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离散模型§ 1 离散回归模型一、离散变量如果我们用0，1，2，3，4，⋯说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。
但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。
在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3 和4 等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。
本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。
、离散因变量在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0 表示。
1 yesx0 no如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。
如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。
因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。
因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。
三、线性概率模型现在约定备择对象的0 和1 两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l的因变量 y i表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量 x i 。
如果选择响应YES 的概率为 p(y i 1/ x i ) ，则经济主体选择响应NO 的概率为 1 p(y i 1/ x i)，则E(y i /x i) 1 p(y i 1/x i) 0 p(y i 0/x i)＝ p(y i 1/x i)。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型p(y i 1/ x i) E(y i / x i) x iβ0 1 x i1 L k x ik u i描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果并不一定能够保证回归模型的因变量拟合值界于[0，1]。
集美大学计算机工程学院实验报告课程名称：数学建模指导教师：付永钢 实验成绩： 实验项目编号：实验六实验项目名称：离散模型 班级：计算12姓名： 学号： 上机实践日期：2014.12上机实践时间： 2 学时一、实验目的了解离散模型的建模，掌握对离散数据的插值、迭代等处理原理和方法。
二、实验内容1、对教材第8章（P270图1）中所给出的比赛得出的竞赛图给出对应的邻接矩阵，然后计算该矩阵的最大特征值，并计算该特征值对应的特征向量，将该特征向量进行归一化处理；同时，对该邻接矩阵，利用式T e Ae s )1....,1,1,1(,)1(== )1()(-=k k As s , k=1,2,….进行迭代，对该迭代向量进行归一化处理，计算迭代200次以后的结果，与前面计算出的归一化特征向量值进行比较，得出你的结论。
2、对第7章中给出的差分方程)1(1k k k x bx x -=+，对不同的参数b=1.7, b=2.7, b=3.31, b=3.46, b=3.56分别计算迭代100次的结果，观察其中的单周期收敛，倍周期收敛，4倍周期收敛，混沌等现象。
3、阅读水流量估计的模型求解过程，跟随该模型求解过程中所给出的代码进行逐一尝试，了解对离散数据进行通常建模处理的一般过程和思路。
三、实验使用环境WindowsXP 、Lindo.6.1四、实验步骤1、循环比赛的名次模型求解（1）分析图1，得到邻接矩阵：（2）记定点的得分向量为s=（s1,s2,……sn ）T,其中si 是顶点i 的得分（3）归一化特征值向量值：图1通过MATLAB得到结果：结果分析：通过分析MATLAB得到的记过可知该矩阵的最大特征值为2.2324，对应的特征向量为：-0.5561，-0.3841，-0.5400，-0.2653，-0.3503，-0.2419。
归一化后的结果为：0.2379,0.1643,0.2310，0.1135,0.1489,0.1035，所以得到排出的名次为{1,3,2,5,4,6}结果分析：由于以上结果可知，任一列的特征向量排序均为{1,3,2,5,4,6}，与利用计算出的归一化特征值排序的结果一致，但迭代200次后的特征向量与前面的特征向量结果不一致。
萧澜 1 . 循环赛模型一、 问题：下图是5位网球选手循环赛的结果。
作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当的方法排出5位选手的名次。
二、模型分析与建立：这是一个关于竞赛图排列名次的问题，我们可以利用双向连通竞赛的名次排序方法来处理这一问题。
根据图形建立竞赛图的邻接矩阵A=（ij a ）n n ⨯如下：⎩⎨⎧=，否则的有向边到存在从顶点0,1j i a ij由此得到邻接矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111100100000010110001010三、模型求解： 各级分量为S=S(1)=(2,2,1,2,3),S(2)=(4,3,2,4,5),S(3)=(7,6,4,7,9),S(4)=(13,11,7,13,17).由此可以知道名次为：5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）。
