f(1)=f(3)=0,必须研究f(8)、
f(9)、f(10)是否为0.
解析 ⑵f(3)=f(1)=0,图像关于x=7对称,故可知f(8)=f(6)≠0,同理f(9)≠0,f(10)≠0,即在一
个周期内只有两个根.可知函数y=f(x)在[0,2010]上有402个根,在[-2010,0]上有402个解,所
以函数y=f(x)在[-2010,2010]上有804个解.
点评 ⑴若函数f(a+x)=f(b-x)满足,则关于直线x=对称;⑵若函数满足f(x+a)=-f(x),则周期
为T=2a. 若函数满足f(a-x)=f(b-x),则周期T=b-a.
二、抽象函数的单调性
函数是数学大厦的“基石”,是中学数学中具有统帅作用的重要内容,函数的单调性则是
函数的核心.经常利用导数来判断函数的单调性.由于抽象函数没有具体解析式,所以其单调
性的证明又别有一番风味.
例2 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1•x2)
=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
解析 (1)分析:证明函数f(x)是偶函数,只须证①定义域关于原点对称;②f(-x)=f(x),因此可
令x1=-1,x2=x. 再利用特值法求f(-1),f(1).
证明: f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}关于原点对称,因为对定义域内的任意x1、x2都
有f(x1•x2)=f(x1)+ f(x2),令x1=-1,x2=x,则有f(-x)=f(x)+f(-1),又令x1=x2=-1,得f(1)=2f(-1),再
令x1=x2=1,得f(1)=0,从而f(-1)=0,于是有f(-x)=f(x),可知f(x)是偶函数.
(2)分析:证明单调性一般采用定义法来证. 本题的关键是利用f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),因此
可令x2=x1•t(t>1).
证明: 设任意x1,x2满足01),故f(x1)-f(x2)=f(x1)-[f(x1)+f(t)]=-f(t),因为t>1,故f(t)>0,所以
f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)分析:由于没有具体函数,因此要解不等式必须利用函数的单调性,也就是要求出f(m)
=2中的m,又因为函数是偶函数,故可以利用f(-x)=f(x)=f(|x|)来解不等式.
解析: 由于f(2)=1,令x1=x2=2,则f(4)=2f(2)=2,于是待解不等式可化为f(2x2-1) 点评
⑴在抽象函数问题中,常用的特殊值是f(0), f(1),f(-1)等等;⑵ 如果题目所给的条件是f(x1+x2)
=f(x1)f(x2),则在证明单调性时,一般可令x2=x1+t(t>0);⑶ 在求解不等式时,可以采用令x1=x2
等于所给的两个数的方法来解决.
三、抽象函数的原型
抽象函数也是从实际函数中转化而来的,在解题中,如果能够熟练把握抽象函数的原型,
能够使解题事半功倍. 例3 设函数y=f(x)是定义在R上的函数,并且满足下面三个条件:①对任意正数x、y,都
有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)<0;③f(3)=-1.
⑴ 求f(1)、f()的值;⑵ 如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围;(3) 如果存在正
数k,使不等式f(kx)+f(2-x)<2有解,求正数k的取值范围.
分析 观察所给条件,推断出抽象函数的原型是 f(x)=logx,由此易知f(1)=0,f()=2.找到原
型后对于后面解不等式及求值等问题有很大的帮助, 但是不能使用原型函数直接解题.
解析 ⑴ 令x=y=1,易得f(1)=0. 而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2,且f(9)+f()=f(1)=0,所以f()=2.
⑵ 由条件①及(1)的结果得:f(x(2-x)),0 ⑶ 同上,不等式f(kx)+f(2-x)<2,可化为kx(2-x)>
且0,此不等式有解等价于k>[]min.∵[x(2-x)]max=1,故k>即为所求范围.
点评 以下是一些常见抽象函数的原型:
一次函数f(x)=kx+b(k≠0)抽象函数模型为:f(x+y)=f(x)+f(y)+b;
指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1),抽象函数模型为:①f(x+y)=f(x)•f(y);②f(x-y)=;
对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)抽象函数模型为:①f(xy)=f(x)+f(y);②f()=f(x)-f(y);
余弦函数f(x)=cosx有公式cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ,其抽象函数模型为:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).
四、抽象函数的交汇性
关注知识交汇点,把握纵横联系,揭示普遍规律,注重综合应用,在知识的交汇点处命题,考
查综合分析问题解决问题的能力,是高考命题的风向标.
例4 设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0
分析 第三问是数列与抽象函数的交汇,考察了求通项,等比数列求和,裂项相消等知识.
解析 (1)令y=0,x=-1,得f(-1)=f(-1)f(0),f(-1)[1- f(0)]=0,∵f(-1)>0,∵f(0)=1.
(2) 又∵x<0时,f(x)>0,∴当x>0时,由f(x-x)=f(x) f(-x)=1,得f(x)=>0,故对于x∈R,f(x)>0.
设x1 (3) 由f(a2 n+1-a2n)=(n∈N*),得f(a2 n+1-a2n)f(an+1-3an-2)=f(0),即f(a2 n+1-
a2n+an+1-3an-2)=f(0),(n∈N*),∵函数f(x)是R上单调函数,∴a2 n+1-a2n+an+1-3an-2=0
(an+1+an+2)(an+1-an-1)=0,∵数列{an}各项都是正数,∴an+1+an+2≠0,∴an+1-an=1(n∈N*),
∴数列{an}是首项a1=f(0)=1,公差为1的等差数列,且an=n.∵==-,
∴Tn=++…+=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-. 而Sn=b1+b2+…+bn=+()2+…+()n==1-.∵当n=1时,2n=n+1,∴Tn=Sn,当n≥2时,2n=(1+1)
n=1+n++…>n+1,∴<,∴Tn 点评 经过适当构造,抽象函数还可以与不等式、概率统计、
导数等等知识点相交汇.
五、抽象函数的创新性
创新型问题是给出一个新定义、新运算、新函数或新概念,要求考生利用其解决问题.这
种问题不能利用以往的公式或定理,把考查的方向由死记硬背转向考查考生的能力运用.解创
新型问题,需要通过阅读分析材料,捕捉相关信息,通过归纳、类比与探索,发现解题方法.这类
题立意新、构思巧,既考查考生的阅读理解能力与数学语言转化能力,又考查考生分析、探究
和解决问题的能力.
例5 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体,存在非零常数,对任意x∈R,有
f(x+T)=Tf(x)成立. (1) 函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由; (2) 设 f(x)∈M,且T=2, 已知
当1 分析 对于第一问一般来说是假设属于集合,然后再找出成立的条件是否满足. 对于
第二问,类似于使用周期性来求解析式.
解析 (1) 假设函数f(x)=x属于集合M,则存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)
成立,即: x+T=Tx成立.令x=0,则T=0,与题设矛盾,故f(x)M.
(2) f(x)∈M,且T=2,则对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x),设-3 当1 总之,抽象函数试题可以帮助同学们学习一些重要的数学思想,有助于进一步打好数学基础,提高数学思维能力,
有利于扩展数学视野,有利于提高对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识,真正达到
“学数学,用数学,做数学”的境界.
