证明或判断等差(等比)数列常用方法

等差、等比的公式性质以及数列的乞降方法第一节：等差数列的公式和有关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，假如它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：a n a n 1 d （d 为公差）（ n 2 ， n N *）注：下边全部波及n ，n N *省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：a n a1( n1)d ， a1为首项，d为公差推行公式：a n a m(n m) d变形推行：d a n a mn m3、等差中项（ 1）假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A a b或2 A a b2（ 2）等差中项：数列a n是等差数列2anan -1a n 1 (n 2)2a n 1a nan 24、等差数列的前 n 项和公式：n(a1a n )na1n(n 1)dS n22d n2(a11d) n An 2Bn22（此中 A、B是常数，所以当 d≠0时， S n是对于 n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n1 时，a n1是项数为 2n+1 的等差数列的中间项2n 1a1a2n 12n 1 a n 1（项数为奇数的等差数列的各项S2 n 12和等于数乘以中）5、等差数列的判断方法（ 1）定法：若a n a n1 d 或 a n 1a n d (常数n N)a n是等差数列．（ 2）等差中：数列a n是等差数列2an an-1a n 1 (n 2)2a n 1anan 2（3）数列a n是等差数列（4）数列a n是等差数列6、等差数列的明方法a n kn b （此中k,b是常数）。

S n An2Bn ,（此中A、B是常数）。

定法：若 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d (常数n N)a n是等差数列．7、等差数列有关技巧：（ 1）等差数列的通公式及前n和公式中，波及到 5 个元素：a1、d 、n、a n及S n，此中a1、d 称作基本元素。

专题28高中数学等差等比数列证明专题训练【方法总结】1．等差数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．提醒：(1)定义法和等差中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差数列，则只需判定存在连续三项不成等差数列即可．2．等比数列的四个判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．提醒：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【高考真题】1．(2022·全国甲理文) 记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1． (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．【题型突破】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝7，a 5＋a 7＝26．(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }为等差数列． 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．3．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 4．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3n ＋1＋3(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n 3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝a n n －a n 3n ，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，求T n ． 7．(2021·全国乙)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n 为数列{S n }的前n 项积，已知2S n ＋1b n＝2． (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．8．(2014·全国Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．10．若数列{b n }对于任意的n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．如数列c n ，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n ＋9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n ．(1)求证：{a n }是准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20．11．已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n － 1．(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式． 14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n }是等比数列．15．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，设b n ＝a 2n －1． (1)求b 2，b 3，并证明b n ＋1＝2b n ＋2；(2)①证明：数列{b n ＋2}为等比数列；②若a 2k ，a 2k ＋1,9＋a 2k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．16．(2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4．(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式．17．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n． (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n >0，S 2n ＝a 2n ＋1－λS n ＋1，其中λ为常数．(1)证明：S n ＋1＝2S n ＋λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a ＝(a 1，1)，b ＝(1，a 10)，若a·b ＝24，且S 11＝143，数列{b n }的前n项和为T n ，且满足12n a -＝λT n －(a 1－1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式及数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和M n ； (2)是否存在非零实数λ，使得数列{b n }为等比数列？并说明理由．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n＋λ}是不是等比数列，并求a n；(2)当λ＝1时，求数列{n(a n＋λ)}的前n项和T n．。

第一讲 等差数列、等比数列一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d .3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质推广：(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1) ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．等差数列的单调性单调递增d ＞0 当01<a 时，n S 有最小值 单调递减 d<0 当01>a 时，n S 有最大值常数数列d=0三、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． 四、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍是等比数列． 等比数列的单调性单调递增 a 1＞0，q ＞1或者a 1＜0,0＜q ＜1 单调递减 a 1＞0,0＜q ＜1或者a 1＜0，q ＞1常数数列 a 1≠0，q ＝1摆动数列 q ＜0基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是 a n ＝________.2．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.3．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．考点一 等差、等比数列的基本运算例1、[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．1 2、（2013新课标全国Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19跟踪练习1．（2013安徽）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．22．[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二等差、等比数列的性质例 1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．1762．[2014·广东卷] 等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．变式练习1、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n＞6)，求数列{a n}的项数及a9＋a10.2、[2014·全国卷] 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32 C．63 D．64考点三等差、等比数列的判断与证明要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．例1、[2014·全国卷] 数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．2、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；②求数列{a n }的通项公式．。