另外此结果也可以根据Perron-Frobenius 定理，由s A kk k =→λ1lim我们只需算出矩阵A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到大小排处名次。
我们可以用Matlab 求解，程序如下： A=[0,1,0,1,0 0,0,1,1,0 1,0,0,0,0 1,1,1,0,0]; eig(A)[X,D]=eig(A)从结果中可以看到A 的最大特征根8393.1=λ，所对应的特征向量为：)2769.0,2137.0,1162.0,11793.0,2137.0(=s由此得到排名顺序也是：5，1（4），2，3（选手1和4名次相同）。
2．投票权重 理事会有五个常任理事和十个非常任的理事，提案仅当全部的常任理事和至少非四个常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重？ 模型分析：由题意可知题中涉及到了利益的分配问题，那么此题可以应用Shapley 值法进行求解Shapley 值法所需要的知识：设集合I={1,2,…,n},如果对于I 的任意一个子集s 都对应着一个实值函数v(s),满足v()=0;v( s s 21)≥v(s 1)+v(s 2), s 1 s 2= 称[I,v]为n 人合作对策，v 为对策的特征函数 Shapley 值由特征函数v 来确定记为)).()...,(),(()(21v v v v nϕϕϕ=Φ对于任意的子集s,记x(s)=∑∈si ix,即s 中成员的权重,对于一切s I ⊂满足x(s)≥v(s)的x 组成的集合称[I,v]的核心,当核心存在时,即所有s 的分配都不小于s 的效益,可以将Shapley 值作为一种特定的分配,即x iiv =)(ϕ;Shapley 值)).()...,(),(()(21v v v v nϕϕϕ=Φ为∑∈-=s i s v s v s v is i)]\()(|)[(|)(ωϕ,i=1,2,…,n!)!1|(||)!|(|)(|n s s n s --=ω其中s i 是中包含的所有子集,{s}是子集s 中的元素的数目(人数),）（||s ω是加权因子, s \ i 表示s 去掉i 后的集合.模型建立:集合I={1,2,…,5,6,…,15},其中i=1,2,…,5表示常人理事会员,i=6,…,15为非常任理事会员,将集合s=(），，（）（}15...{}7{}6{}{51=i i )中任意的k 个元素的集合,k=4,5,…,10的特征函数定义为1,I 中的其他集合的特征函数的定义为0,因为这样的集合有Ck 10个,且!15)]!5(15[)!15()(+--+=k k s ω(k=4,5,…,10),所以任意一个常任理事的Shapley 值为(即投票时占的比重)为∑==10410*|)(|k kiCs ωϕ代入数据可的ϕi=0.916,(i=1,2,…,5)而任意的非常任理事的权重为ϕi =101(1-5*0.196)=0.002(i=6,…,15).Matlab 语言程序:循环赛模型另解下图是5位网球选手循环赛的结果。
第四讲 离散动力系统模型——对变化进行建模引言为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模. 简化 比例性多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性.定义 两个变量y 和x 是(互成)比例的,如果kx y =,我们记为x y ∝.从几何上看,y 关于x 的图形位于通过原点的一条直线上.例1 测试比例性做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据表1-1 弹簧—质量系统质量 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 伸长1.0001.8752.7503.2504.3754.8755.6756.5007.2508.0008.750弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线.图1-1 来自弹簧—质量系统的数据看来该数据遵从比例性法则，伸长e 与质量m 成比例，或者说m e ∝。
该直线看似通过原点。
在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于直线上的两点)25.3,200(和)875.4,300(来估计比例系数k （直线斜率）：01625.020030025.3875.4=--=k因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：m e 0163.0=然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。
从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。
图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线对变化进行建模对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：未来值=现在值+变化人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。
