当前位置：文档之家 › 第八讲随机过程功率谱及性质与计算

第八讲随机过程功率谱及性质与计算

  • 格式：ppt
  • 大小：710.02 KB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

随机信号的功率谱

随机信号的功率谱

功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。

随机信号的功率谱

随机信号的功率谱

单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽

第八讲随机过程的功率谱及性质与计算

第八讲随机过程的功率谱及性质与计算
W T l im 21 T T Tx2(t,)dt
随机过程的平均功率为
W E [W ]T l i m 2 1 T T TE {X 2(t)d }
若过程为平稳过程，
W E [W ]E [X 2 (t) ]R X (0 )
8
例 设随机过程 X(t)aco0 st [ ]
(0,2)
其中 a,为0 常量， 为 均匀分布
S()s (t)ejtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E s2(t)d t1 S ()2d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
Plim1 Ts(t)2d t T 2TT
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
缺陷:不含 相位信息
G X()T l im 2 1 TEX T(,)2Tl im 21TXT(,)2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
1.0
G X() R X()ejd R X()T l i m 2 1 T T TR X(t,t)dt
18
RX ()
GX()
2/(a22)
返回
19
RX(0)21 G X()d
16
例3、已知零均值平稳过程的谱密度为
GX()4 12 0429
求相关函数与方差。
解: 由因式分解
G X ( ) 4 1 2 4 2 0 9 2 2 9 /4 1 8 6 2 5 /4 98

《随机过程的功率谱密度》(25页)

《随机过程的功率谱密度》(25页)
随机过程的平均功率
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程: 维纳－辛钦定理
物理谱定义:
2.5随机过程的功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
平稳随机过程:
2.5随机过程的功率谱密度
0
1
例2.已知功率谱密度为
2.5随机过程的功率谱密度
二、平稳随机序列的功率谱密度对于平稳随机序列X(n), 其功率谱密度
傅里叶 变换对
2.5随机过程的功率谱密度
Z变换形式:
性质: 实平稳随机序列的功率谱是实的、非负的偶函数。
2.5随机过程的功率谱密度
三、互功率谱密度及其性质
其中:
若X(t)及Y(t)联合平稳, 有
2.5随机过程的功率谱密度
性质:
2.5随机过程的功率谱密度
例、已知随机过程Z(t)=aX(t)+bY(t)，a、b为常数，X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，求: Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)不相关时Z(t)的功率谱密度；X(t)、Y(t)分别与Z(t)的互谱密度。
随机过程的联合分布和互相关函数
二、两随机过程的相互关系互相关函数:
互协方差函数:
随机过程的联合分布和互相关函数
随机过程的联合分布和互相关函数
独立
两随机过程的相互关系:
联合平稳的定义: 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
随机过程的联合分布和互相关函数
性质:
随机过程的联合分布和互相关函数
第五讲：小 结
平稳随机过程严格平稳随机过程广义平稳随机过程平稳随机过程自相关函数性质
相关函数示意图
第五讲: 小 结
平稳随机过程相关系数相关时间

平稳随机过程的功率谱密度

平稳随机过程的功率谱密度

2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
定义为平稳过程
T
X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(
t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
SX
( )
4
2 4 10 2
9
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
( 2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi(
3i)(
2 4 3i)(
1)(
ei 1)
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.
且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π
Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
Байду номын сангаас
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度

