2018秋新版高中数学北师大版必修2习题：第一章立体几何初步 1.1.1 Word版含解析

习题课平行关系与垂直关系的综合应用.设是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是().若α⊥β⫋α⫋β,则⊥.若α∥β⫋α⫋β,则∥.若⊥⫋α⫋β,则α⊥β.若⊥α∥∥β,则α⊥β解析:对于选项,分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能;对于选项,分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能;对于选项,两个平面分别经过两垂直直线中的一条,不能保证两个平面垂直;对于选项⊥α∥,则⊥α;又因为∥β,则β内存在与平行的直线,因为⊥α,所以⊥α,因为⊥α⫋β,所以α⊥β.综上所述选项正确.答案.如图所示,三棱锥的底面在平面α内,且⊥,平面⊥平面,点是定点,则动点的轨迹是().一条线段.一条直线.一个圆.一个圆,但要去掉两个点答案.已知直线⊥平面α于点,直线⫋α,且⊥于点,则线段的关系是()>>>>>>>>解析:在△中>;在△中>,所以>>.答案.若为正方体,则下列结论中错误的是()∥平面⊥⊥平面⊥解析:因为为正方体,所以∥且,所以四边形为平行四边形,所以∥,因为⊈面⫋面,所以∥平面,故正确;因为⊥面⫋面,所以⊥,因为四边形为正方形,所以⊥,因为∩,所以⊥面,因为⫋面,所以⊥,故正确.同理可得⊥面,因为⫋面,所以⊥,同理可得⊥,因为∩,所以⊥平面,故正确.排除法应选.答案.直线均不在平面α,β内,给出下列命题:①若∥∥α,则∥α;②若∥β,α∥β,则∥α;③若⊥⊥α,则∥α;④若⊥β,α⊥β,则∥α.其中正确命题的个数是()解析:对①,根据线面平行的判定定理知∥α;对②,若直线与平面α相交,则α必与β相交,而这与α∥β矛盾,故∥α;对③,在平面α内取一点,设过的平面γ与平面α相交于直线.因为⊥α,所以⊥,又⊥,所以∥,所以∥α;对④,设α∩β,在α内作'⊥β,因为⊥β,所以∥',从而∥α.故四个命题都正确.答案.已知两条不同的直线和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若∥α∥β,且α∥β,则∥;②若∥α⊥β,且α⊥β,则∥;③若⊥α∥β,且α∥β,则⊥;④若⊥α⊥β,且α⊥β,则⊥.其中正确的个数为.解析:①中也可能异面或相交,故不正确;②当∥α⊥β,且α⊥β成立时两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③由⊥α,α∥β可得出⊥β,再由∥β可得出⊥,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确.正确个数为.答案.在四面体中,平面⊥平面,∠°,则.。

§7简单几何体的再认识7.1柱、锥、台的侧面展开与面积1.一个矩形的边长分别为1和2,分别以这两边为轴旋转,则所形成的几何体的侧面积之比为()A.1∶2B.1∶1C.1∶4D.4∶1解析:以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1=2π×2×1=4π,以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2=2π×1×2=4π,所以S1∶S2=4π∶4π=1∶1.答案:B2.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则该三棱锥的侧面积是()A.a2B.a2C.a2D.a2解析:∵正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为a,∴侧棱长为a.∴S侧面积=3×a2.答案:B3.已知圆柱O'O的底面半径为3,母线长是底面半径的2倍,则圆柱O'O的表面积为()A.36πB.54πC.72πD.90π解析:因为母线l=2×3=6,所以S侧=2π×3×6=36π,所以S表=36π+2×π×32=54π.答案:B4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A,C,B1,D1为顶点的正三棱锥的表面积为4,则该正方体的棱长为()A. B.2 C.4 D.2解析:设该正方体的棱长为a,则侧面的对角线长为a,∴正三棱锥B1-ACD1的棱长为a,它的表面积为4××(a)2=4,∴a2=2,a=.答案:A5.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h=()A.2B.4C.5D.6解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积为2××4+(2+4+5+)h=92,即16h=64,解得h=4.答案:B6.圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,这两部分侧面积的比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4解析:本题主要考查圆锥的侧面积和圆台的侧面积,关键是利用比例的关系求解.如图所示,PB为圆锥的母线,O1,O2分别为截面与底面的圆心.∵O1为PO2的中点,∴.①∵S圆锥侧=·2π·O1A·PA,S圆台侧=·2π(O1A+O2B)·AB,∴.由①得PA=AB,O2B=2O1A.∴.答案:C7.已知等腰直角三角形ABC的斜边AB长为2,以它的一条直角边AC所在直线为轴旋转一周形成一个几何体,则该几何体的侧面积为.解析:因为在△ABC中,AB=2,BC=AC=,以AC所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥,所以圆锥的底面半径为,高为,母线长为2,又圆锥的底面周长为2π,所以侧面积为×2π×2=2π.答案:2π8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.解析:由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱,长方体的表面积为2×(4×3+3×1+4×1)=38,圆柱的侧面积为2π,上、下两个底面的面积和为2π,所以该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:38★9.已知正三棱锥V-ABC的主视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,则该三棱锥的表面积为.解析:由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2.取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,故VD=,则S△VBC=·VD·BC=×2,S△ABC=×(2)2×=3,所以,三棱锥V-ABC的表面积为3S△VBC+S△ABC=3+3=3+1).答案:3+1)10.已知圆台的上、下底面的半径分别是2,5,且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解设圆台的母线长为l,则S圆台侧面积=π(r1+r2)l=π(2+5)l=7πl.两底面的面积之和为π+π=π×22+π×52=29π.由题意知7πl=29π,所以l=.11.一个直角梯形的两底边长分别为2和5,高为4,将其绕较长的底边旋转一周,求所得旋转体的表面积.如图所示,在梯形ABCD中,AD=2,AB=4,BC=5.作DM⊥BC,垂足为M,则DM=4,MC=5-2=3,在Rt△CMD中,由勾股定理得CD==5.在旋转生成的旋转体中,AB形成一个圆面,AD形成一个圆柱的侧面,CD形成一个圆锥的侧面,设它们的面积分别为S1,S2,S3,则S1=π×42=16π,S2=2π×4×2=16π,S3=π×4×5=20π,故此旋转体的表面积S=S1+S2+S3=52π.★12.斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,侧棱AA1与底面两边AB,AC都成60°角,求这个三棱柱的表面积.解如图所示,过A1作A1H⊥底面ABC于点H,作A1E⊥AB于点E,作A1F⊥AC于点F,连接HE,HF,则HE⊥AB,HF⊥AC,则∠AEA1=∠AFA1=90°,又AA1=AA1,∠A1AE=∠A1AF,∴Rt△A1AE≌Rt△A1AF,∴AE=AF.在Rt△AEH和Rt△AFH中,AE=AF,AH=AH,∴Rt△AEH≌Rt△AFH,即H在∠BAC的角平分线上,也即AH是∠BAC的平分线.由于△ABC是正三角形,故BC⊥AH,而AH又是AA1在底面ABC上的射影,∴AA1⊥BC.∵BB1∥AA1∥CC1,∴四边形BB1C1C是矩形,∴S侧==20(1+),S表=S侧+2S底=20+,即三棱柱的表面积为20+.。