实验09 离散模型（2学时）（第8章离散模型）1. 层次分析模型1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵261????1/21A?4????1/461/1??注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根≥n。
★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果（见[264]）：1 3.0092k =1>> w=V(:,k)/sum(V(:,k))w =0.58760.32340.0890[263]）(2) 幂法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×(0)w 1）；a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为)k?1)((k2,0,1,?Aww,k?；计算b.1)?(k w1)k?(?w1)k?(w归一化，即令c. ；n?1)?(k w i1i?)(1)k(k?1)k?(?)n|?|w,(i?w?1,2,w即，当d. 对于预先给定的精度ε时，iib；为所求的特征向量；否则返回到步骤1)?(kn w1??i?。
e. 计算最大特征根)(k wn1i?i 注：)k(k?1)(((k)k)???wAw??ww?1)(k? w?i n,i?1,2,??)k(w i文件如下：函数式m [lambda w]=p263MI(A,d)function——求正互反阵最大特征根和特征向量%幂法% A 正互反方阵% d 精度 2 % lambda 最大特征根归一化特征列向量% w0.000001，则d取if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A）d=1e-6;end的阶数取方阵A n=length(A); %任取归一化初始列向量w0=w0/sum(w0);%w0=rand(n,1);1while ww=A*w0;%归一化w=ww/sum(ww);all(abs(w-w0)<d) if; breakendw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;的最大特征根和特征向量。
用幂法函数求A☆(2)：）调用及运行结果（[264]）和法（见(3) [264]3A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：a~ij w?a. 将A的每一列向量归一化得；ijn?a iji?1n~~~?w?w w b. 对；按行求和得iijij1j?~w~Ti)ww,,ww,w(,???w即为近似特征向量；归一化 c. 将?w i1?in(Aw)1??i?，作为最大特征根的近似值。
d. 计算nw1?ii函数n2i1ni~式m文件如下：function [lambda w]=p264HE (A)%和法——求正互反阵最大特征根和特征向量% A正互反方阵% lambda最大特征% w归一化特征列向AA=A/diag(sum(A));%a.的每一列向量归一ww=sum(AA,2);%b.A按行求和w为列向w=ww./sum(ww);%c.归一化，为近似特征列向lambda=sum(A*w./w)/ length(A) %d.计算最大特征根的近似☆(3) 用和法函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果（[264]）：4[264]）(4) 根法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×a~ij?w 将A的每一列向量归一化得；a. ijn?a ij1?i1n~~~?ww)?(n w对次方得按行求积并开nb. ；ijiij1?j~w~w T归一化c. 将即为近似特征向量；i),wwww,(,w,???i?w i1i?n)Aw(1?计算，作为最大特征根的近似值。
d. ?i?wn1?ii的最ni21n~大特征根和特征向量。
★(4) 编写根法函数，用该函数求A sum, prod, diag][提示：sum(A, 2)。
对矩阵A按行求和的调用为按行求积的调用为Aprod(A, 2)。
对矩阵Vdiag(V)，用向量构造对角矩阵。
5nargin，存放函数输入自变量的数目。
编写的程序和调用及运行结果（见[264]）：function [lambda w]=p264GEN (A)%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量% A正互反方阵% lambda 最大特征根%w 归一化特征列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化ww=(prod(AA,2)).^(1/n); %b. 对AA按行求积并开n次方，ww为列向量w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/n; %d. 计算最大特征根的近似值λ1.2（验证，编程）旅游决策问题p250~256在下面程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR）， 6p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量）。
(1) 脚本式m文件如下：78本式层的数据。
显示第2★①；一致性比率；一致性指标CIλ包括：最大特征根；特征向量（权向量）w 。
CR ：[254]添加的命令和运行结果（见）9 lambda2,w2,CI2,CR2层的数据。
★②显示第3 CI。
