(完整版)数列题型及解题方法归纳总结

数列题型及解题方法题型1：等差数列解题方法：首先确定数列的首项和公差，然后使用递推公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。

题型2：等比数列解题方法：首先确定数列的首项和公比，然后使用递推公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。

根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。

题型3：斐波那契数列解题方法：斐波那契数列是指后一项等于前两项之和的数列，即an = an-1 + an-2。

根据题目给出的条件，可以使用递归或循环的方式计算斐波那契数列的第n项。

题型4：数列求和解题方法：对于等差数列和等比数列，可以使用求和公式直接计算数列的和。

等差数列的和用Sn = (n/2)(a1 + an)表示，等比数列的和用Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)表示。

根据题目给出的条件，代入公式计算即可得到所求的和。

题型5：数列拓展解题方法：有时候题目需要在基本的数列模型上进行拓展，可以根据数列的特点和题目的要求进行分析和解答。

可以使用递推公式或者递推关系式进行推导，并根据题目给出的条件计算所求的项或和。

题型6：递推关系式解题方法：有时候数列无法使用基本的递推公式进行求解，需要根据数列的特点建立递推关系式。

递推关系式是指数列的每一项与前面的若干项之间存在某种关系，通过这个关系可以递推求解数列的项或和。

根据题目给出的条件，建立递推关系式，并根据初始条件求解所求的项或和。

数列等差数列与等比数列1.根本量的思想：常设首项、〔公差〕比为根本量，借助于消元思想与解方程组思想等。

转化为“根本量〞是解决问题的根本方法。

2.等差数列与等比数列的联系1〕假设数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。

〔a>0且a≠1〕；2〕假设数列{}na是等比数列，且na>，那么数列{}loga na是等差数列，公差为loga q，其中a是常数且0,1a a>≠，q是{}n a的公比。

3〕假设{}na既是等差数列又是等比数列,那么{}na是非零常数数列。

3.等差与等比数列的比拟【题型1】等差数列与等比数列的联系例1 〔2010文16〕{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项;〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n项和Sn.解：〔Ⅰ〕由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0〔舍去〕，故{an}的通项an＝1+〔n－1〕×1＝n. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n--=2n+1-2.小结与拓展：数列{}na是等差数列，那么数列}{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}na的公差。

〔a>0且a≠1〕.【题型2】与“前n项和Sn与通项an〞、常用求通项公式的结合例2数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应一样，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一〔迭代法〕bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二〔累加法〕即bn －bn －1＝2n －8， bn －1－bn －2＝2n －10， …b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，相加得bn ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n2－7n ＋14(n ∈N*)．小结与拓展：1〕在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项an 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n .是重要考点；2〕韦达定理应引起重视；3〕迭代法、累加法与累乘法是求数列通项公式的常用方法。

完整版数列题型及解题方法归纳总结2篇数列是数学中的重要概念之一，它是一组按照一定规律排列的数的集合。

数列题型在中小学数学教学中经常出现，涉及对数列的性质、求特定项的值、判断数列的增减性等问题。

接下来，我们将对数列题型及解题方法进行归纳总结。

数列题型可分为以下几类：一、公式法公式法是指利用数列的通项公式来进行求解。

通项公式是指数列中第n 项与n的关系式，可以通过观察数列规律或根据已知条件推导得到。

在使用公式法解题时，首先要观察数列的前几项，并找出数列的规律。

根据规律，可以列出数列的通项公式。

然后，根据题目给出的条件，求出所需要求解的特定项的值。

例如，对于一个等差数列求特定项的值，可以利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。

二、递推法递推法是指通过数列中前一项或前几项的值来求解后一项的值。

递推法常用于求数列的递推关系和递推公式。

在使用递推法解题时，首先要观察数列的前几项，并找出数列的递推关系。

根据递推关系，可以列出数列的递推公式。

然后，通过初始项的值和递推关系，依次求出所需要求解的特定项的值。

例如，对于一个斐波那契数列求特定项的值，可以利用递推关系和递推公式：an = an-1 + an-2其中，an表示第n项的值，an-1表示第n-1项的值，an-2表示第n-2项的值。

根据递推公式和初始项的值，可以逐步求出所需的特定项的值。

三、和与差法和与差法是指通过对数列的前n项进行求和或求差的方式来求解特定项的值。

在使用和与差法解题时，首先要根据数列的规律，找出数列的前n项和或前n项差的公式。

然后，根据题目给出的条件，求出所需的特定项的值。

例如，对于一个等差数列求特定项的值，可以利用等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项的值，an表示第n项的值，n表示项数。