证明或判断等差(等比)数列的常用
方法
1. 证明或判断等差数列：
① 通过求出各项之间的差值d，如果d都是相同的，就证明这是一个等差数列。

② 通过比较前两项的比值，如果比值相同，也证明这是一个等差数列。

③ 利用数学归纳法，可以通过前面的数列情况，来推导出下一项的情况，如果证实这样的规律成立，则证明这是一个等差数列。

2. 证明或判断等比数列：
① 通过求出各项之间的比值r，如果r都是相同的，就证明这是一个等比数列。

② 通过比较前两项的比值，如果比值相同，也证明这是一个等比数列。

③ 利用数学归纳法，可以通过前面的数列情况，来推导出下一项的情况，如果证实这样的规律成立，则证明这是一个等比数列。

第1讲 等差数列与等比数列「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题.核心知识回顾1.等差数列(1)01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2). (3)前n 03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2.2．等比数列(1)01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2).(3)等比数列的前n 项和公式：03S n ＝⎩⎨⎧na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1).3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 02a m ＋a n ＝2a p .(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)(3)等差数列“依次m 项的和”即S m …仍是等差数列．(4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇，S 奇S 偶＝a n ＋12n －1时，S 奇－S 偶，S 奇S 偶＝n －1其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k 反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇＝公比为q )．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m …(S m ≠0)成等比数列．热点考向探究考向1 等差数列、等比数列的运算例1 (1)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S 9等于( )A ．－8B ．－6C ．10D ．0答案 D解析 ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2×2)2＝a 1·(a 1＋3×2)，即2a 1＝－16，解得a 1＝－8.则S 9＝－8×9＋9×82×2＝0，故选D.(2)(2020·山东省泰安市肥城一中模拟)公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A.78 B ．85 C ．1 D ．95答案 D解析 设{a n }的公比为q (q ≠0且q ≠1)， 根据a 1，a 3，a 2成等差数列， 得2a 3＝a 1`＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－1－q ＝0，即(q －1)(2q ＋1)＝0. 因为q ≠1，所以q ＝－12， 则S 2＝a 1(1－q 2)1－q ＝34·a 11－q ，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝98·a 11－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1516·a 11－q，因为mS 2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝mS 2·S 4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫98·a 11－q 2＝m ·34·a 11－q ·1516·a 11－q ，因为a 1≠0，所以a 11－q ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫982＝m ×34×1516， 得m ＝95，故选D.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．(多选)(2020·山东省青岛市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，公差d ≠0，S 6＝90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是( )A ．a 1＝22B ．d ＝－2C ．当n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值D ．当S n ＞0时，n 的最大值为20 答案 BCD解析 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0， 由S 6＝90，可得6a 1＋15d ＝90，即2a 1＋5d ＝30， ①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 27＝a 3a 9，即(a 1＋6d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋8d )，化为a 1＋10d ＝0， ② 由①②解得a 1＝20，d ＝－2，则a n ＝20－2(n －1)＝22－2n ，S n ＝12n (20＋22－2n )＝21n －n 2， 由S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋4414，可得n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值110.由S n ＞0，可得0＜n ＜21，即n 的最大值为20.故选BCD. 2．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2022a 2020＝( )A ．4×20202－1B ．4×20192－1C ．4×20222－1D ．4×20192答案 A解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＋1a n＝2n －1，∴a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A.考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例2 (1)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *)．求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是等差数列．证明 ∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n －2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n 2a n －4＝－12为常数，又a 1＝1， ∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋a n ＝n －1n (n ＋1)＋1，n ＝1,2,3，…，设b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，求证：数列{b n }是等比数列．证明 S n ＝1－a n ＋n －1n (n ＋1)，∴S n ＋1＝1－a n ＋1＋n(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，易知a 1＝12，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝n(n ＋1)(n ＋2)－a n ＋1－n －1n (n ＋1)＋a n ，∴2a n ＋1＝n ＋2－2(n ＋1)(n ＋2)－n －1n (n ＋1)＋a n ＝1n ＋1－2(n ＋1)(n ＋2)－1n ＋1＋1n (n ＋1)＋a n ，∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)＝a n ＋1n (n ＋1)，b n ＝a n ＋1n (n ＋1)，则b n ＋1＝a n ＋1＋1(n ＋1)(n ＋2)，上式可化为2b n ＋1＝b n ，∴数列{b n }是以b 1＝1为首项，12为公比的等比数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n}为等比数列时，不能仅仅证明a n＋1＝qa n，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n}为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．1．(多选)(2020·日照一中摸底考试)已知数列{a n}满足：a1＝3，当n≥2时，a n＝( a n－1＋1＋1)2－1，则关于数列{a n}，下列说法正确的是()A．a2＝8 B．数列{a n}为递增数列C．数列{a n}为周期数列D．a n＝n2＋2n答案ABD解析由a n＝(a n－1＋1＋1)2－1得a n＋1＝(a n－1＋1＋1)2，∴a n＋1＝a n－1＋1＋1，即数列{a n＋1}是首项为a1＋1＝2，公差为1的等差数列，∴a n＋1＝2＋(n－1)×1＝n＋1.∴a n＝n2＋2n.所以易知A，B，D正确．2．