随机过程的谱分析

随机过程的谱分析

3.2、平稳随机过程功率谱密度的性质
3.2.2、有理谱分解定理
i) rational spectral: S X ( ) ak 2k
p k 0 q
b
k 0 2 k
: (P4) p < q
s-plane
2k
S X (s) a
(s a1 )(s a 2p ) (s b1 )(s b 2q )
sin( T) 1，所以 T
2
sin(T) lim T , 0 T T
综上：
sin(T) lim T K() T T
2
又因 2T[ sin( T) ]2 x(t)，其中 x(t) 为三角波，如下图所示： T
(s 1 )(s p ) (s 1 )(s q ) S X (s)
* *
18 / 30
S (s) X
极点全在 s 左平面 零点在 s 左平面或虚轴上
极全在 s 右平面 零点在 s 右平面或虚轴上
3.3、功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理
R X ( ) < > S X ()
2
14 / 30
3.1.3、功率谱密度与复频率面
拉普拉斯变换（Laplace transformation）
x(t) X(s) : s j
LT
1 j X(s)est ds dt x (t)dt x(t) 2j j j x(t)est dt ds 1 2 j X(s) j 1 j st j x(t) X(s)eds 1 2j j 2 j j X(s)X( s)ds
X X (T, ) [a bcos( 0t )]e jt dt

第八讲 随机过程谱分析

第八讲 随机过程谱分析
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位 电阻上消耗的功率的统计平均值。
缺陷:不含任 何相位信息
2016/12/2 12
随机过程的平均功率
频域计算
任一样本函数的平均功率：
时域计算 任一样本函数的平均功率：
1 Qx 2



S x ( )d
1 Qx lim T 2T

T
T
(t ) 1 函数傅立叶变换 1 2 ( )
2016/12/2
20
（维纳-辛钦定理应用于一般（非平稳）随机过程）
对于一般的随机过程X(t)，有：
1 S X ( ) {lim T 2T


TLeabharlann TRX (t , t t )dt}e jt dt



S X ( )d
要求均值为零 这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 号（功率谱密度是离散的）， 实际中含有直流分量和周期分 量的随机过程很多。
2016/12/2
平均功率有限
RX (t ) RX (0)
2 sX
m2 X
0
t
相关函数的典型曲线
18
维纳——辛钦定理的推广（含直流和周期分量的平稳过程）
2016/12/2
7
二
随机过程的功率谱密度
样本函数是平均功率有限信号 不存在傅立叶变换（频谱） 但存在功率谱。
随机过程的特点：
如何定义随机过程的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
2016/12/2
8
x(t )
xT (t )
T

四.随机过程的功率谱密度

四.随机过程的功率谱密度

d
2RX ( d 2
)
(1)n
d
2nRX ( d 2n
)
RX ( )e j0
SX ()
a 2 SX () 2SX ()
2nS X ()
S ( 0 )
例 已知零均值平稳过程X(t)的
S
X
(
)
4
6 2 52
4
,
求RX
(
)与DX
t
.
解：S X
()
4
6 2 5 2
4
( 2
6 2 1)( 2
4)
PXY
(T
)
1 2T
T
x(t) y(t)dt
T1ຫໍສະໝຸດ X* X(T
,
)
X
Y
(T
,
)d
2
2T
下面求平均功率
A PXY (T )
1
E[PXY (T )] 2
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
2T
T ，得平均功率
PXY
lim A T
PXY (T )
lim 1
T 2
E[
X
* X
(T
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足
x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为
x(t) x(t) dt
1
x(t) lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
x(t) x(t) 2 dt

(完整word版)功率谱分析

(完整word版)功率谱分析

三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。

随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。

因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。

前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。

1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。

巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。

由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。

自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。

两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。

为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。

2.3 平稳随机过程的功率谱

2.3 平稳随机过程的功率谱
X T ( ) X T ( ) X T ( ), 故S X ( ) S X ( )
2
16
例 : 下列函数哪些是功率谱密度的正确表达式? 为什么?
2 cos(3 ) (1) ; (2) ; (3) exp[ ( 1) 2 ] 6 3 2 3 1 2

1 2
1 2 1 d
10

1 1 2 例2.3 2 已知随机电报信号的自相关函数RX ( ) (1 e ) 4 4 求其功率谱密度.
RX () 0, 不满足条件, 可引入函数解决
1 1 2 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ e ] 4 16
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () S X ()
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
x(t ), w和X T ()取决于试验的结果, 都带有一定的随机性.
4
样本函数x(t)的平均功率：
1 w lim T 2T

