量子力学答案
- 格式：doc
- 大小：103.50 KB
- 文档页数：6
第一章 绪论
1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温
度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为
ννπνρννd e
c h
d kT
h 1
183
3
-=
由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =,
λ
λ
νd c
d 2
+
=
因而有： λλπλλρλ
d e
hc
d kT hc 1
1
8)(5
-=
令
λkT hc x =
所以有：
11
)(5
-=x
e Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0
)
(=λλρd d 有
0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dx
e e x e x A d d x x x
于是，得： 1
)51(=-x e x
该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出，
k hc
xk hc T m 2014.0==
λ
即 b T m =λ （常数）
其中 k hc
b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯
=
k m ⋅⨯=-310898.2
[注]
根据
1183
3
-=
kT
h e
c h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：
令
kT h x ν=
11
3
-=x
e Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx
e Ax dx d d d x
因而可得 1
31=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-x e x
此方程的解 821.2=x
h kT
h kTx 821.2max ==
ν
b T T
b '=⇒'=-1
max max νν
其中
3423
1062559.610380546.1821
.2821.2--⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k
这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。
1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。
[解] 德布罗意公式为
p h
=
λ
因为价电子能量很小，故可用非相对论公式
μ22
p E =
代入德布罗意公式得
λ=
=
这里利用了电子能量 E eV =。
将普朗克常数h ，电子质量μ和电子
电量电e 的数值代入后可得
12252A h .E
V λ
μ
取3V ，上式给出 0
708A .λ
1.3 氦原子的动能kT
E 23
=
（k 为玻耳兹曼常数）, 求1T
k 时, 氦原子的德
布罗意波长。
[解] 当k T 1=时，氦原子的动能
k E 23=
氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量
e
n p m m m 222++=μ
)
(2)(2n p e n p m m m m m +≈++=
kg 2710)67482.167252.1(2-⨯+⋅= kg 27106947.6-⨯=
所以氦原子在k T 1=时的德布罗意波长
m
E
h ⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=---23
2734
1038054.123
106947.621062559.62μλ
910258.1-⨯= )(m ︒=A 58.12
1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
[解] （1）方法一：量子化条件 ⎰
=nh
pdq ，一维谐振子的能量为
2
2221
2q p E μωμ+=
可化为
(
)
1
222
222
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
μωμE q E
p
上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。
两半轴分别为
E a μ2=，
22μωE
b =
这个椭圆的面积为
nh v E
E
E
E ab pdq ==
=
⋅
==⎰ω
πμωμππ2222
故 nhv E =，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。
方法二：一维谐振子的方程为
02=+q q
ω 其解为 )sin(δω+=t A q
dt t A dq )cos(δωω+=
而 )cos(δωωμμ+==t A q
p nh
v
A T A dt t A pdq T ==
=
+=∴
⎰
⎰22
)(cos 2
22
20
2
2
2ωμωμδωωμ
而 )
(sin 212)(cos 21222222222
22δωμωμδωμωμωμ+++=+=t A t A q p E
nhv A ==
2221
μω
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有
R H c e 2υμυ=
故
eH c R υ
μ=
这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。
应用玻耳—索末菲量子化条件
⎰=nh pdq
把电子作圆周运动的半径转过的角度ϕ作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量
υμϕμϕ
μϕϕϕR R R H P ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂=
22221
⎰⎰
==
==∴
πϕππμυϕυμϕ20
2
22nh R c eH R d R d P
eH c
n eH
nhc
R ==∴
π2
其中 π2h
=
， 可见电子轨道的可能半径是不连续的。
讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化
的要求是一致的。
②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。
而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。
③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量
hv
n E n ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能
hv
E 210=。
但
能级间的间隔则完全相同。
前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。
④
m eB n dt d ma E 2212
2 =
⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ动 而
B M m eB
E B ⋅==
2 动∆
根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为2，所以电子在温度︒=k T 4和︒=k T 100条件下的热运动能分别为：
2323110522.51038054.144--⨯=⨯⨯===k kT E joul
2121038054.1100-⨯==k E joul
又将 10=B 特拉斯 24
109-⨯=B M joul/特拉斯 代入（4）
式
23
2410910910--⨯=⨯⨯=∆动E
joul
比较以上的计算结果可知：按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论计算的结果在数量级上非常接近，但在OK 附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与旧量子理论计算的结果相差甚远。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。
如果两光子的能量相等。
问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
[解] 由能量守恒定律，光子的能量νh 转化为电子的静止能量2
c m e
2c m h e =ν
e m 为电子的静止质量
c m h c
e =
=νλm 8313410998.2101.91062559.6⨯⨯⨯⨯=--
m 121043.2-⨯=︒⨯=-A 21043.2。
