高考数学中抽象函数的解法

专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式

【高考地位】

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

【方法点评】

确定抽象函数单调性解函数不等式

使用情景：几类特殊函数类型

解题模板：第一步 （定性）确定函数)(xf在给定区间上的单调性和奇偶性；

第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(NfMf的形式；

第三步 （去f）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；

第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.

例1 已知函数fx是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数12,xx，且12xx，不等式11221221xfxxfxxfxxfx恒成立，则不等式1120xfx的解集为__________．

【答案】11,2.

例2.已知定义为R的函数fx满足下列条件：①对任意的实数,xy都有：

1fxyfxfy；②当0x时，1fx．

（1）求0f；

（2）求证：fx在R上增函数；

（3）若67,3fa，关于x的不等式223faxfxx对任意1,x恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）01f；（2）证明见解析；（3）5,3．

即2130xax在1,x上恒成立，

令213gxxax，即min0gx成立即可．

①当112a，即3a时，gx在1,x上单调递增，

压轴题03抽象函数问题

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽

象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解

析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。○

热○

点○

题○

型1定义域问题

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号

内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。○

热○

点○

题○

型2求值问题

通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技

巧。○

热○

点○

题○

型3值域问题○

热○

点○

题○

型4解析式问题

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一

个变量，是实现这种转化的重要策略。○

热○

点○

题○

型5单调性与奇偶性问题○

热○

点○

题○

型6周期性与对称性问题○热○

点○

题○

型7几类抽象函数解法

(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）

2.赋值法（令0x或1，求出)0(f或)1(f、令xy或xy等

等）

（2）几种抽象函数模型：

1.正比例函数：)0()(kkxxf——————————)()()(yfxfyxf；

2.幂函数：2)(xxf——————————————)()()(yfxfxyf，

)()(

)(

yfxf

yx

f；

注：反比例函数：1)(xxf一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模

型写成反比例函数模型。3.指数函数：xaxf)(———————————)()()(yfxfyxf，

)()(

)(

yfxf

yxf

4.对数函数：xxf

alog)(————————)()()(yfxfxyf，

)()()(yfxf

yx

f

5.三角函数：xxftan)(————————————

1 Email:2463451976

抽象函数常见考题及解析

四川省南充市李渡中学 雍兴灵

抽象函数在中学数学教材中虽没有单独的章节，但在高考试卷中却常考常新.下面是笔者整理的近年考题中常见的抽象函数问题，供高三复习时参考.

一、求定义域

求抽象函数的定义域要注意中间变量的等同性，如在1(())fgx，2(())fgx中，1()gx与2()gx的值域相同.

例1 （13.大纲卷.理）已知函数fx的定义域为1,0，则函数21fx的定义域为

A.1,1 B.11,2 C.1,0 D.1,12

解：由已知条件得，1210x，解得112x，∴选B.

二、求函数值(域)

赋值、迭代是解抽象函数问题的常见方法．

例2 (08.四川)设定义在R上的函数()fx满足()(2)13fxfx，若(1)2f，则(99)f

A．13 B．2 C．132 D．213

解：∵()(2)13fxfx，∴()0fx，且(2)(4)13fxfx，

∴(4)()fxfx，即()fx是以4为周期的周期函数．

∴1313(99)(3424)(3)(1)2ffff．∴选C．

例3 (08.陕西)定义在R上的函数()fx满足()()()2fxyfxfyxy（xyR，），(1)2f，则(3)f等于

A．2 B．3 C．6 D．9

解：由()()()2fxyfxfyxy得：(0)(0)(0)0fff，∴0)0(f.

由(0)(1)(1)2fff得，∴(1)0f，∴(2)(1)(1)22fff；

抽象函数常见题型及解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下．

一、函数的基本概念问题

1．抽象函数的定义域问题

例1 已知函数)(2xf的定义域是[1，2]，求)(xf的定义域．

解：由)(2xf的定义域是[1，2]，是指1≤x≤2，所以1≤x2≤4，

即函数)(xf的定义域是[1，4]．

评析：一般地，已知函数[()]fx的定义域是A，求)(xf的定义域问题，相当于已知[()]fx中x的取值范围为A，据此求)(x的值域问题．

例2 已知函数)(xf的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log21xf的定义域．

解：由)(xf的定义域是[－1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[－1，2]中，由此易得

－1≤log21(3－x)≤2  (21)2≤3－x≤(21)11≤x≤411．

∴函数)]3([log21xf的定义域是[1，411]．

评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(xf的定义域是A，求函数))((xf的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(xf的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则，)(xf无意义．因此，如果)(0xf有意义，则必有x0A．所以，这类问题实质上相当于已知)(x的值域是A，据此求x的取值范围，即由)(xA建立不等式，解出x的范围．例2和例1形式上正相反．

2．抽象函数的值域问题