T
T
1 x(t ) dt 2
2
1 2 [Tlim 2T X T ( ) ] d

随机过程X(t)的平均功率：
1 1 2 E[ w] E{ [Tlim 2T X T ( ) ] d} 2 1 1 2 Tlim 2T E[ X T ( ) ] d 2 1 T lim E[ X 2 (t )] dt T 2T T
根据功率谱密度的性质来判断

第八讲随机过程的功率谱及性质与计算.

第八讲随机过程的功率谱及性质与计算.

若随机过程均值非零,则功率谱在原点有一δ函数; 若随机过程均值非零,则功率谱在原点有一δ函数; 若随机过程均值非零若含有周期分量,则在相应的频率处有δ函数; 若含有周期分量,则在相应的频率处有δ函数; 相关性与功率谱的关系为:相关性越弱,功率相关性与功率谱的关系为:相关性越弱, 相关性与功率谱的关系为谱越宽平;相关性越强,功率谱越陡窄. 谱越宽平;相关性越强,功率谱越陡窄. 1 +∞ RX (0 = ∫ GX (ωdω 2π ∞ 16
例3,已知零均值平稳过程的谱密度为ω2 + 4 GX (ω = 4 ω +10ω2 + 9 求相关函数与方差. 解: 由因式分解ω4 + 10ω2 + 9 2α α τ 由公式: e 2 2 α +ω GX (ω = ω2 + 4 = 2 × 9 / 48 6 × 5 / 48 + ω2 + 1 ω2 + 9 1 τ 3 τ RX (τ = (9e + 5e 48 RX (0 = 7 24 17
功率谱密度算例例2 设随机过程Y(t = aX(t cos(ω0t 为常量, 其中a,ω0 为常量, (t的功率谱为为GX (ω , X 的功率谱密度. 求 Y (t 的功率谱密度. a 解: Y (ω = G {GX (ω ω0 + GX (ω + ω0 } 4 RY (t, t + τ = R[Y (tY (t + τ ] a2 = RX (τ [cosω0τ + cos(2ω0t + ω0τ ] 2 +∞ GX (ω = RX (τ e jωτ dτ ∞ 2 ∫ 1 +T RX (τ = lim RX (t, t +τ dt T→∞ 2T T ∫ 18
RX (τ GX (ω 2α /( a 2 + ω 2 返回 19。

4随机过程功率谱

4随机过程功率谱

计算机与信息技术学院验证性实验报告一、实验目的：1、学会用matlab自带函数编写程序；2、掌握功率谱估计的方法。

二、实验原理：功率谱：随机信号的功率谱反映的是随机信号的频率成分及各成分的相对强弱。

功率谱估计：基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。

采用两种方法：圆周图法、自相关法（根据维纳-辛钦定理）、welch法。

（1）、平滑：是用加窗的办法对单一功率谱估计加以平滑，用于自相关法求功率谱，对自相关加窗，然后再求其傅里叶变换。

（2）、welch法是对长度为N的数据段x(n)分段时，允许每一段有部分的重叠，每一段数据用一个合适的窗函数进行平滑处理，求每段数据的DFT。

周期图法求各段功率谱估计，对各段功率谱求平均并归一化处理。

三、使用仪器计算机、matlab软件四、实验步骤1、周期图法进行功率谱估计；2、自相关法进行功率谱估计；3、welch法进行功率谱估计；4、对心电图进行功率谱估计。

