2011年普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学真题

绝密★启用前2014年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

三、解答题：本大题共4小题，每小题15分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2013年中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试***数学一、选择题（12*5=60分）1、若多项式32x x c -+有因式1x -，则c 为：（ ） (A)-3 (B)-1 (C) 1 (D) 3 2、设2222z i =--则z =（ ） (A)22(B) 1 (C) 2 (D) 223、斜率为()0k k >的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间 距离是4，则k =（ ） (A)53 (B) 43 (C) 34 (D) 354. 设()223f x x x =--在(),a +∞上是增函数，则a 的取值范围是：（ ） (A) [)1,+∞ (B) (],3-∞ (C) [)1,-+∞ (D) (],3-∞- 5. 已知22tan 1ax a =-，其中常数()0,1a ∈，且()0,x π∈，则cos x =（ ） (A) 221a a -+ (B) 221a a + (C) 2211a a -+ (D) 2211a a -++6. 3个男同学与2个女同学排成一排，其中女同学相邻的不同排法有：（ ）(A) 48 (B)36 (C) 24 (D) 187.已知向量,OA OB 不共线，13BM BA =,则向量OM =（ ） (A) 1433OA OB - (B) 2133OA OB +(C) 1233OA OB - (D) 1233OA OB +8.焦点为()2,0，准线为1x =-的抛物线方程是： ( ) (A) 263y x =-+ (B) 263y x =+ (C) 263y x =-- (D) 263y x =-9. 等比数列前n 项之和(),,,n n S ab c a b c C =+∈,则（ ）(A) 0a b += (B) 0b c += (C) 0a c += (D) 0a b c ++=10.3种颜色的卡片各5张，从中随机取3张，则3张卡片颜色相同的概率：（ ） (A) 691 (B) 1291(C) 8273 (D) 1627311. 设函数()()cos sin f x x =，以下正确的是：（ ） (A) 定义域是[]1,1- (B) 值域是[]1,1- (C) 奇函数 (D) 周期是π12. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角为：（ ）(A) 030 (B) 045 (C) 060 (D) 090 二、填空题：（6*5=30分）（13）设数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-；则n a =（14）不等式()2lg 21x x -->的解集：（15）设长方体1111ABCD A B C D -的体积是1，,,E F G 分别为1,,AB AD AA 的中点，则三棱锥A EFG -的体积是：（16）曲线cos y x x =在点()0,0处的切线方程是：（17）关于x 的方程220x ax ++=与220x x a --=有且仅有一个公共实根，则a = （18）在空间直角坐标系xyz O -中，已知()()(3,0,),0,3,2,1,1,1A a B C --,若平面过坐标原点，则a =三：解答题：（60分）19. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,；已知：cos sin ,cos sin A Ba b B A=<; （1）证明ABC ∆为直角三角形；（2）若CD 为AB 边上的高，且32,2CD AD DB ==，求,,a b c20.数列}{n a 满足:111;23n n a a a +=-=+； （I ） 证明：{3}n a +为等比数列；（II ）设()()2211log 3log 3n n n b a a +=++，求{}n b 的前项之和n S21. 设椭圆C 的中心在坐标原点，一个焦点()26,0F ，C 与x 轴正半轴交点为A ，与y 轴正半轴交点为B ，5BF =； （I ）求C 的方程；（II ）求C 上一点P ,使得ABP ∆的面积是3；22. 设函数()()221x f x e x ax =--（1）对任意的(),0,0x f x ≥≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的极值；2012年中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试***数学二、选择题（12*5=60分）1、集合M 有10个元素，在M 的真子集中，至少含8个元素的集合有：（ ） (A)56个 (B)55个 (C) 46个 (D) 45个 3、已知()()2ln 21x f x x =++在0x =的导数值()'f x =（ ） (A)2ln 2+ (B) 1ln 2+ (C) 2 (D) 3 4、直线24ax y +=的倾斜角是135，则a =（ ） (A)2- (B) 1- (C) 1 (D) 24. ()11lim 2nn k k k →∞==+∑（ ） (A) 0 (B)12 (C) 34(D) 1 5. 设1239,,.....a a a a 成等差数列，若满足：99212110,15,kk k k aa a a ====<∑∑，则9a =（ ）(A) 2 (B)32 (C) 1 (D) 346. 复数z 满足：2312480z z z +++=，则z =（ ） (A) 2 (B) 1 (C)12 (D) 147. 9个人排成一排，从中任取3个人，则这3个人中，任意2人都不相邻的概率是：（ ） (A) 712 (B) 512 (C) 49(D) 598. 离心率为2的双曲线的焦点到渐近线的距离是3，则焦距 12F F = ( ) (A) 3 (B) 23 (C) 6 (D) 439. 设椭圆221189x y +=的左、右焦点分别为21F F 、，点(),P x y 在椭圆上， 满足：122PF PF =,则x =（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 23 (D) 3210. 在正三棱锥P ABC -中，侧棱与底面成30，则侧面与底面所成的二面角为：（ ） (A)3arctan2 (B) 23arctan3 (C) 3arcsin 2(D) 1arcsin 211. 