高中数学圆锥曲线难题练习题带答案

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高中数学圆锥曲线

一．选择题（共20小题）

1．已知F1、F2是椭圆＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，以PF1为直径作圆N，直线ON与圆N交于点Q（点Q不在椭圆内部），则＝（ ）

A．2 B．4 C．3 D．1

2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于（ ）

A． B．2 C．3 D．4

3．已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x﹣3y+6＝0和l2：x＝﹣1的距离之和的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为2，右顶点为A．过原点与x轴不重合的直线交C于M，N两点，线段AM的中点为B，若直线BN经过C的右焦点，则C的方程为（ ）

A． B． C． D．

5．已知经过原点O的直线与椭圆相交于M，N两点（M在第二象限），A，F分别是该椭圆的右顶点和右焦点，若直线MF平分线段AN，且|AF|＝4，则该椭圆的方程为（ ）

A． B． C． D．

6．已知椭圆T：的焦点F（﹣2，0），过点M（0，1）引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到l1、l2的距离分别为d1、d2，则d12+d22的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．

7．点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若|MF|＝4，|NF|＝3，则直线AB的斜率为（ ）

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A．1 B． C．2 D．

8．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点（2，3），若F1、F2为其左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若点A（6，8），则当|PA|+|PF2||取最小值时，点P的坐标为（ ）

A． B． C． D．

9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝k（x﹣）过点F2，且与双曲线C在第一象限交于点P，若（）•＝0（O为坐标原点），且|PF1|＝（a+1）|PF2|，则双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

10．已知点F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝2，则e1的值是（ ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，则＝（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知双曲线，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P（x0，y0）为双曲线C上一点，且位于第一象限，若△PF1F2为锐角三角形，则y0的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

13．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若FA＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．

14．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设点H（xH，yH），G（xG，yG）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|yH|＝3|yG|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）

A．[2，+∞） B．（1，] C．（1，2] D．（1，2）

15．已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，设

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点H（xH，yH），G（xG，yG）分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，若|yH|＝3|yG|，则|HG|＝（ ）

A．2 B．3 C．3 D．4

16．设双曲线C：（a＞0，b＞0），M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM•kPN＝4，则双曲线C的离心率为（ ）

A．2 B． C． D．5

17．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C．2 D．3

18．已知过抛物线C：y2＝4x焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

19．已知椭圆，圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（﹣2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）

A． B． C． D．

20．已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，3] C．[3，] D．[，3]

二．填空题（共10小题）

21．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为

；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是 ．

22．已知F是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为 ．

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23．椭圆C：和双曲线的左右顶点分别为A，B，点M为椭圆C的上顶点，直线AM与双曲线E的右支交于点P，且，则双曲线的离心率为

．

24．已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过点F2且斜率为k（k＞0）的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心为O1，半径为r1，△BF1F2的内切圆圆心为O2，半径为r2，则直线O1O2的方程为： ；若r1＝3r2，则k＝ ．

25．已知双曲线的一条渐近线为l，圆M：（x﹣a）2+y2＝8与l交于A，B两点，若△ABM是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．

26．（文科）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以F为圆心，以|OF|为半径的圆交双曲线C的右支于P，Q两点（O为坐标原点），△OPQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率的平方为 ．

27．已知P是椭圆＝1上任意一点，AB是圆x2+（y﹣2）2＝1的任意一条直径（A，B为直径两个端点），则的最小值为 ，最大值为 ．

28．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝﹣1，直线l：3x﹣4y+4＝0与抛物线C和圆x2+y2﹣2y＝0从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C的方程为 ，＝ ．

29．已知F1，F2分别是双曲线C：，b＞0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若△PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则∠F1PF2的大小为 ；双曲线的离心率为 ．

30．已知点F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M（x0，y0）（x0＜0）为C的渐近线与圆x2+y2＝a2的一个交点，O为坐标原点，若直线F1M与C的右支交于点N，且|MN|＝|NF2|+|OF2|，则双曲线C的离心率为 ．

三．解答题（共10小题）

31．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．

（1）求椭圆C2的离心率；

（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．

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32．已知点N（1，0）和直线x＝2，设动点M（x，y）到直线x＝2的距离为d，且|MN|＝d．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）已知P（﹣2，0），若直线l：y＝k（x+1）与曲线E交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，证明：P，B，C三点共线．

33．已知椭圆的离心率为，且坐标原点O到过点（0，b），的直线的距离为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且与直线x＝3交于点P，使得|PA|，|AB|，|PB|依次成等差数列，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

34．已知椭圆C：+＝1的右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为D．

（Ⅰ）若点D的纵坐标为﹣，求直线AB的方程；

（Ⅱ）线段AB的中垂线与直线x＝﹣4交于点E，若|AB|＝，求|DE|．

35．已知抛物线C：y2＝2px（0＜p＜5），与圆M：（x﹣5）2+y2＝16有且只有两个公共点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）经过R（2，0）的动直线l与抛物线C交于A，B两点，试问在直线y＝2上是否存在定点Q，使得直线AQ，BQ的斜率之和为直线RQ斜率的2倍？若存在，求出定点Q；若不存在，请说明理由．

36．曲线C：y2＝2px（p＞0）与曲线E：x2+y2＝32交于A、B两点，O为原点，∠AOB＝90°．

（1）求p；

（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线l1、l2，l1、l2的斜率分别为k1、k2，k1+k2＝2，l1、l2分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．

37．已知抛物线的准线与半椭圆相交于A，B两点，且．

（Ⅰ）求抛物线C1的方程；

（Ⅱ）若点P是半椭圆C2上一动点，过点P作抛物线C1的两条切线，切点分别为C，D，求△PCD面积的取值范

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围．

38．已知圆锥曲线+＝1过点A（﹣1，），且过抛物线x2＝8y的焦点B．

（1）求该圆锥曲线的标准方程；

（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为（，0）点E的坐标为0，），直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|•|EM|为定值．

39．已知双曲线Γ1：﹣＝1与圆Γ2：x2+y2＝4+b2（b＞0）交于点A（xA，yA）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x＞|xA|的部分．

（1）若xA＝，求b的值；

（2）当b＝，Γ2与x轴交点记作点F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF1|＝8，求∠F1PF2；

（3）过点D（0，+2）斜率为﹣的直线l与曲线Γ只有两个交点，记为M、N，用b表示•，并求•的取值范围．

40．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：kAD﹣kBD＝﹣2．

（1）求点D的轨迹C的方程；

（2）设过点（0，2）的直线1交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数λ，使S△OPQ＝λS△OMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．