已知正项数列{a n}满足a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，若a1＝2，则数列{a n}的前n 项和为________.答案3n－1解析∵a2n＋1－6a2n＝a n＋1a n，∴(a n＋1－3a n)(a n＋1＋2a n)＝0，∵a n>0，∴a n＋1＝3a n，∴{a n}为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n＝3n－1.考向3数列中a n与S n的关系问题例3(1)(2020·河南省高三阶段性测试)设正项数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝(1＋a n)2(n∈N*)，则a5＋a6＋a7＋a8＝()A．24 B．48C．64 D．72答案 B解析 当n ＝1时，由S 1＝a 1＝(1＋a 1)24，得a 1＝1，当n ≥2时，⎩⎨⎧4S n ＝(1＋a n )2，4S n －1＝(1＋a n －1)2，得4a n ＝(1＋a n )2－(1＋a n －1)2，∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.∵a n >0，∴a n －a n －1＝2，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝2n －1，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2(a 6＋a 7)＝48.(2)(2020·山东省德州市二模)给出以下三个条件： ①数列{a n }是首项为 2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列； ②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列． 请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________.记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 选①，由已知S n ＋1＝4S n ＋2， (*) 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， (**) (*)－(**)，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ， 即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n (n ＋1)n 2(n ＋1)2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.选②，由已知3S n ＝22n ＋1＋λ， (*) 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ， (**) (*)－(**)，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1.当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，所以a n ＝22n －1， 下同选①.选③，由已知3S n ＝a n ＋1－2， (*) 则n ≥2时，3S n －1＝a n －2， (**) (*)－(**)，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n .当n ＝1时，3a 1＝a 2－2，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1， 下同选①.由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n－S n －1(n ≥2).已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <12.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，所以S n ＝12n －1.13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.真题押题『真题检验』1．(2020·全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q (1＋q ＋q 2)＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5(1＋q ＋q 2)＝q 5＝32.故选D.2．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24可得⎩⎨⎧ a 1q 4－a 1q 2＝12，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n1－2＝2n －1.因此S na n ＝2n－12n －1＝2－21－n .故选B.3．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________.答案 3n 2－2n解析 因为数列{2n －1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n －2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n }是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a n }的前n 项和为n ·1＋n (n －1)2·6＝3n 2－2n . 4．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，可得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－2＋d ＋(－2)＋5d ＝2，解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×1＝－20＋45＝25.5．(2020·江苏高考)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________.答案 4解析 等差数列{a n }的前n 项和公式为P n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，等比数列{b n }的前n 项和公式为Q n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－b 11－q q n ＋b 11－q ，依题意S n ＝P n＋Q n ，即n 2－n ＋2n －1＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n －b 11－q q n ＋b 11－q，通过对比系数可知⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，q ＝2，b11－q ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝0，q ＝2，b 1＝1，故d ＋q ＝4.6．(2020·新高考卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， 依题意有⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2或a 1＝32，q ＝12(舍去)， 所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128， b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0；b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]， 则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]， 则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]， 则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]， 则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]， 则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. 7．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意，有 ⎩⎨⎧ a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3， 所以a n ＝3n －1.(2)令b n ＝log 3a n ＝log 33n －1＝n －1， 则S n ＝n (0＋n －1)2＝n (n －1)2，根据S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，可得 m (m －1)2＋m (m ＋1)2＝(m ＋2)(m ＋3)2， 整理得m 2－5m －6＝0，因为m ＞0，所以m ＝6.『金版押题』8．已知数列{a n }满足na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，a 1＋a 2＋a 3＝75，记S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 5＋…＋a n a n ＋1·a n ＋2，则a 2＝________，使得S n 取得最大值的n 的值为________.