设0ω>；函数()sin cos f x x x ωω=在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，则ω的最大值是：（ ） (A)32 (B) 54 (C) 43 (D) 3412. 已知2220,1a b c a b c ++=++=；则444a b c ++=（ ） (A) 34 (B) 23 (C) 12(D) 13三、填空题：（6*5=30分）（13）某企业从甲，乙，丙三地招聘一批工人，期中39人招自甲地，91人招自乙地，其余的招自丙地；为了解他们对企业发展的意见及建议，现采用分层抽样的方法，抽取56人进行调研，若被抽取的这些人中来自丙地的有16人，那么这批新招的工人共有 人； （14）直线21x y +=关于点()1,2M 对称的直线方程是 （15）若正四棱柱的对角线是3，则侧面积的最大值是： （16）在空间直角坐标系xyz O -中，经过()(1,1,1),1,0,2P Q -且与直线3220350x y y z -+=⎧⎨-+=⎩平行的平面方程为（17）用2x x +除多项式53343x x x ++-所得的余式为 （18）设圆锥轴截面的顶角为θ，7cos 25θ=-；则该圆锥侧面展开图扇形圆心角α=三：解答题：（60分）19. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,；已知：()()tan 1tan 12A B ++=;22cos2sin 1sin ,2B C A a +=+=；求：角C ;边长b ；ABC S ∆=?20.等比数列}{n a 满足:110;2a a q =>=； 数列{}nb 的前n 项和23n S n n =+；（I ） 求}{n a ，{}n b ；（II ）是否存在正数,p r ，使得log n p n b a r +=对所有的正数n 成立；若存在，求出,p r ；若不存在，请说明理由；23. 已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，且与圆()2211x y -+=相切； （I ）求直线l 在x 轴上的截距的取值范围；（II ）设F 是抛物线的焦点，满足：0FA FB ⋅=，求直线l 的方程；24. 设函数()()320f x ax bx cx a =++≠是增函数；()()()g x f x x f x =+-； 且对任意的12x ≥-，()g x 都不是奇函数； 证明：32023a b c M b a ++=>-；并求min M =？2011年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试***数学一、选择题1、已知0cot tan <+θθ，那么角θ是(A)第一或第二象限角 (B)第三或第四象限角(C) 第一或第三象限角 (D) 第二或第四象限角2.设1111D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则四面体11D ACB 的体积是(A) 21 (B) 31 (C) 41 (D) 61 3、在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,.若ac b c a 3222=-+，则B= (A) 6π (B) 3π (C) 6π或65π (D) 3π或32π 4、若复数z 的虚部不为零，且013=++z z ，则(A) 1<z (B) 1=z (C) 21<<z (D) 2≥z 5、若3log 2=a ，6log 4=b ，9log 6=c ，则(A) c b a == (B) c b a << (C) a c b << (D) a b c <<6、在四面体ABCD 中，2=AB ，其余各棱长均为1，则二面角B CD A --的余弦值为 (A) 31- (B) 0 (C) 31 (D) 21 7、设数列}{n a 的前n 项和1211+-=n S n ，则=n a (A) 121-n (B) 121+n (C) )12)(12(1+-n n (D) )12)(12(2+-n n 8、圆的直角坐标方程为4)1()3(22=-+-y x ，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为(A) 2=ρ (B) )3cos(4πθρ-= （⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈65,6ππθ) (C) )6cos(4πθρ-= ( ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈32,3ππθ) (D) θρcos 4= ( ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈2,2ππθ)9、函数)1(111->++=x x y 的反函数为 (A) )1(111>+-=x x y (B) )1(111->++=x x y (C) )1(111->-+=x x y (D) )1(111>--=x x y10、设21,F F 为双曲线1:2222=-by a x C 的两个焦点，P 为C 上一点，若P F F 21∆是等腰直角三角形，则C 的离心率为： (A) 251+ (B) 253+ (C) 21+ (D) 221+ 11、若函数⎩⎨⎧>+≤=1 , 1, )(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则=-b a(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 012、点D 、E 、F 是ABC ∆内三点，满足DE AD =,EF BE =,FD CF =.设λ=AF ，AC AB μ+，则=),(μλ (A) )72,74( (B) )74,71( (C) )71,74( (D) )74,72(二、填空题：（13）若关于x 的方程023=+-ax x x 有重根，则=a（14）已知两条直线n m ,，两个平面βα,，给出四个命题：①若αα⊥⊥n m n m 则,,// ②若n m n m //,,,//则βαβα⊂⊂③若βαβα⊥⊥则,,//m m ④若βαβα⊥⊥m m 则,//,其中正确命题的序号是（15）设等比数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，若267S S =，则其公比为（16）在空间直角坐标系xyz O -中，经过)1,1,2(P 且直线⎩⎨⎧=+--=++-01223013z y x z y x 垂直的平面方程为 （17）若多项式)(x P 满足,3)2(,1)1(==P P 则)(x P 被232+-x x 除所得的余式为（18）设有4张不同的卡片，若有放回地抽取4次，每次随机抽取一张，则恰好有两张卡片未被抽到的概率为三、解答题：19、设函数232)(++-=x x x f ，（I ）把)(x f 写成分段函数，并求)(x f 的最小值；（II ）解不等式5)(<x f 。