五、实验过程及结果1、周期图法clcFs=1000;nfft=1024;n=0:1/Fs:1;x=sin(2*pi*100*n)+2*sin(2*pi*200*n)+3*sin(2*pi*400*n)+randn(size( n));X=fft(x,nfft);Pxx=periodogram(x);t=0:round(nfft/2-1);f=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1));plot(f,P)2、自相关法clcFs=1000;nfft=1024;n=0:1/Fs:1;x=sin(2*pi*100*n)+2*sin(2*pi*200*n)+3*sin(2*pi*400*n)+randn(size( n));X=xcorr(x);Pxx=fft(X,nfft);t=0:round(nfft/2-1);f=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1));plot(f,P)3、welch法clcFs=1000;nfft=1024;n=0:1/Fs:1;x=sin(2*pi*100*n)+2*sin(2*pi*200*n)+3*sin(2*pi*400*n)+randn(size( n));X=fft(x,nfft);[Pxx,F]=pwelch(x,33,32,nfft,Fs);t=0:round(nfft/2-1);f=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1));plot(f,P)4、对心电图进行功率谱估计clcFs=1000;nfft=1024;n=0:1/Fs:1;x=fopen('ECG');[x,cn]=fread(x,8000,'int32'); x=x';x=x(1:2:8000);X=fft(x,nfft);Pxx=abs(X).^2/length(n);t=0:round(nfft/2-1);f=t*Fs/nfft;P=10*log10(Pxx(t+1));plot(f,P)六、实验分析通过本次对随机信号功率谱估计的实验，进一步加深了对功率谱的理解，掌握了利用MATLAB编程来绘制图形的方法，通过软件的编程与运行结果，加深了对书上理论知识的理解和掌握。

《随机过程》课件

《随机过程》课件

马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。

第八讲随机过程的统计特性估计互相关函数功率谱

第八讲随机过程的统计特性估计互相关函数功率谱

Check Yourself
Consider the process X(t)=A, where A is a random variable with zero mean and variance 2. Which of following is correct?
A. X(t) is a wss RP and ergodic RP B. X(t) is a sss RP and ergodic RP C. X(t) is a sss RP and is not a ergodic RP D. X(t) is not a sss RP. but it is a ergodic RP E. None of all
随机变量
随机过程的功率谱
定义随机过程的功率谱密度为：
GX
(
)

E
lim T
1 2T
X
T
(
)
2

XT ()
T X (t)e jtdt
T
随机过程的功率谱
功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征, 表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的 平均功率的统计平均值.
(t)e
jt dt
随机过程的功率谱
Pi

lim
T
1 2T
T T
xi2 (t)dt

lim
T
1 4T

XTi () 2
d
1
2
lim 1 T 2T
XTi () 2 d
GXi
()

lim
T
1 2T
XTi () 2
1
Pi 2 GXi ()d

随机过程的自相关函数与功率谱

随机过程的自相关函数与功率谱
The rectangular pulse function with the amplitude width T & center at origin
A t s(t) = A rect( ) = T 0
S(ω) = ∫ Ae jωt dt = AT
T 2 T 2
t ≤T 2 其 它
sin(ωT 2) = AT sin c(ωT 2) ωT 2
2尺度性质则有12264频移性质则有12275时域微分与积分在区间上积分为零即信号无直流分量则上式化简为1231则有12327对偶性则有1233则有12349频域卷积则有12351或记为1235210复共轭特性则有123612373典型函数的傅立叶变换1单位脉冲函数函数定义
2.2 随机过程的自相关函数与功率谱
s(t)e
S(ω ω0 )
（5）时域微分与积分 Differential and integral in time domain 若 s(t) S(ω) , 则下列各式成立 If s(t) S(ω) , then following equalities hold:
<1> <2> <3> <4> 若
∞
∞
∞ 1 ∞ * jω(t +τ ) = dωdt ∫ sx (t) ∫ S y (ω)e π 2 ∞ ∞
1 ∞ ∞ * jωt jωτ = ∫ ∫ sx (t)e dtSy (ω)e dω 2π ∞ ∞
1 = π 2
∞ ∞
ω ω ∫ Sx ( )Sy ( )e
The self-correlation functions & power spectra of RPs
一 信号的频谱和傅立叶变换

