断点回归的非参数估计

标题解读非参数回归方法的基本原理与应用非参数回归方法是一种用于建立回归模型的统计方法，与传统的参数回归方法不同，非参数回归方法不对模型参数做出任何假设，从而更加灵活地适应各种数据分布和模型形态的情况。

本文将解读非参数回归方法的基本原理与应用。

一、基本原理非参数回归方法的基本原理是通过对样本数据的直接建模，而不对任何参数进行假设。

这使得非参数回归方法适用于各种数据形态和概率分布情况。

基于此原理，非参数回归方法通过以下几个步骤实现对数据的建模：1. 核密度估计：非参数回归方法通常采用核密度估计来估计数据的密度函数。

核密度估计通过将每个数据点视为一个核函数，并将这些核函数进行叠加，得到整个数据的密度函数。

常用的核函数有高斯核函数和Epanechnikov核函数等。

2. 局部加权回归：非参数回归方法通过局部加权回归来对密度函数进行平滑处理。

局部加权回归将每个数据点周围的数据点加权平均，并以此来估计每个点的函数值。

这样可以缓解由于数据噪声引起的波动性，并得到更平滑的回归曲线。

3. 自适应参数调整：非参数回归方法中，核密度估计和局部加权回归的参数通常是自适应的，即根据数据的特性自动调整。

这使得非参数回归方法能够更好地适应数据的变化和不确定性，并提供更准确的回归结果。

二、应用实例非参数回归方法在诸多领域都有广泛的应用，下面以几个实际应用举例说明：1. 金融领域：非参数回归方法可以用于金融数据的建模和预测。

例如，非参数回归方法可以帮助分析师对股票价格进行预测，根据历史数据构建回归模型，并通过模型预测未来的价格走势。

2. 医学领域：非参数回归方法可以用于分析医学数据和研究疾病的发展趋势。

例如，非参数回归方法可以用于研究一种药物对患者生存时间的影响，通过建立回归模型来估计药物的效果。

3. 经济学领域：非参数回归方法可以用于经济数据的分析和预测。

例如，非参数回归方法可以用于分析GDP与劳动力之间的关系，通过建立回归模型来预测GDP的增长。

一引言2010年4月24日，该年度的约翰·贝茨·克拉克奖章（John Bates Clark Medal）——针对40岁以下年轻经济学者的最高荣誉，授予了麻省理工学院经济系的Esther Duflo教授以表彰其在随机实验普及和其在发展经济学中应用方面的卓越贡献。

在因果关系分析的实证方法中，最优的选择应当为随机实验，但是随机实验的时间成本和经济成本都比较高，而在随机实验不可得的情况下，需要考虑使用其它方法。

断点回归（Regression Discontinuity）便是仅次于随机实验的，能够有效利用现实约束条件分析变量之间因果关系的实证方法。

Lee（2008）认为在随机实验不可得的情况下，断点回归能够避免参数估计的内生性问题，从而真实反映出变量之间的因果关系。

然而，断点回归也仅仅是在20世纪90年代末才被应用于处理经济学的问题。

2001年，Hahn等人对断点回归模型的识别和估计的理论问题进行了严格细致的分析，此后，断点回归才在众多的经济学研究领域中崭露头角。

时至今日，断点回归已经在劳动和教育经济学、政治经济学、环境经济学和发展经济学等领域取得了广泛的应用。

然而，断点回归却鲜为中国经济学者所应用，正是基于断点回归在实证研究中的重要性和国内文献的缺乏，本文拟以此为背景，从断点回归的理论、发展历史、实证步骤和经济学中的应用几个方面阐述断点回归这一个新“拟随机试验”方法的兴起。