2011年中华人民共和国普通高等学校联合招生华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题物理本试卷共10题，满分150分，时间120分钟。

1. 某放射性元素在9天内衰变后剩下14，其半衰期是 (A) 6天 （B ）4.5天 （C ）3天 （D ）1.5天【 】2. 23290Th 经过数次α衰变和β衰变后，最后变成稳定的20882Pb ，其和衰变方程为23290Th →20882Pb +x y αβ+，则（A ） 12,16x y == (B) 8,6x y ==(C) 6,4x y == (D) 4,8x y ==【 】3. 关于光电效应，下列说法正确的是(A) 当用绿光照射某金属时能发生光电效应，则改用红光照射时也必能发生光电效应(B) 当用绿光照射某金属时能发生光电效应，则改用紫光照射时也必能发生光电效应(C) 某单色光束照射某金属表面时能发生光电效应，现将光束的光强减小一倍，则有可能不再发生光电效应(D) 某单色光束照射某金属表面时能发生光电效应，现将光束的光强增大，则产生的每个光电子的能量增大【 】4. 一个质点在某一段运动过程中，下列说法正确的是(A) 加速度大小和方向都不变时不一定作直线运动(B) 加速度大小不变时一定是匀速直线运动(C) 某时刻加速度为0，则此时刻速度一定为0(D) 某时刻速度为0，则此时刻加速度一定为0【】5. 现有一含有放射性C同位素14C的样品，下列说法正确的是(A) 样品中14C的半衰期与样品中14C的总量有关(B) 样品中14C的半衰期与样品中14C所处的状态有关(C) 样品中14C的半衰期与样品的温度有关(D) 样品中14C的半衰期与上述所有因素无关【】6.如图所示，,a b为两个带电量都是Q+的点电荷，圆中虚线ox是,a b连线的中垂线，随着x 从零不断增大时，各点的场强的大小E和电势U的变化是(A) E不断增大，U不断增大(B) E先变大后变小，U不断变小(C) E不断变大，U先变大后变小(D) E不断变小，U不变【】7.质量为m的小物块停放在水平桌面上，他与桌面之间的最大静摩擦系数μ=1，要想用一最小的外力使物块移动，则此外力大小为(A) mg(B)12 mg(C)(D)2mg【 】 8.如图所示，在水平桌面上放置一长木块MN ，在它的上方左端放一小物块A ，A 与MN 之间以及MN 与桌面之间均有摩擦，一条轻绳的一端于A 相连，另一端绕过一光滑轻质的定滑轮与一挂钩相连，开始是他们都处于静止状态，现将一重砝码K 轻轻挂在钩上，然后放手。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

导数的应用知识点讲解一.导数的运算导数的定义如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|0x x =。

即f′（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）②求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00③取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim（在极限存在的前提下。

若极限不存在，则导数不存在）连续就是左值等于右值；可导是“左值等于右值，且左导等于右导”例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 几个结论:（1）奇函数的导函数是偶函数。

（2）偶函数的导函数是奇函数。

（3）周期函数的导函数是周期函数，且周期不变。

（4）轴对称函数在对称轴处的导数为零（特别的偶函数有()00f '=），奇函数没有此性质。

1.常见函数的导数（1）0C '=(C 为常数)（2）()1m m x mx -'=（m Q ∈）（3）()x xe e '=（4）()ln x x a a a '=（5）()1ln x x'=（6）()11log log ln a a x e x a x'==（7）()sin cos x x '=（8）()cos sin x x'=-2.两个函数和、差、积、商的导数若()f x 、()g x 的导数都存在，则（1）()f g f g '''±=±（2）()f g f g f g '''=+ （3）()20f f g f g g g g '''⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的导数设()u g x =在点x 处可导，()y f u =在()u g x =处可导，则复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在点x 处可导，且()()()()f g x f u g x '''=⎡⎤⎣⎦ 。