答案 25 10解析 由na n －28a n ＋1＝n －1(n ∈N *)，可取n ＝1，即a 1－28＝0，可得a 1＝28，取n ＝2，可得2a 2－28a 3＝1，即a 3＝2a 2－28，又a 1＋a 2＋a 3＝75，可得a 2＝25，a 3＝22，当n ≥2时，由na n －28a n ＋1＝n －1可得a n ＋1n －a nn －1＝－28n (n －1)，可令c n ＝a n ＋1n ，则c n －1＝a nn －1(n ≥2)，c n －c n －1＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n －1(n ≥2)， 由c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋…＋(c n －c n －1)＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋13－12＋…＋1n －1n －1， 可得c n ＝c 1＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1＝a 2＋28⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1，则a n ＋1＝nc n ＝na 2＋28(1－n )＝28＋n (a 2－28)， 故a n ＋1＝28－3n (n ≥2)，所以a n ＝31－3n (n ≥3)， 又a 1＝28，a 2＝25，也符合上式，所以a n ＝31－3n . 令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(31－3n )(28－3n )(25－3n )， 由b n ≥0，可得(31－3n )(28－3n )(25－3n )≥0， 解得1≤n ≤8(n ∈N *)或n ＝10，又b 9＝－8，b 10＝10，所以n ＝10时，S n 取得最大值．9．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，a 3＝7a 1＝7. (1)求p ，S 4的值；(2)若b n ＝a n ＋1－a n ，求证：数列{b n }是等比数列． 解 (1)由a 3＝7a 1＝7知，a 3＝7，a 1＝1.当n ＝1时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 2＝32＋p ，当n ＝2时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得a 3＝4＋3p ＝7，所以p ＝1， 当n ＝3时，由2a n ＋1＋n ＝4S n ＋2p ，得2a 4＋3＝4S 3＋2，解得a 4＝412.所以S 4＝1＋52＋7＋412＝31.(2)证明：由(1)可得a n ＋1＝2S n －12n ＋1， 则a n ＋2＝2S n ＋1－12(n ＋1)＋1. 两式作差得a n ＋2－a n ＋1＝2a n ＋1－12， 即a n ＋2＝3a n ＋1－12(n ∈N *)． 由(1)得a 2＝52，所以a 2＝3a 1－12， 所以a n ＋1＝3a n －12对n ∈N *恒成立， 由上式变形可得a n ＋1－14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14.而a 1－14＝34≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －14是首项为34，公比为3的等比数列，所以a n －14＝34×3n －1＝3n4，所以b n ＝a n ＋1－a n ＝a n ＋1－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －14＝3n ＋14－3n 4＝3n 2，所以b n ＋1＝3n ＋12，b n ＋1b n＝3.又b 1＝32，所以数列{b n }是首项为32，公比为3的等比数列．专题作业一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2020·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，则a 6的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则a 6＝25＝32.故选D. 2．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A. 3．等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3da 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋d a 1＋1＝d ，得2dd ＝2＝d ，故选A.4．(2020·河北省张家口市二模)已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝()A．19 B．45C．55 D．100答案 C解析∵正项等比数列{a n}的公比为q，a1＝q≠1，∴a n＝q.q n－1＝q n，∵a m＝a1a2a3...a10，∴q m＝q.q2.q3.....q10＝q1＋2＋3＋ (10)q55.∴m＝55.故选C.5．(2020·河北省保定市一模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱？”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为()A.76钱B．56钱C．13钱D．23钱答案 D解析依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，又有a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，得a＝－6d，∵a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，则d＝－16，∴a＋2d＝23.故选D.6．(2020·广州模拟)正项等比数列{a n}满足a2a4＝1，S3＝13，则其公比是()A．1 B．1 2C．13D．14答案 C解析设{a n}的公比为q，因为a2a4＝1，且a2a4＝a23，所以a23＝1，易知q>0，所以a3＝1.由S3＝1＋1q ＋1q2＝13，得13q2＝1＋q＋q2，即12q2－q－1＝0，解得q＝13.故选C.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－12S 3 C ．S 6＝12S 3 D ．S 6＝2S 3答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，则S 6＝(1＋q 3)S 3，S 9＝(1＋q 3＋q 6)S 3，因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，易知S 3≠0，解得q 3＝－12，故S 6＝12S 3.8．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项和为( )A ．0B ．252 C ．21 D ．42 答案 C解析 函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21.故选C.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知无穷数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，则( )A ．{a n }可能为等差数列B ．{a n }可能为等比数列C ．{a n }中一定存在连续的三项构成等差数列D ．{a n }中一定存在连续的三项构成等比数列 答案 ABC解析解法一：因为S n＝an2＋bn＋c，所以S n－1＝a(n－1)2＋b(n－1)＋c(n≥2)，所以a n＝S n－S n－1＝2na－a＋b(n≥2)，若数列{a n}为等差数列，则a1＝a＋b＋c＝a＋b，c＝0，验证知，当c＝0时，{a n}为等差数列，所以A正确；在a n＝2na－a ＋b(n≥2)中，当a＝0，b≠0时，a n＝b(n≥2)，若数列{a n}为等比数列，则a1＝b ＋c＝b，c＝0，验证知，当a＝c＝0，b≠0时，{a n}为等比数列，所以B正确；由a n＝2na－a＋b(n≥2)可知，{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C 正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka －a＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.解法二：当c＝0，a≠0时，数列{a n}为等差数列，所以A正确；当a＝c＝0，b≠0时，数列{a n}为常数列，也是等比数列，所以B正确；当n≥2时，a n＝S n －S n－1＝2na－a＋b，则{a n}中一定存在连续的三项构成等差数列，所以C正确；假设a k，a k＋1，a k＋2(k≥2，且k∈N*)成等比数列，则[2(k＋1)a－a＋b]2＝(2ka－a ＋b)·[2(k＋2)a－a＋b]，整理得(k＋1)2＝k(k＋2)，即1＝0(不成立)，所以{a n}中不存在连续的三项构成等比数列，所以D错误．故选ABC.10．(2020·海南省海口市模拟)已知正项等比数列{a n}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为S n，则()A．q＝2 B．a n＝2nC．S10＝2047 D．a n＋a n＋1＜a n＋2答案ABD解析根据题意，对于A，正项等比数列{a n}满足2q3＝4q＋2q2，变形可得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又{a n}为正项等比数列，则q＝2，故A正确；对于B，a n＝2×2n－1＝2n，B正确；对于C，S n＝2×(1－2n)1－2＝2n＋1－2，所以S10＝2046，C错误；对于D，a n＋a n＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3a n，而a n＋2＝2n＋2＝4×2n ＝4a n＞3a n，D正确．