二断点回归理论及发展历史断点回归是一种拟随机实验，此种随机实验定义了这样一个特征，即接受处置（Treatment）的概率是一个或者几个变量的间断函数。

Hahn et al.（2001）提出了断点回归的首要假设，如果变量表示处置效应，表示决定处置的关键变量，那么和必须存在，并且。

在使用断点回归的情况下，存在一个变量，如果该变量大于一个临界值时，个体接受处置，而在该变量小于临界值时，个体不接受处置。

一般而言，个体在接受处置的情况下，无法观测到其没有接受处置的情况，而在断点回归中，小于临界值的个体可以作为一个很好的可控组（Control Group）来反映个体没有接受处置时的情况，尤其是在变量连续的情况下，临界值附近样本的差别可以很好的反映处置和经济变量之间的因果联系。

近在做一个需要利用断点回归设计的研究。

为了保证实践的规范性，并且避免未来审稿中可能面对的质疑，花了几天时间梳理了一下断点回归设计的标准操作，整理出来，供来人参考。

本文参考了三篇文献，先摆在这里，建议大家去读原文：第一篇：Lee, and Lemieux, 2010，" Regression Discontinuity Designs in Economics "，Journal ofEconomic Literature, Vol. 48: 281–355.第二篇：Pinotti, Paolo. "Clicking on heaven's door: The effect of immigrant legalization oncrime." American Economic Review107.1 (2017): 138-68.第三篇：Thoemmes, Felix, Wang Liao, and Ze Jin. "The Analysis of the Regression-DiscontinuityDesign in R." Journal of Educational and Behavioral Statistics 42.3 (2017): 341-360.1.断点回归常规操作流程第1步检查配置变量（assignment variable，又叫running variable、forcing variable）是否被操纵。