2011年台湾省大学入学学科能力测验考试数学试卷一、解答题（共13小题，满分0分）1．有一箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，则下列哪一个选项是此游戏的奖金期望值？（1）70 元（2）75 元（3）80 元（4）85 元（5）90 元．2．多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪一个选项？（1）x（x+1）2（2）2x（x﹣1）2（3）x（x﹣1）（x+1）（4）2（x﹣1）2（x+1）（5）2x（x﹣1）（x+1）3．设，n为正整数，且知a n皆为正．令b n=loga n，则数列b1，b2，b3，…为（1）公差为正的等差数列（2）公差为负的等差数列（3）公比为正的等比数列（4）公比为负的等比数列（5）既非等差亦非等比数列．4．坐标平面上满足方程式的点（x，y）所构成的图形为（1）只有原点（2）椭圆及原点（3）两条相异直线（4）椭圆及双曲线（5）双曲线及原点．5．请问下面哪一个选项是正确的？（1）37＜73（2）510＜105（3）2100＜1030（4）log23=1.5（5）log211＜3.5．6．根据台湾寿险业的资料，男性从0岁、1岁、…到60岁各年龄层的死亡率（单位：%）依序为1.0250，0.2350，0.1520，0.1010，0.0720，0.0590，0.0550，0.0540，0.0540，0.0520，0.0490，0.0470，0.0490，0.0560，0.0759，0.1029，0.1394，0.1890，0.2034，0.2123，0.2164，0.2166，0.2137，0.2085，0.2019，0.1948，0.1882，0.1830，0.1799，0.1793，0.1813，0.1862，0.1941，0.2051，0.2190，0.2354，0.2539，0.2742，0.2961，0.3202，0.3472，0.3779，0.4129，0.4527，0.4962，0.5420，0.5886，0.6346，0.6791，0.7239，0.7711，0.8229，0.8817，0.9493，1.0268，1.1148，1.2139，1.3250，1.4485，1.5851，1.7353．经初步整理后，已知61个资料中共有24个资料小于0.2．请问死亡率资料的中位数为下列哪一个选项？（1）0.2034 （2）0.2164 （3）0.2137 （4）0.2085 （5）0.2019．7．设A、B、C分别为复数平面上代表1+i、1+iZ，以及1﹣i的点．请问下列哪些选项所对应的点落在△OAB的内部？（1）cos60°（2）cos50°+isin50°（3）（4）（5）（cos30°+isin30°）25．8．已知且cosθ＞0，请问下列哪些选项是正确的？（1）tanθ＜0（2）（3）sin2θ＞cos2θ（4）sin2θ＞0（5）标准位置角θ与2θ的终边位在不同的象限．9．考虑坐标平面上以O（0，0），A（3，0），B（0，4）为顶点的三角形，令C1，C2分别为△OAB的外接圆、内切圆．请问下列哪些选项是正确的？（1）C1的半径为2（2）C1的圆心在直线y=x上（3）C1的圆心在直线4x+3y=12上（4）C2的圆心在直线y=x上（5）C2的圆心在直线4x+3y=6上．10．坐标平面中，向量与向量互相垂直且等长．请问下列哪些选项是正确的？（1）向量必为或（2）向量与等长（3）向量与的夹角可能为135°（4）若向量，其中，a，b为实数，则向量的长度为（5）若向量，其中c，d为实数，则c＞0．11．在坐标平面上，圆C的圆心在原点且半径为2，已知直线L与圆C相交，请问L与下列哪些图形一定相交？（1）x轴（2）（3）x2+y2=3 （4）（x﹣2）2+y2=16 （5）．12．坐标空间中，考虑球面S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14与A（1，0，0），B（﹣1，0，0）两点．请问下列哪些选项是正确的？（1）原点在球面S上（2）A点在球面S之外部（3）线段与球面S 相交（4）A点为直线AB上距离球心最近的点（5）球面S和xy，yz，xz 平面分别截出的三个圆中，以与xy平面所截的圆面积为最大．13．设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）14．（3分）已知首项为a、公比为r的无穷等比级数和等于5；首项为a、公比为3r的无穷等比级数和等于7，则首项为a、公比为2r的无穷等比级数和等于．15．（3分）空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED=．16．（3分）高三甲班共有20位男生、15位女生，需推派3位同学参加某项全校性活动．班会中大家决定用抽签的方式决定参加人选．若每个人中签的机率相等，则推派的三位同学中有男也有女的机率为．17．（3分）四边形ABCD中，，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线长为．18．（3分）一矿物内含A、B、C三种放射性物质，放射出同一种辐射．已知A、B、C每公克分别会释放出1单位、2单位、1单位的辐射强度，又知A、B、C 每过半年其质量分别变为原来质量的倍．于一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，而半年前测得此矿物的辐射强度为22单位，且目前此矿物的辐射强度为8单位，则目前此矿物中A、B、C物质之质量分别为公克．19．（3分）设E1：（其中a＞0）为焦点在（3，0），（﹣3，0）的椭圆；E2：焦点在（3，0）且准线为x=﹣3的抛物线．已知E1，E2的交点在直线x=3上，则a=．20．（3分）H：x﹣y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则为L的方向向量．2011年台湾省大学入学学科能力测验考试数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共13小题，满分0分）1．（2011•台湾）有一箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，则下列哪一个选项是此游戏的奖金期望值？（1）70 元（2）75 元（3）80 元（4）85 元（5）90 元．【分析】由题意由于箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，利用古典概型随机事件的概率公式及期望定义即可求得．