故选ABD.11．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a1>0，S10＝S20，则()A．公差d<0 B．a16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当S n <0时n ≥32答案 ABC解析 因为等差数列中，S 10＝S 20，所以a 11＋a 12＋…＋a 19＋a 20＝5(a 15＋a 16)＝0，又a 1>0，所以a 15>0，a 16<0，所以d <0，S n ≤S 15，故A ，B ，C 正确；因为S 31＝31(a 1＋a 31)2＝31a 16<0，故D 错误．故选ABC.12．设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200答案 ABD解析 因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20，则a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 正确；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 正确；1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 错误；a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 正确．故选ABD. 三、填空题13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3n －1解析 由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n ＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.14．(2020·山东省聊城市三模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 6＝________.答案 16解析 由题意，得a 2＝a 1＋1＝2，a 3＝a 2＋2＝4，a 4＝a 3＋3＝7，a 5＝a 4＋4＝11，a 6＝a 5＋5＝16.15．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)·22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2.16．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝________.答案 ⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋2－32，n ≥2解析 由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3n －2，所以13n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1不成立，所以a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2－32. 四、解答题17．(2020·江西省南昌市三模)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n a n ＋1＝2pn ＋1(p 为常数) .(1)若－a 1，12a 2，a 4成等差数列，求p 的值；(2)是否存在p ，使得{a n }为等比数列？若存在，求{a n }的前n 项和S n ；若不存在，请说明理由．解 (1)令n ＝1，a 1a 2＝2p ＋1⇒a 2＝2p ，且a n ＋1a n ＋2＝2pn ＋p ＋1，与已知条件相除得a n ＋2a n＝2p ，故a 4＝2p a 2＝(2p )2， 而－a 1，12a 2，a 4成等差数列，则a 4－2＝a 2，即(2p )2－2＝2p ，解得2p ＝2，即p ＝1.(2)若{a n }是等比数列，则由a 1>0，a 2>0，知此数列首项和公比均为正数．设其公比为q ，则q ＝2p 2，故2p 2＝a 2a 1＝2p 2⇒p ＝2， 此时a 1＝2，q ＝2⇒a n ＝2n ，故a n a n ＋1＝22n ＋1， 而2pn ＋1＝22n ＋1，因此p ＝2时，{a n }为等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 18．(2020·山东省威海二模)从条件①2S n ＝(n ＋1)a n ，② S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)，③a n >0，a 2n ＋a n ＝2S n 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求k 的值．解 若选择①，∵2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，n ∈N *.两项相减得2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n .即a n ＋1n ＋1＝a n n ，n ∈N *， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列.a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . ⎝ ⎛⎭⎪⎫或由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，利用相乘相消法，求得a n ＝n a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1 ＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2， k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)． ∴k ＝6.若选择②， 由S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)变形得S n ＋S n －1＝S n －S n －1， S n ＋S n －1＝( S n ＋S n －1)( S n －S n －1)， 易知S n >0，∴ S n －S n －1＝1，{S n }为等差数列， 而S 1＝a 1＝1，∴ S n ＝n ，S n ＝n 2， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，且n ＝1时也满足， ∴a n ＝2n －1.∵a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)2＝(2k －1)2，∴k ＝3或k ＝－13，又k ∈N *，∴k ＝3.若选择③，∵a 2n ＋a n ＝2S n (n ∈N *)，∴a 2n －1＋a n －1＝2S n －1(n ≥2)．两式相减得a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n (n ≥2)，整理得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)． ∵a n >0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)，∴{a n }是等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S k ＋2＝(k ＋2)×1＋(k ＋2)(k ＋1)2×1＝(k ＋2)(k ＋3)2. 又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，∴(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2，解得k ＝6或k ＝－1，又k ∈N *，∴k ＝6.19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n )λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可知当n ＝1时， a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可得a n ＋1－12S n ＋1－1＝0，两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0， 即12a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n .所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 故a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2(2n －1)，所以S n＋(n＋2n)λ＝2(2n－1)＋(n＋2n)λ.若数列{S n＋(n＋2n)λ}为等差数列，则S1＋(1＋2)λ，S2＋(2＋22)λ，S3＋(3＋23)λ成等差数列，即有2[S2＋(2＋22)λ]＝[S1＋(1＋2)λ]＋[S3＋(3＋23)λ]，即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.经检验λ＝－2时，{S n＋(n＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2.。