这里的配置变量，其实就是RD中决定是否进入实验的分数（Score），是否被操纵的意思就是，是否存在某种跳跃性的变化。

在实际操作中有两种方式来检验，一是画出配置变量的分布图。

最直接的方法，是使用一定数量的箱体（bin），画出配置变量的历史直方图（histogrm）。

为了观察出分布的总体形状，箱体的宽度要尽量小。

非参数回归分析非参数回归分析是一种无需对数据分布做出假设的统计方法，它通过学习数据的内在结构来建立模型。

与传统的参数回归分析相比，非参数回归分析更加灵活，适用于各种复杂的数据分布。

本文将介绍非参数回归分析的基本原理和应用场景，并通过实例来说明其实际应用。

一、非参数回归分析的原理非参数回归分析是通过将目标变量与自变量之间的关系建模为一个未知的、非线性的函数形式，并通过样本数据来估计这个函数。

与参数回归分析不同的是，非参数回归模型不需要表示目标变量与自变量之间的具体函数形式，而是通过样本数据来学习函数的结构和特征。

在非参数回归分析中，最常用的方法是核密度估计和局部加权回归。

核密度估计使用核函数对数据进行平滑处理，从而得到目标变量在不同自变量取值处的概率密度估计。

局部加权回归则是通过在拟合过程中给予靠近目标变量较近的样本点更大的权重，从而对目标变量与自变量之间的关系进行拟合。

二、非参数回归分析的应用场景1. 数据分布未知或复杂的情况下，非参数回归分析可以灵活地适应不同的数据分布，从而得到较为准确的模型。

2. 非线性关系的建模，非参数回归分析可以对目标变量与自变量之间的非线性关系进行拟合，从而获得更准确的预测结果。

3. 数据量较小或样本信息有限的情况下，非参数回归分析不需要对数据分布做出假设，并且可以通过样本数据来学习模型的结构，因此对数据量较小的情况下也具有一定的优势。

三、非参数回归分析的实际应用为了更好地理解非参数回归分析的实际应用，以下通过一个实例来说明。

假设我们有一组汽车销售数据，包括了汽车的价格和其对应的里程数。

我们希望通过这些数据预测汽车的价格与里程数之间的关系。

首先，我们可以使用核密度估计方法来估计汽车价格与里程数之间的概率密度关系。

通过对价格和里程数进行核密度估计，我们可以得到一个二维概率密度图，显示了不同价格和里程数组合的概率密度。

接下来，我们可以使用局部加权回归方法来拟合汽车价格与里程数之间的关系。

半参数回归断点回归半参数回归是一种常用的统计方法，用于研究自变量对因变量的影响。

而断点回归则是半参数回归的一种特殊形式，用于揭示自变量对因变量的影响在某一阈值点处发生了显著变化的情况。

本文将介绍半参数回归和断点回归的基本原理、应用场景以及相关的统计分析方法。

一、半参数回归的基本原理半参数回归是一种非参数统计方法，不对自变量和因变量之间的函数关系做出任何假设。

它通过拟合局部的回归线来估计自变量对因变量的影响。

半参数回归可以应用于自变量和因变量之间的线性和非线性关系，具有较强的灵活性和适应性。

二、断点回归的基本原理断点回归是半参数回归的一种特殊形式，用于研究自变量对因变量的影响在某一阈值点处发生显著变化的情况。

断点回归将自变量分为两个区间，分别估计这两个区间内的回归系数，并通过比较两个区间的回归系数来判断是否存在断点。

如果存在断点，则说明自变量对因变量的影响在断点处发生了显著变化。

三、半参数回归和断点回归的应用场景半参数回归和断点回归可以应用于各种研究领域和实际问题。

例如，在经济学中，可以使用半参数回归和断点回归来研究收入对消费的影响是否存在阈值效应；在医学研究中，可以使用半参数回归和断点回归来研究药物剂量对疗效的影响是否存在阈值效应。

四、半参数回归和断点回归的统计分析方法在进行半参数回归和断点回归分析时，需要选择合适的估计方法和假设检验方法。

常用的估计方法包括局部加权回归、核密度估计和B样条回归等；常用的假设检验方法包括断点是否存在的检验和断点位置的检验等。

这些方法可以通过统计软件来实现，如R语言中的segmented包和np包。

总结：半参数回归和断点回归是一种常用的统计方法，可以用于研究自变量对因变量的影响以及是否存在阈值效应。

它们具有较强的灵活性和适应性，可以应用于各种研究领域和实际问题。

在进行半参数回归和断点回归分析时，需要选择合适的估计方法和假设检验方法。

通过合理地运用半参数回归和断点回归，我们可以更好地理解数据背后的规律和关系，为实际问题的解决提供科学的依据。

经济管理［基金项目］国家社会科学基金项目“我国医院行业市场机制有效性的实证研究”(17BGL170)［作者简介］谢谦(1982－)，男，河北保定人，中国社会科学院经济研究所助理研究员。

主要研究方向:国际经济学。

①分别为American Economic Review (AER )、Econometrica (ECMA )、Journal of Political Economy (JPE )、Quar-terly Journal of Economics (QJE )和Review of Economic Studies (RES )。

②不包括五大上关于RDD 方法的理论研究论文。

我们在Jstor 数据库中用全文任一地方出现“regression discontinuity ”这个关键词检索，然后剔除不是运用RDD 做的经验研究论文，譬如RDD 的理论研究论文、仅论文文献综述或脚注中出现“regression discontinuity ”的论文等。

断点回归设计方法应用的研究综述谢谦1薛仙玲2付明卫1(1．中国社会科学院经济研究所，北京100836;2．中国社会科学院研究生院，北京102488)［摘要］近年来，国内经济学界颇为关注断点回归设计(RDD )方法，运用RDD 的文章日益增多。

首先概述Lee 和Lemieux (2010)提出的运用RDD 的规范，然后基于2011－2017年五大英文顶级经济学期刊发表的RDD 应用研究论文，归纳出运用RDD 的三个新动作:新的最优带宽确定方法、甜甜圈RDD 和参数估计中最高只能使用二次多项式。

以国外的RDD 用法为参照，我们发现，国内熟悉Lee 和Lemieux (2010)提出的规范，也在吸收国外文献中出现的新动作，但运用RDD 时存在如下几个突出问题:不做适用性检验、不重视描述统计图和不交代清楚非参数估计的关键细节。