【解答】解：黑球白球奖金50元100元机率故期望值=（元）故答案为：（1）2．（2011•台湾）多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪一个选项？（1）x（x+1）2（2）2x（x﹣1）2（3）x（x﹣1）（x+1）（4）2（x﹣1）2（x+1）（5）2x（x﹣1）（x+1）【分析】解析此题可先从答案中寻找因式，五个答案中只出现了x，x+1，x﹣1三个因式，故可将x=0，﹣1，1代入原式即可得出正确选项．【解答】解：设f（x）=4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3f（0）=4（0+1）+（0+1）2（0﹣3）+（0﹣1）3=0，故x为f（x）的因式；f（﹣1）=4（1+1）+（﹣1+1）2（﹣1﹣3）+（﹣1﹣1）3=0，故x+1为f（x）的因式；f（1）=4（1+1）+（1+1）2（1﹣3）+（1﹣1）3=0，故x﹣1为f（x）的因式；所以可设f（x）=4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3=kx（x﹣1）（x+1）x=2代入得4×5+9×（﹣1）+1=k×2×1×3，故k=2故答案为：（5）．3．（2011•台湾）设，n为正整数，且知a n皆为正．令b n=loga n，则数列b1，b2，b3，…为（1）公差为正的等差数列（2）公差为负的等差数列（3）公比为正的等比数列（4）公比为负的等比数列（5）既非等差亦非等比数列．【分析】根据b n=loga n，对两边取以10为底的对数，利用对数的运算性质，可得，根据等差数列的定义即可得到答案．【解答】解：由，两边取以10为底的对数，得即，故数列b1，b2，b n为一公差为负的等差数列故答案为（2）．4．（2011•台湾）坐标平面上满足方程式的点（x，y）所构成的图形为（1）只有原点（2）椭圆及原点（3）两条相异直线（4）椭圆及双曲线（5）双曲线及原点．【分析】把方程变形为，表示点（0，0），而代表相交于（0，0）的两相异直线，由此得出结论．【解答】解：由得，即，由得x=y=0，表示点（0，0 ）．而代表相交于（0，0）的两相异直线，故答案为（3）．5．（2011•台湾）请问下面哪一个选项是正确的？（1）37＜73（2）510＜105（3）2100＜1030（4）log23=1.5（5）log211＜3.5．【分析】对于（1）（2）（3）在等式两边同取常用对数，先比较对数值，再根据对数函数的性质判定大小即可，对于（4）利用换底公式求出值进行判定，对于（5）将3.5化成以2为底的对数，然后跟log211进行比较即可，从而得到正确的结论．【解答】解（1）lg37=7×lg3≈7×0.4771=3.3397，lg73=3×lg7≈3×0.8451=2.5353故lg37＞lg73⇒37＞73故（1）不正确；（2）lg510=10×lg5=10×（1﹣lg2）≈10×0.6990=6.990 lg105=5故lg510＞lg105⇒510＞105故（2）不正确；（3）lg2100=100lg2≈30.10lg1030=30故lg2100＞lg1030⇒2100＞1030故（3）不正确；（4）故（4）不正确；（5）故（5）正确，故答案为（5）6．（2011•台湾）根据台湾寿险业的资料，男性从0岁、1岁、…到60岁各年龄层的死亡率（单位：%）依序为1.0250，0.2350，0.1520，0.1010，0.0720，0.0590，0.0550，0.0540，0.0540，0.0520，0.0490，0.0470，0.0490，0.0560，0.0759，0.1029，0.1394，0.1890，0.2034，0.2123，0.2164，0.2166，0.2137，0.2085，0.2019，0.1948，0.1882，0.1830，0.1799，0.1793，0.1813，0.1862，0.1941，0.2051，0.2190，0.2354，0.2539，0.2742，0.2961，0.3202，0.3472，0.3779，0.4129，0.4527，0.4962，0.5420，0.5886，0.6346，0.6791，0.7239，0.7711，0.8229，0.8817，0.9493，1.0268，1.1148，1.2139，1.3250，1.4485，1.5851，1.7353．经初步整理后，已知61个资料中共有24个资料小于0.2．请问死亡率资料的中位数为下列哪一个选项？（1）0.2034 （2）0.2164 （3）0.2137 （4）0.2085 （5）0.2019．【分析】要求一组数据的中位数，这组数据有61个，得到中位数是这些数字的最中间一个，已知61个数据中有24个数据小于0.2，故只须从大于或等于0.2的数据中找出第7个，把数据写出得到结果．【解答】解：61个数据的中位数为第31个数据（须先将所有数据由小排到大）由题目已知61个数据中有24个数据小于0.2，故只须从大于或等于0.2的数据中找出第7个．大于或等于0.2的资料排列如下：0.2019，0.2034，0.2051，0.2085，0.2123，0.2137，0.2164，故中位数为0.2164故死亡率资料的中位数为（2）7．（2011•台湾）设A、B、C分别为复数平面上代表1+i、1+iZ，以及1﹣i的点．请问下列哪些选项所对应的点落在△OAB的内部？（1）cos60°（2）cos50°+isin50°（3）（4）（5）（cos30°+isin30°）25．【分析】根据所给的三个复数的代数形式，写出复数对应的点，得到以这三个点为顶点的三角形，把所给的五个条件进行验证，从模长到幅角两个方面来说明．【解答】解：可知与均与x轴夹45度角．且，（1），故cos60°位于x轴上距离原点单位之处，所以cos60°位于△ABC内部．（2）cos50°+isin50°与原点距离为，且与x轴夹50度角的点，故此点在△ABC外部．（因为50°＞45°）（3）在复数平面对应到点∵在上，∴在△ABC内部．（4）在复数平面对应到点∵在上，∴在外部．（5）（cos30°+isin30°）25=cos750°+isin750°=cos30°+isin30°，此点与原点距离为，且与x轴夹30度角的点，故此点在△ABC内部．（因为30°＜45°）答：（1）（3）（5）8．（2011•台湾）已知且cosθ＞0，请问下列哪些选项是正确的？（1）tanθ＜0（2）（3）sin2θ＞cos2θ（4）sin2θ＞0（5）标准位置角θ与2θ的终边位在不同的象限．