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。

前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。

判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。

前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。

证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。

以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。

同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？且听笔者一一道来.一、利用等差（等比）数列的定义等差（等比）数更最主要的方法•如:记 bn""1"1,2,….1 1 所以｛b n ｝是首项为a ，公比为一的等比数列. 42评析：此题并不知道数列｛b n ｝的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明, 这是常规做法。

1猜想：｛b n ｝是公比为一的等比数列.21 1 证明如下：因为b n^a 2n^V-a 2n 2n 42bn,(nN )在数列{a n }中，若a na n-1（d 为常数）或a na n-1q （ q 为常数），则数列｛a n｝为等差（等比） 数列.这是证明数列｛耳｝为例1 • （2005北京卷）设数列｛a n ｝的首项a1 =:a =丄，且a41-an 2 1|a 」 an 4n 为偶数n 为奇数 所以b 1 （n ）判断数列｛b n ｝是否为等比数列，并证明你的结论.)a ? = a 1 ■—4 =a ；，a 3a ?=-2 : * 1 13 1 a4 = a 3 = a，所以 a5 = 4 2 82 1 1 b 2 = 1 1 =a 1a - 4 *3 一 a 1 4 3 4 2 . J a 」， 4 .4(i)求 a ?, 83 ；解：（i 1a 1 ；2 81 3a 4 一 4a16， 1 4」例2 •（ 2005山东卷）已知数列｛a n｝的首项a i =5 ,前n项和为S n ,且Sn 1 =2S n n •5（T N）（i）证明数列｛a n 1｝是等比数列；（n）略.解：由已知S n .1 =2S n • n • 5(n • N*)可得n _ 2时，& -n • 4两式相减得：S n 1 -S n = 2(S n -S ni) 1，即a n 1 = 2a n • 1，从而a n 1 T = 2(a n 1), 当n =1 时，s2=20 1 5，所以a2 a^2a1 6,又q =5，所以a2=11，从而a2 1 ^2(a1 1).a +1故总有a n「仁2(a n 1), n • N ”，又=5, a1 ^0，从而亠2 .a n +1所以数列｛a n 1｝是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含S n的式子再类似写出含S n」的式子，得到a n pa n q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项a n的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子a n—a n」=d和a n 4 -a n = d有差别，前者必a须加上“ n > 2 ”否则n=1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有亠才|| = q (常a n」数式0 )；②n w N州时，有(常数=0).二•运用等差或等比中项性质a n■ a n2 - 2a n1 ：= ｛a n｝是等差数列，a n a n2 - a n1(a n0) ：= ｛a n｝是等比数列，这是证明数列｛坯｝为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列｛a n｝的前项为S n，已知a1 =1, a2 = 6, a3 = 11，且(5n -8)S n 1 -(5n 2)S n=An B, n =1,2,3,|,其中A, B 为常数.(1 )求A与B的值；(2)证明数列｛a n｝为等差数列；(3)略.解：(1 )由印=1, a2 =6, a3 =11，得S =1, S2 = 7, S3 = 18 .― A B 二-28, 把n =1,2 分别代入(5n-8)S1-(5n 2)S=An B，得2A• B =-48L解得，A = -20 , B = -8 .(n )由(I )知，5n(S n 1—S n) -8S n 1 —2£ = -20n -8，即又 5(n l)a n 2 -8S 2 -2S n i = -20(n 1) —8 . ②②-①得，5(n 1)a n 2 -5na n彳-8a n 2 -2a n* - -20 ,即(5n -3间2 -(5n 2)a. 1 = -20 . ③又(5n 2)a n 3 -(5n 7)% 2 - -20 . ④④-③得，(5n 2)(a n 3 — 2a. .2 a. .J =0 ,二兔3 — 2a. .2 a. 1 =0 ,…a n 3・一a n 2 = 2・一1 | = a3 —玄2 =5，又玄2 —玄1 =5 ,因此，数列是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘S n的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.(高考题改编)正数数列｛a n｝和｛b n｝满足：对任意自然数n, a n, b n, a n..成等差数列，b n, a n i, b n.成等比数列.证明：数列｛Jb n｝为等差数列.证明：依题意，a n 0, b n 0,2b n =a n •a n 1，且a n d ='••、b n b n 1 ,a n =b n」b n(n > 2).2b n 二.b n」b n b n b n 1 .