建议国内运用RDD 时需要增加如下动作:非参数估计应该同时尝试CV 、IK 和CCT 三种带宽确定方法;在配置变量存在堆积现象或被操纵的可能时，使用甜甜圈RDD ;尝试到四次多项式。

断点local linear non-parametric method 断点局部线性非参数方法（Breakpoint Local Linear Non-Parametric Method）是一种非参数统计方法，用于检测和估计数据中的
断点。

它侧重于寻找数据集中可能存在的一条拐点，并在拐点处对数据进
行拟合，以获得更准确的估计值。

该方法利用Kernel技巧引入一个可调
整的窗口大小，并在数据集中移动该窗口来寻找可能的断点位置。

拟合时，使用局部加权回归（LWR）估计器来估计拐点处的参数。

该方法应用广泛，可以用于各种领域的数据分析，例如经济学，环境
科学，地质学和生物学等。

由于其非参数特性，它可以适应不同的数据分
布和结构。

同时，该方法还可以提供置信区间和假设检验，以评估估计值
的可靠性和显著性。

断点局部线性非参数方法是一种强大的工具，可用于研究和理解数据
集中的结构和变化。

它有助于揭示数据中可能存在的关键模式和趋势，从
而有助于更好地理解数据的含义和价值。

非参数回归模型及半参数回归模型非参数回归模型是一种可以适应任意数据分布的回归方法。

在非参数回归中，不对模型的具体形式进行假设，而是利用样本数据去估计未知的函数形式。

这个函数形式可以用其中一种核函数进行近似，通过核函数的变换，使得样本点在空间中有一定的波动，从而将研究对象与有关因素的关系表达出来。

常见的非参数回归模型有局部加权回归（LOESS）和核回归模型。

局部加权回归是一种常见的非参数回归方法。

它通过给样本中的每个点分配不同的权重来拟合回归曲线。

每个点的权重根据其距离目标点的远近来确定，越近的点权重越大，越远的点权重越小。

这种方法在回归分析中可以较好地处理非线性关系和异方差性问题。

核回归模型是另一种常见的非参数回归方法。

它基于核函数的变换，通过将样本点的权重表示为核函数在目标点的取值，来拟合回归曲线。

核函数通常具有对称性和非负性的特点，常用的核函数有高斯核、Epanechikov核和三角核等。

核回归模型在处理非线性关系和异方差性问题时也具有较好的性能。

相比之下，半参数回归模型是在非参数回归的基础上引入一些参数的回归模型。

它假设一些参数具有一定的形式，并利用样本数据进行估计。

半参数模型可以更好地描述数据之间的关系，同时也可以提供关于参数的统计推断。

半参数回归模型有很多不同的形式，其中一个常见的半参数回归模型是广义加性模型（GAM）。

广义加性模型是通过将各个变量的函数关系进行加总，构建整体的回归模型。

这些函数关系可以是线性的也可以是非线性的，可以是参数化的也可以是非参数化的。

广义加性模型在回归分析中可以同时考虑到线性和非线性关系，广泛应用于各个领域。

在实际应用中，选择使用非参数回归模型还是半参数回归模型需要根据具体情况来决定。

非参数回归模型适用于对数据分布没有先验假设，并且希望对数据进行较为灵活的建模的情况。

半参数回归模型适用于对一些参数有一定假设的情况，可以更好地描述数据之间的关系，并提供统计推断的信息。

工具变量法( Instrumental Variable，IV) 、双重差分法( Difference－in－Difference，DID) 和断点回归设计( Ｒegression Discontinuity Design，ＲDD) 成为应用微观计量研究中运用最广泛的方法。