根据前n项和公式和题目给出的条件，可以求出所需的特定项的值。

数列题型及解题方法数列是数学中常见的概念，也是高中数学中重要的内容之一。

在数学学习中，数列题型及解题方法是学生们需要掌握的重要知识点。

本文将从数列的基本概念入手，介绍常见的数列题型及解题方法，希望能帮助学生们更好地理解和掌握数列的相关知识。

一、数列的基本概念。

数列是按照一定顺序排列的一串数，这些数之间存在着一定的规律。

数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列等多种类型。

在解题时，首先需要明确数列的类型，然后根据数列的特点和规律进行分析和计算。

二、等差数列题型及解题方法。

1. 求等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式一般为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。

通过已知的首项和公差，可以利用通项公式求出数列的任意一项。

2. 求等差数列的前n项和。

等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过这个公式可以求出等差数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。

3. 应用等差数列解决实际问题。

在解决实际问题时，可以将问题转化为等差数列的形式，然后利用等差数列的性质进行求解。

例如，求等差数列中满足某个条件的项数，或者求解等差数列中某些项的和等问题。

三、等比数列题型及解题方法。

1. 求等比数列的通项公式。

等比数列的通项公式一般为an=a1q^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1为首项，q为公比，n为项数。

通过已知的首项和公比，可以利用通项公式求出数列的任意一项。

2. 求等比数列的前n项和。

等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，通过这个公式可以求出等比数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，q为公比。

3. 应用等比数列解决实际问题。

同样地，可以将实际问题转化为等比数列的形式，然后利用等比数列的性质进行求解。

例如，求等比数列中满足某个条件的项数，或者求解等比数列中某些项的和等问题。

四、其他特殊数列题型及解题方法。

数列一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 题型五、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。

数列题解析常见的数学题型及解题技巧数列题解析：常见的数学题型及解题技巧数学中，数列是一种按照一定规律排列的数字序列。

数列题是中学数学常见的题型之一，考察学生对数列的理解和解题能力。

本文将介绍数列题的常见题型，并提供解题技巧。

一、等差数列1. 等差数列概念等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。

2. 等差数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)来计算。

(2) 求项数：已知等差数列的首项和公差，求第n项可以利用通项公式an = a + (n-1)d。

(3) 求公差：已知等差数列的首项和任意两项，可以利用公式d = an - a(n-1)来计算。

二、等比数列1. 等比数列概念等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。

通常用字母a表示首项，q表示公比。

等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。

2. 等比数列题型及解题技巧(1) 求前n项和：可以利用等比数列的求和公式Sn = (a(1-q^n))/(1-q)来计算。

(2) 求项数：已知等比数列的首项和公比，可以利用通项公式an = a * q^(n-1)进行转化求解。

(3) 求公比：已知等比数列的首项和任意两项，可以通过求项数的方式来计算公比。

三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前一项递推而来的数列。

递推数列题型比较灵活，常见的有斐波那契数列、阶乘数列等。

解决递推数列题目的关键是找到递推关系式，将问题转化为数列的求解问题。

四、复合数列复合数列是指数列中同时具有等差和等比特征的数列。

可以通过将复合数列拆分成等差数列和等比数列两部分来解决问题。

解决复合数列题目的关键是根据题目给出的条件，分别求解等差数列和等比数列的部分，然后将结果综合起来。

五、其他常见数列题型除了上述三种常见的数列题型外，还有一些其他常见的数列题型，如费马数列、幂次数列等。

数列精华题型归纳一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2 ()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ⇔=+ 0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 110000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27） 二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q qq n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()练习、{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534（注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· 4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133==5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()()练习、{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c d c n n =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111练习、{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+ ∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

数列题型及解题方法归纳总结一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之差都相等的数列。

下面对等差数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，则有公式：an = a + (n-1)d2. 求前n项和设等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)3. 求公差已知等差数列的首项为a，第m项与第n项的和为s，则公差d的值可以通过以下公式计算得出：d = (sm - sn)/(m - n)4. 求项数已知等差数列的首项为a，公差为d，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = (an - a)/d + 15. 应用题解题思路在解等差数列应用题时，关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之比都相等的数列。

下面对等比数列的题型及解题方法进行归纳总结。

1. 求第n项的值设等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，则有公式：an = a * q^(n-1)2. 求前n项和（当公比q不等于1时）设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn，则有公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)3. 求前n项和（当公比q等于1时）当公比q等于1时，等比数列的前n项和为n * a。

4. 求公比已知等比数列的首项为a，第m项与第n项的比为r，则公比q的值可以通过以下公式计算得出：q = (an / am)^(1/(n-m))5. 求项数已知等比数列的首项为a，公比为q，第n项的值为an，可以通过以下公式求解项数n：n = log(an/a) / log(q)6. 应用题解题思路在解等比数列应用题时，关键是要找到规律。

可以通过观察数列的特点，列出方程，再解方程求解。

三、斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第一、第二项为1，后续项为前两项之和的数列。