；最大特征根包括：特征向量（权向量）w λ；一致性指标3）：表添加的命令和运行结果（见[255]w3k,lambda3,CI3k10★③显示最下层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量。
添加的命令和运行结果（见[255]）：w3★④显示第2层和第3层的组合一致性比率，以及最下层对第1层的组合一致性比率。
添加的命令和运行结果（见[256]）：CR2,CR3,CR2. 循环比赛的名次2.1（编程，验证）双向连通竞赛图（4顶点）的名次排序p270, 271~2724个顶点的竞赛图（教材p270中图3(4)）如下：111243，}，4）31，2），（{24个队得分（获胜场数）为（，2，1，1）由得分排名为（种类型，可通过以下方法给出名次排序。
该竞赛图是双向连通图，属于第2 该图的邻接矩阵为：0101????1100???A??1000??0001??级得分向8级得分向量，并依据(1) 编写一个程序，求出1~8★：量给出排名。
给出程序和运行结果（比较[272]）; gshort clear; clc; format compact; format邻接矩阵% A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0];n=length(A);%方阵A的阶数s=A*ones(n,1); disp(s');for k=2:8s=A*s; disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend'); %降序k' %排名12(2) 求元素互不相等的得分向量法得分向量为s=A*ones1????1???ones其中，??1??1??(1)=s记s(k)(k)(k-1)k级得分向量）（s称为ks =A*s=A, …*ones, k=2, 3程序如下：%双向连通竞赛图的名次排序（求元素不等的得分向量）p272_1.m%文件名：; short g; format clear; clc; format compact%A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0]; 邻接矩阵A%n=length(A);方阵的阶数13 s=A*ones(n,1); k=1;中的重复元素%unique(s)去掉s while length(unique(s))<ns=A*s; k=k+1;end级得分向% k元素不等的得分列向s'降[~,kk]=sort(s'descend);排kk'运行求元素互不相等的得分向量法程序。
运行结果（比较☆(2) [272]特征根法(3)，rA为素阵（存在正整数对于n≥4个顶点的双向连通竞赛图，其邻接矩阵r）A使，且有>0k1Aslim?k???k s为最大实特征根且为正，为其特征列向量。
λ11其中，为全列向量，双向连通竞赛图的名次排序（特征根法）%14 p272_2.m 文件名：%; ; format short g clear; clc; format compact%邻接矩阵A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0]的特征值和特征向量[,D]=eig(A);返的特征值构成的对角阵，每个特征其的列为属于该特征值的一个特征向量对应的对角线元素构成列向量返回矩D=diag(D);代替，实数的则不D=D.*(imag(D)==0);复数特征值[lamda,k]=max(D);lamda归一最大特征根对应的特征列向s=V(:,k)/sum(V(:,k));降'descend);[~,k]=sort(ss', k'[272(3)运行特征根法程序。
给出运行结果（比较序次排）6顶点的名（赛通向）验2.2（证双连竞图p270,272~273 ）如下：中图个顶点的竞赛图（教材6p2701151 23645该图的邻接矩阵为：111100????110001????001101?A??110000????100100??000100??要求：使用上题的程序。
级得分向量给出排名。
运级得分向量，并依据4(1) ☆求出1~4 ：）行结果（比较[272]16☆(2) 运行求元素互不相等的得分向量法程序。
运行结果：[273(3)运行特征根法程序。
运行结果（比较3. 公平的席位分配p278~2793.1（验证）参照惯例的席位分配方法人，63103人，乙系有其中甲系有某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，丙系有34人。
个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系有20(1)。
的“席位分配结果”个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系(2) 有21 。
的“席位分配结果”17下面是参照惯例的席位分配方法的求解函数：要求：①在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令format short g）。
②两个结果比较，合理吗？18☆题(1)（20个代表席位）的调用及结果（比较[279]表1）。
表1）（☆题(2)21个代表席位）的调用及结果（比较[279]p280~281（验证）Q值方法3.2（教材：8.4 公平的席位分配）人，63人，名学生，其中甲系有103乙系有200某学校有甲乙丙三个系共有人。
丙系有34 值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
Q(1) 有20个代表席位，采用Q个代表席位，采用值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