断点回归是拟随机实验方法中揭示因果效应最有效的一种方法，可以视作是一种特殊的倾向值匹配，它不需要对多个混淆变量控制，而是考虑一个个体是否接受某个自变量的影响。

ＲDD 优势：更接近于随机试验的拟随机实验方法，从理论上讲是一种更好的因果识别方法。

拟随机实验方法是以统计控制模拟实验控制，从而检验因果假设。

Lee(2008)认为在随机实验不可得的情况下，断点回归能够避免参数估计的内生性问题，从而真实反映出变量之间的因果关系。

1960 年就已被Thistlethwaite 和Campbell( 1960)提出，Lee 和Lemieux ( 2010)提出了运用ＲDD 做经验研究的规范。

ＲDD 适用条件：符合非混淆假设。

在断点附近有较多观测值，对数据要求很高。

强制变量一定要非常干净，强制变量的临界值不得用于作为实验之外的干预。

断点回归设计的基本逻辑哲学逻辑：Holland（1986）通过总结自然科学、社会科学的大量研究和讨论，提出科学的解决方案和统计的解决方案两种解决因果问题的方案，科学的解决方案主要包括重复实验和随机实验。

断点回归的主要思想，运用随机实验思想，控制研究的样本近似于随机分布在临界值附近，小于临界值的样本作为控制组，大于临界值的样本作为实验组，通过比较它们的差别来研究干预变量和结果变量之间的因果联系。

统计逻辑：通过统计控制，使得非实验的调查数据尽可能地随机分布在临界值附近，同时，满足非混淆假设，就是要求结果变量独立于干预变量。

解决了传统方法中个体异质性和混杂因素的问题。

非混淆假设要求研究对象是随机地分配到实验组和对照组，即二分量D（实验处置变量）本身和最后的实验结果Y1（接受实验的结果——事实）、Y0（未接受实验的结果——反事实）没有关系（工具变量思想），换句话说，Y1、Y0独立于D。

非参数估计方法非参数估计方法是统计学中一类基于数据本身的分析方法，它不依赖于已知的分布，也不需要事先假设数据的分布形式，并且可以适用于各类数据类型。

非参数估计方法在数据分析、机器学习、统计建模等领域应用广泛。

本文将全面介绍非参数估计方法的概念、优点、方法以及应用场景。

一、概念在统计学中，非参数估计方法是指以数据为基础，不考虑样本的分布函数形式，通过建立统计模型来估计总体的未知参数。

与之相反，参数估计方法是指在假设该样本来自特定的分布下，计算总体的未知参数。

一般情况下，非参数估计方法较为通用，适用范围更广。

二、优点与参数估计方法相比，非参数估计方法的优点主要有以下几个方面：1、不需要对总体的假设分布形式做出严格的假设，因而可以针对各种数据类型进行估计。

2、其估计结果的方差不依赖于总体分布，但只依赖于样本自身的属性，能更全面地反映样本真实的性质。

3、可使用的样本数量较少，就可以得到较为准确的估计结果。

4、非参数方法可以被用于估计多种不同的总体参数，因此具有较高的通用性。

三、方法1、核密度估计核密度估计是一种常用的非参数密度估计方法。

该方法假定数据点具有局部性质（即在某个位置附近的样本是相似的），并涉及构建出一种估计函数（核函数），以估算数据的概率密度曲线。

核密度估计方法通常使用高斯核函数，有时也会使用其他类型的核函数。

在这种情况下，核密度估计可以准确地估计连续型随机变量的密度函数。

2、经验分布函数经验分布函数也是一种常用的非参数方法。

该方法使用具体样本点上的概率密度函数对总体概率分布进行估计。

经验分布函数是一个阶梯函数，它在每个数值点上的高度均等于数据集中小于该数值的数据点的个数除以总数。

这种方法可以用于将样本数据的概率分布转化为累积分布，使研究者更直观地得出各种数据分布类型的特征，如平均值、分位数等。

3、最大似然估计最大似然估计是一个广泛使用的参数估计方法，也可以看作是一种非参数方法。

最大似然估计可以使用最大化该总体数据的似然函数确定总体参数的估计值。