【分析】先判断θ为第四象限角，由sinθ的值求出cosθ的值，计算tanθ的值，判断（1）正确；再求出tanθ的平方，可得（2）正确；求出sin2θ和cos2θ 的值，可得（3）不正确；利用二倍角公式计算sin2θ的值和cos2θ的值，可得（4）、（5）不正确．【解答】解：因为，故θ为第四象限角，，所以，（1）＜0 正确，（2）正确，（3）由，故sin2θ＜cos2θ，故（3）不正确，（4），故（4）不正确，（5），∵sin2θ＜0，cos2θ＞0，∴2θ为第四象限角，故角θ与2θ的终边在相同的象限，故（5）不正确．综上，只有（1）（2）正确．9．（2011•台湾）考虑坐标平面上以O （0，0），A （3，0），B （0，4）为顶点的三角形，令C 1，C 2分别为△OAB 的外接圆、内切圆．请问下列哪些选项是正确的？（1）C 1的半径为2（2）C 1的圆心在直线y=x 上 （3）C 1的圆心在直线4x +3y=12上 （4）C 2的圆心在直线y=x 上 （5）C 2的圆心在直线4x +3y=6上．【分析】根据题意画出图形，如图所示，根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，即斜边为外接圆的直径，利用两点间的距离公式求出|AB |，除以2即可得到C 1的半径，判断出选项（1）是错误的；根据中点坐标公式求出线段AB 的中点坐标即为外接圆的圆心坐标，即为C 1的圆心，代入y=x 与4x +3y=12即可判断C 1的圆心在直线4x +3y=12上，不在y=x 上，即选项（2）错误，选项（3）正确；如图点P 为三角形内切圆的圆心，作出点P 到三角形三边的距离都为内切圆的半径r ，把三角形AOB 的面积分为三个三角形，根据三角形的面积公式即可列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，进而得到点P 的坐标，判断出点P 不在直线4x +3y=6上，在直线y=x 上，即可得到选项（4）正确，（5）错误． 【解答】解：O ，A ，B 三点的位置如右图所示，C 1，C 2为△OAB 的外接圆与内切圆，∵△OAB 为直角三角形，∴C 1为以线段AB 为直径的圆，故半径为，所以（1）选项错误； 又C 1的圆心为线段AB 的中点，此点在直线4x +3y=12上，所以选项（2）错误，选项（3）正确； 如图，P 为△OAB 的内切圆C 2的圆心，故P 到△OAB 的三边距离相等均为圆C 2的半径r ． 连接PA ，PB ，PC ，可得：S △OAB =S △POA +S △PAB +S △POB故P的坐标为（1，1），此点在y=x上．所以选项（4）正确，选项（5）错误，综上，正确的选项有（3）、（4）．10．（2011•台湾）坐标平面中，向量与向量互相垂直且等长．请问下列哪些选项是正确的？（1）向量必为或（2）向量与等长（3）向量与的夹角可能为135°（4）若向量，其中，a，b为实数，则向量的长度为（5）若向量，其中c，d为实数，则c＞0．【分析】（1）由向量与向量互相垂直且等长，可设，列方程组求出；（2）求出向量与的模长；（3）求出向量与的夹角；（4）求出向量的长度；（5）由向量，列方程组，求出实数c，即可．【解答】解：（1）设，∵①；又∵②；由①②可得：，故结论正确；（2）∵，或+=（2+，﹣2），﹣=（2﹣，+2）；∴=3，故结论正确；（3）设与的夹角为θ，则，故（3）结论不正确；（4）∵，∴，故结论不正确；（5）∵，∴c＞0结论正确；11．（2011•台湾）在坐标平面上，圆C的圆心在原点且半径为2，已知直线L与圆C相交，请问L与下列哪些图形一定相交？（1）x轴（2）（3）x2+y2=3 （4）（x﹣2）2+y2=16 （5）．【分析】本题利用图象法解决，分别画出符合条件的图形，画出直线L与圆C相交，再观察直线L与下列哪些图形一定相交即可．【解答】解：（1）错误，如图，若L∥x轴即不成立．（2）错误，如下图，L与不相交．（3）错误，如图，L与x2+y2=3（中间较小的圆）不相交．（4）正确，如图，圆（x﹣2）2+y2=16的图形包含圆C：x2+y2=4，故任何与圆C相交的直线L均与（x﹣2）2+y2=16相交．（5）正确，如图，椭圆图形包含圆C：x2+y2=4，故任何与圆C相交的直线L均与相交．故答案这：（4）（5）．12．（2011•台湾）坐标空间中，考虑球面S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14与A（1，0，0），B（﹣1，0，0）两点．请问下列哪些选项是正确的？（1）原点在球面S上（2）A点在球面S之外部（3）线段与球面S 相交（4）A点为直线AB上距离球心最近的点（5）球面S和xy，yz，xz 平面分别截出的三个圆中，以与xy平面所截的圆面积为最大．【分析】由于S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14，表示：球心P（1，2，3），半径（1）利用原点O与球心P的距离进行判定；O在球面上．（2）利用AP的长与半径之间的关系判定A在球面S的内部．（3）利用AP的长与半径之间的关系判定B在球面S的外部，所以与球面S 相交．（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．结合向量的去处即可；（5）利用平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大进行判定．【解答】解：S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14，球心P（1，2，3），半径（1）原点O与球心P的距离，故O在球面上．（2），故A在球面S的内部．（3），故B在球面S的外部，所以与球面S相交．（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．设Q（k，0，0）∵，∴（k﹣1，﹣2，﹣3）•（1，0，0）=0⇒k=1故Q（1，0，0），即Q=A（5）平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大．球心P（1，2，3）距离xy平面3个单位，距离yz平面1个单位，距离xoz平面2个单位；故求面S与yz平面所截出圆面积最大．故答案为（1）（3）（4）．13．（2011•台湾）设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．