由此可得2 m=.昭「b n?.即._昭-m - bn -兀(门> 2).数列｛.,0｝为等差数列.5na n i . —8S n i. -2S h = _20n -8 , ①评析：本题依据条件得到an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于 f. bj的等差数列，使问题得以解决.三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n = k时命题成立”到“ n = k • 1时命题成立”要会过渡.例5 . (2004全国高考题)数列的前n项和记为& ,已知a^1 ,n 亠2 i S Ia* 1 = S n(n =1,2」1().证明：数列-n是等比数列.n L n J证明：由a1 -1, a n 1 =Sn (n - 1,2j H)，知a? ― S = 3a1, —1 = 2 ,1 2 2勺=1，猜测 S n 是首项为1,公比为2的等比数列.1 nS下面用数学归纳法证明：令 b^S n .n（1）当 n =2时，b 2 =2b\，成立.⑵当 n = 3时，S 3 = a 1 a 2 a 3 =13 2(1 3) = 12,0 = 4 = 2b 2，成立. 假设n =k 时命题成立，即b k =2b k 」.c k 2S S + ----------------------- 2那么当 n =k 1 时，b k j =汪1 二 S k ' a k 1 Jk+1 k+1k+1综上知 §n 是首项为1，公比为2的等比数列.I n J例6. （2005浙江卷）设点 代（人,0, P n （X n ,2n 」）和抛物线2 * 1G ： y =x - a n X b n （n ・N ）,其中a . = -2 -4n - ^nJ , X n 由以下方法得到：花=1,点P （x 2,2）在抛物线G 注仝 a 1x b 上，点A （x 1,0）到p 的距离是 A 到G 上点的最短距离，…，点P n 1（X n 1,2"）在抛物线C n ： y = X 2 * a n X * b n 上，点A （绻0）到P n 1的距离是A到C n 上点的最短距离.(1 )求X 2及C 1的方程.(2)证明 {X n } 是等差数列. 解：(I)由题意得：A(1,0), G : y =x 2-7x • d .设点 P(x, y)是 C 1 上任意一点，贝U |AP|「(x-1)2 y 2「(x-1)2 (x 2-7x bj 2 令 f (x) =(x -1) (x -7x bi),则f (x) =2(x -1)2(x -7x bi)(2x _7).由题意：f ，(x 2) =0,即 2( x 2 -1) 2(X 22 -7X 2 bj(2x 2 _7) =0.又 F 2(x 2,2)在 C 1 上，2=x 22-7x 2 d,解得：x 2 =3,3 =14.，故 C 1 方程为 y =x 2 -7x • 14.2& = 2b k ,命题成立.(II)设点P(x, y)是C n上任意一点，则I A n PF ・.(X-X n)2• (X2• a n X • b n)2令g(x) =(x -X n)2(X2a n X b n)2,则g'(x) =2(x -X n) 2(X2a n X b n)(2x a n).由题意得 g '(X n 』=O ，即 2(X n 卑—X n )+2(X nf +a n X n 申 +b n )(2X n 出 +a n )=O 又；"2n =Xn] +anXn 卑 +g ,■ (X n 1 -X n ) 2n (2X nia." 0(n 一 1).即(1 2「1)X ni-X n 2匕=0(* )F 面用数学归纳法证明 x n =2n -1①当n 二1时，X-] =1,等式成立.即当n =k T 时，等式成立.由①②知，等式对 n N 成立..｛x n ｝是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基本技能、 掌握数列前n 项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发， 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况， 考虑.如：例7.（2000年全国高考（理））设｛a .｝，b n ｝是公比不相等的两等比数列, 明数列｛C n ｝不是等比数列.证明：设｛a n ｝｛ b n ｝的公比分别为p , q , p = q , c^ a n b n ，为证｛q ｝不是等比数 列只需证 c ；工 G L C 3 .事实上， c 2 =（a i p bq ）2 二a ： p 2 b 2q 2 2aib pq二佝 bOG b ?） = （a 「b ）（4 p 2 dq 2） =aip 2 b ^2q 2 a 1b 1（p 2 q 2）Tp^q, p 2+q 2 >2pq ，又a , b 不为零，二c f ^^Lc 3，故｛cj 不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、 推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证｛c n ｝不是等比数列，只要由特殊项（如c f =6“）就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明， 其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的②假设当n =k 时，等式成立, 即 x k =2k-1,则当n 二k T 时，由（* ）知 k 山1k(1 2 风 - X • 2 % 兰1又 a k = -2 -4k -2 肓X k 1kX k _ 2 a ^- 厂占=2k 1 .经过一系列的推 这时可从反面去五•看通项与前n项和法若数列通项a能表示成a n= a n・b ( a, b为常数)的形式，则数列是等差数列；右通项a n能表示成a n - cq (c, q均为不为0的常数，n・N ) 的形式，则数列^n? 