第一章一、选择题1．若l，m，n是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，lα，nβ，则l∥n B．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l⊥n，m⊥n，则l∥mC对于选项C，若l∥β，则在β内必有直线n与l平行，从而n⊥α，于是α⊥β.2．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2 3C．2 D． 3B本题考查了立体几何中的三视图知识及考生的空间想象能力．根据俯视图画出直观图如图所示设侧棱长和底面边长为a，则体积V＝34a2·a＝23，∴a3＝8，a＝2.∴左视图矩形ABCD的面积S＝32·a·a＝2 3.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为43，则正方体的棱长为()A． 2 B．2C．4 D．2 2A设正方体的棱长为a，则侧面的对角线长为2a，∴正三棱锥B1－ACD1的棱长为2a，它的全面积为4×34·(2a)2＝43，∴a2＝2，a＝ 2.4．(广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m α，n β，则m ⊥ nB ．若α∥β，m α，n β，则m ∥nC ．若m ⊥ n ，m α，n β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βD本题考查空间中直线与平面的平行与垂直关系．m ⊥α，m ∥n∴n ⊥α，又n ∥β，由面面垂直的判定定理知：α⊥β.二、填空题5．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中截去一角B 1－A 1BC 1，则它的体积是长方体体积的________． 16 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则V 长方体＝abc ，VB 1－A 1BC 1＝VA 1－BB 1C 1＝13×12bc ×a ＝16abc ，即VB 1－A 1BC 1＝16V 长方体． 6．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径是________．1设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＋π2l 2＝3π，2πr ＝πl ，解得r ＝1，l ＝2. 7．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.4考查三视图和三棱锥的体积公式．该几何体直观图如图所示，其中AB ＝4，PF ＝2，CE ＝3.V P －ABC ＝13·S △ABC ·PF ＝13×12×4×3×2＝4. 三、解答题8．如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设AB ＝PA ＝2.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ；(2)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ，请说明理由；(3)对于(2)中的点F ，求三棱锥B —PEF 的体积．(1)证明：∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE .又∵△ABC 是正三角形，E 为AC 中点，∴BE ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面PAC .∴平面PBE ⊥平面PAC .(2)解：取DC 中点F ，则F 即为所求．∵E 、F 分别是AC 、DC 的中点，∴EF ∥AD .又A D ⃘平面PEF ，EF 平面PEF ，∴AD ∥平面PEF .(3)解：V B －PEF ＝V P －BEF ＝13S △BEF ·PA ＝13×12×34×34×22×2＝34.。

柱、锥、台的体积
.一长方体过同一顶点的三个面的面积分别为和,则该长方体的体积为()
解析:设该长方体过同一个顶点的三条棱长分别为,
由题意有
则体积,故选.
答案
.把半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥,则所得圆锥的体积是()
.π.π.π.π
解析:设圆锥的底面半径为,母线长为,则π·π,∴.∴圆锥的高.
∴圆锥的体积·π·π.
答案
.如图所示为直三棱柱''',它的高为,底面为边长是的正三角形,则三棱锥'的体积为() .
解析:∵'⊥平面,
∴'△·'×.
答案
.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
ππππ
解析:先根据三视图得到几何体的形状,再根据柱体、锥体的体积公式计算即可.该几何体是组合体,下面是底面直径为、高为的圆柱,上面是底面边长为,侧棱长为的正四棱锥,该正四棱锥的高为,所以该几何体的体积为π×()×π.
答案
.若圆柱的侧面展开图是长为,宽为的矩形,则这个圆柱的体积为()
. . . π
解析:分两种情况,①当为底面周长时,有π,即,则π×;
②当为底面周长时,有π,即,
则π×.
答案
.棱长为的正方体,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为()
. . . .
解析:此八面体可分成上、下两个全等的正四棱锥,底边长为,高为,所以×.
答案
.在棱长为的正方体中,分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去个三棱锥后,剩下的几何体的体积是.。

北师大版高中数学必修2第一章立体几何初步单元测试(带答案)
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一个封闭的立方体，它的六个这六个字母一，现放置成如图的三种不同的位置C
B A
A
D C
E
B C
17、【解析】。

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。