【分析】（1）把代入f（x）可得结论错误；（2）方程f（x）=2有整数解，即x3﹣x﹣2=0有整数解，构造函数g（x）=x3﹣x﹣2有整零点，利用反证法即可得到结论；（3）方程f（x）=x2+1有实数解，即x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根；（4）f（x）=x有不等于零的有理数解，即x（x﹣1）（x+1）=x，解此方程即可求得结论；（5）f（x）=x（x﹣1）（x+1）是奇函数，因此f（a）=2，则f（﹣a）=﹣2．【解答】解：（1）（2）f（x）=2⇒x（x﹣1）（x+1）=2⇒x3﹣x﹣2=0令g（x）=x3﹣x﹣2若为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故可为±1，±2．但g（1）≠0，g（﹣1）≠0，g（2）≠0，g（﹣2）≠0，故g（x）=x3﹣x﹣2=0没有整数解，即f（x）=x3﹣x=2没有整数解．（3）f（x）=x2+1⇒x3﹣x=x2+1⇒x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根．（4），故f（x）=x没有不等于0的有理根．（5）f（a）=2⇒a（a﹣1）（a+1）=2，则f（﹣a）=﹣a（﹣a﹣1）（﹣a+1）=﹣a （a+1）（a﹣1）=﹣2故正确的是（3）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）14．（3分）（2011•台湾）已知首项为a、公比为r的无穷等比级数和等于5；首项为a、公比为3r的无穷等比级数和等于7，则首项为a、公比为2r的无穷等比级数和等于．【分析】由无穷等比级数的总和公式，可得，由此能求出首项为a、公比为2r的无穷等比级数和．【解答】解：由无穷等比级数的总和公式，可得，所求=．故答案为：．15．（3分）（2011•台湾）空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED=．【分析】如图，先根据图形得到，∠ABE=∠DCE=90°，再在直角三角形中利用边角关系得到cot∠AEB，通过解直角形即可求得cot∠CED的值．【解答】解：如图，∠ABE=∠DCE=90°设故故答案为：16．（3分）（2011•台湾）高三甲班共有20位男生、15位女生，需推派3位同学参加某项全校性活动．班会中大家决定用抽签的方式决定参加人选．若每个人中签的机率相等，则推派的三位同学中有男也有女的机率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从35人中选3个同学参加活动，共有C353，满足条件的事件包括两种情况，一是两个男生一个女生，二是一个男生两个女生，列出事件数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从35人中选3个同学参加活动，共有C353，满足条件的事件是推派的三位同学中有男也有女，包括两种情况，一是两个男生一个女生，二是一个男生两个女生，共有C151C202+C152C201∴根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：17．（3分）（2011•台湾）四边形ABCD中，，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线长为4．【分析】设所求向量的模为x，角B=θ，由∠DAB=∠BCD=90°，根据四边形的内角和表示出角D=π﹣θ，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD中，利用余弦定理表示出cos（π﹣θ），根据诱导公式得到cosθ=﹣cos （π﹣θ），列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而所求向量的模．【解答】解：设，由∠DAB=∠BCD=90°，则∠D=180°﹣θ，△ABC中，，，则；△ACD中，，，则；∵cos（180°﹣θ）=﹣cosθ，∴=4．故答案为：418．（3分）（2011•台湾）一矿物内含A、B、C三种放射性物质，放射出同一种辐射．已知A、B、C每公克分别会释放出1单位、2单位、1单位的辐射强度，又知A、B、C每过半年其质量分别变为原来质量的倍．于一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，而半年前测得此矿物的辐射强度为22单位，且目前此矿物的辐射强度为8单位，则目前此矿物中A、B、C物质之质量分别为A：4克，B：1克，C：2克公克．【分析】若设目前矿物中A，B，C物质的质量分别为：x克，y克，z克；则根据A、B、C释放的辐射强度和目前此矿物的辐射强度为8单位，得方程①；半年前此矿物的辐射强度为22单位，得方程②；一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，得方程③；组成三元一次方程组，解得即可．【解答】解：设目前矿物中A，B，C物质的质量分别为：x克，y克，z克；则半年前之质量分别为：2x克，3y克，4z克；一年前之质量分别为：4x克，9y克，16z克；根据题意，可列式为：故答案为A：4克，B：1克，C：2克19．（3分）（2011•台湾）设E1：（其中a＞0）为焦点在（3，0），（﹣3，0）的椭圆；E2：焦点在（3，0）且准线为x=﹣3的抛物线．已知E1，E2的交点在直线x=3上，则a=3+．【分析】作出图形，如图，P到准线的距离是6，可求得PF1的长度，由勾股定理求得PF2，再由椭圆的定义求出椭圆的长轴即可求得a【解答】解：设P为拋物线E1与椭圆E2的交点P在E 1上，根据拋物线的定义，P在E 2上，根据椭圆的定义，∵P在直线x=3上，∴轴故故答案为：．20．（3分）（2011•台湾）H：x﹣y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则（2，﹣1，﹣3）为L的方向向量．【分析】根据所给的平面的方程，写出平面的一个法向量，设出直线的一个方向向量，根据两个向量之间的关系得到两个向量的数量积等于0，求出未知数，得到要求的直线的方向向量．【解答】解：∵x﹣y+z=2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是设直线L的方向向量为∵L在H上，∴与平面H的法向量垂直故∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，∴故解得b=﹣1，c=﹣3故答案为：（2，﹣1，﹣3）。