是等比数列.若数列：a n f的前n项和Sn能表示成& = an2• bn(a,b为常数)的形式，则数列：a n f 等差数列；若S n能表示成S n =Aq n-A(A, q 均为不等于0的常数且1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列•这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8 (2001年全国题)若S n是数列牯」的前n项和，S n = n2,则｛a j是( ).A.等比数列，但不是等差数列 B .等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六•熟记一些常规结论，有助于解题若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，则(1)数列｛a n｝｛ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；(2)若｛b n｝是公比为q ■的等比数列，则数列｛a n Lb n｝是公比为qq ■的等比数列；‘1〕 1(3)数列」丄〉是公比为1的等比数列；冃J q(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q k 1；(6) {a n a n 1}{ a n —an 1}{ a2n4}{ a2n}, g a2 a3, a4 a5 a6, a? p等都是等比数列；(7)若m , n , p(m n, p N )成等差数列时，a m, a. , a p成等比数列；(8)S n , S2n _S n , S3^ _ S2n均不为零时，则S , Sn〜, §3^ S2n成等比数列;(9)若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.若数列｛a n｝是公差为d等差数列，则(1) ｛ka n b｝成等差数列，公差为kd (其中k = 0, k, b是实常数)；(2)｛S(n i)k -S kn｝, ( k • N , k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3) 若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d i, d2，则｛a n二b n｝是等差数列，公差为d^d2;(4)当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；(5)m, n, p(m, n, p N )成等差数列时，a m，a n，a p成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列｛a n｝的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n 项和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260解：由上面的性质得：S n, S zn-S, S3n-S2n成等比数列，故2(S2n - S n) =S n (S3n - S2n),.2(100-30) =3O(S3n -100),S3n =210 .故选c.评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试. 记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率.。

证明等差数列（7篇）第1篇：等差数列证明[推荐]设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=n(a1+an)/2,求证：｛an｝是等差数列解：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n －1）d（n∈N*）①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有Skk(a1ak)(k1)(a1ak1),Sk1，22(k1)(a1ak1)k(a1ak)+ak+1又Sk+1=Sk+ak+1，所以将ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k （k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1时等式成立.由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.证法二：当n≥2时，由题设，Sn1(n1)(a1an1)n(a1an),Sn所以an Sn Sn1n(a1a2)(n1)(a1an1)22(n1)(a1an1)n(a1an)同理有an1从而an1an(n1)(a1an1)(n1)(a1an1)n(a1an)整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n－1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.第2篇：等差数列的证明等差数列的证明1三个数abc成等差数列，则c-b=b-ac^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列等差：an-(an-1)=常数(n≥2)等比：an/(an-1=常数(n≥2)等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4下面用数学规纳法来证明：1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2于是S(k+1)=a(k+1)+Sk而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4即知n=k+1时，推测仍成立。