多项式除法一、拖式（竖式）运算，和数一样直接除。

（2012年）（17）用2x x +除多项式53343x x x ++-得到的余式为_______.（2008年）（18）83x -（2005年）(19)（2000年）设多项式542()p x x x ax x b =++++除以21x x ++所得的余式为2x +，则6．a =（B ）（A ）2（B ）0（C ）-1（D ）-37．b =（A ）（A ）3（B ）1（C ）-1（D ）-2二、余式定理、因式定理（2013年）（1）若多项式32x x c -+有因式1x -，则c =（C）（A ）3-（B ）1-（C ）1（D ）3（2003年）17．（2007年）(19)若以256x x -+除多项式()f x 得余式25x -，则(3)f =.1（2006年）（18）三、待定系数法（2014年）（17）（2011年）（17）（2002年）20．若多项式()p x 被2x -除后的余式为6，而被2x +除后的余式是2，则()p x 被24x -除后的余式是.4x +（2004年）20．（2015年）（18）若多项式()432p x x x ax bx c =++++，()12p =，用21x +除()p x 的余式为2，则()1p -=____________.2-三、分解因式、最大公因式（2010年）（18）设多项式()323p x x x ax b =+++与()4322q x x x ax x b =++++有公因式3x +，则()p x 与()q x 的最大公因式为____________.(3)(2)x x +-（2009年）（19）多项式4322423x x x x +--+与3246x x x ++-的最大公因式____________________。

223x x +-（2001年）20．设,t s 是实数，且方程3250x x tx s -++=有一个根为复数2i -，那么22t s +的值为.106。

数列综合题1．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()...,2,112=-=n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2,...,2,111==+=+b n b a b n n n ，求数列{}n b 的通项公式.3．已知等差数列{}n a 的公差0> d ，其前n 项和为n S , 11=a ,3632=S S ；（1）求出数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式nS （2）若数列{}n b 满足)2(,211≥=-=-n d b b b nn n ，求数列{}n b 的通项公式nb4．等差数列{}n a 中，11-=a ，公差0≠d 且632,,a a a 成等比数列，前n 项的和为n S .（1）求n a 及n S ;（2）设11+=n n n a a b ，n n b b b T +++= 21，求n T .5．已知数列{}n a 满足22a =，n S 为其前n 项和，且(1)(1,2,3,)2n n a n S n +== .（1）求1a 的值；（2）求证：1(2)1n n na a n n -=≥-；（3）判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈.（I ）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .7．在数列}{n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，521,,a a a 构成公比不等于1的等比数列.记11+=n n n a a b （)*∈N n ．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）设}{n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得kk R 2≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由.8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()*31N n a S n n ∈-=．（Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列．9．设数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .11．在数列{}n a 中，,31=a )n n 2,n 2-n 21*-∈≥+=且（n n a a （1）求32,a a 的值；（2）证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .12．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．13．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足3(1)2n n S b =-且2152,.a b a b ==（Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式：（Ⅱ）设T n 为数列{S n }的前n 项和，求T n ．14．在数列}{n a 和等比数列}{n b 中，01=a ，23=a ，1*2()n a n b n N +=∈．（Ⅰ）求数列{}n b 及}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．15．设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的+∈N n ，点(,)n n S ，均在函数r y x+=2的图像上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）记n na a ab 2log 2log 2log 22212+++= 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和n T .16．设数列{}n a 满足：11,a =()121*n n a a n N +=+∈.（I ）证明数列{1}n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式;（II ）若2log (1)n n b a =+,求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .17．已知数列{}n a 是一个递增的等比数列，前n 项和为n S ，且42=a ，143=S ，①求{}n a 的通项公式；②若n n a C 2log =，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的前n 项和nT 18．数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +-=（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，47b =．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证12n T <．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和是n S ，且点(),2n n a S 在函数2y x x =+的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设121,2n n n nb T b b b S ==+++ ，求n T ．21．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知数列{}n a 中，13a =，满足)2(1221≥-+=-n a a nn n 。