功率谱密度的性质

功率谱密度的性质

( )

2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
CXY ( ) RXY ( ) mX mY
RXY ( ) RYX ( ) mX mY
S XY () FT[ RXY ( )] FT[mX mY ] 2mX mY ()
5、 互谱密度的幅度平方满足 : S XY ( ) S X ( ) SY ( )
根据功率谱密度的性质来判断
(1) 该函数非负的实函数且 为偶函数, 故它是功率 谱密度的正确表达式 .
(2) 该函数虽为实偶函数 , 但它可为负数 , 故不可能 成为功率谱密度的正确 表达式.
(3) 该函数虽满足非负的实 函数, 但它不是偶函数 , 故它不能成为功率谱密 度的正确表达式 .
2
2 2 例2.3.1 已知平稳随机过程的功 率谱密度为S X ( ) 4 3 2 2 求自相关函数 RX ( )和平均功率W .
16
如果平稳过程N (t )的数学期望为零, 并在整个频率 N0 范围内的功率谱为常数S N ( ) ( ) 2 则称它是白噪声过程, 简称白噪声.
N0 白噪声的自相关函数为 : RN ( ) ( ) 2
1 0 白噪声的相关系数为 : rN ( ) 0 0
f X ( x1 , x2 , )
1 1 r ( )
2

e

随机过程的自相关函数与功率谱

随机过程的自相关函数与功率谱
S( ω) =
s(t)
∞ ∞
∫ s(t)e
jω t
dt
(1.2.22)
S(ω)
s(t)
称为 称为
的频谱密度或
s(t) 的傅立叶变换;
S(ω)
的傅立叶反变换,
并将这种关系记为
s(t) S(ω)
(1.2.23)
When complex sine signals are used as basic signals, a time function signal can be written with the form of Inverse Fourier Transform as
∞
∞
∞ 1 ∞ * jω(t +τ ) = dωdt ∫ sx (t) ∫ S y (ω)e π 2 ∞ ∞
1 ∞ ∞ * jωt jωτ = ∫ ∫ sx (t)e dtSy (ω)e dω 2π ∞ ∞
1 = π 2
∞ ∞
ω ω ∫ Sx ( )Sy ( )e
i.e.
t A rect( ) AT sin c(ωT 2) T
(1.2.45)
二 相关函数和功率 The Correlation Functions & Power
1、相关函数的普遍定义（应以遍历过程为条件）
The general definition of correlation function (condition: ergodic process)
∞
1 s(t) = π 2
∞
t S( )e jω d ω ω ∫
Where
S( ω) =
∞
∞
∫ s(t)e
jω t
d t
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

14
三、平稳随机信号功率谱密度的性质
GX
()
lim T
1 2T
E
XT
(, )
2
由 XT (, ) 2 决定
•对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；
GX () 2 0 RX ( )cos d
FX ()
•物理谱定义：FX () 2GX0()
0 0
GX ()
0
•随机过程的有理谱形式：有理谱密度是实际中最常见的
jt
d
截断函数的能量：
样本函数的（时间）平均功率：
E
xT2
(t,
)dt
1
2
XT
(,
)
2
d
截断函数的 能量谱
XT (, ) 2
1
W
lim T
2T
T
x2 (t, )dt
T
lim 1 { 1 T 2T 2
XT
(,
)
2
d}
1 2
lim 1 T 2T
XT (, ) 2d
功 率
GX
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
一、什么是功率谱密度 二、功率谱密度与自相关函数的关系 三、功率谱密度的性质 四、互功率谱密度 五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用 六、白噪声
1
一 、功率谱密度的概念和定义
1、 频谱分析的基本概念 信号特征分析 时域分析 频域分析 确定性信号：幅度谱、相位谱 功率谱
11
维纳－辛钦定理的推广
四类典型信号的功率谱 功率谱密度常用来进行周期性检测
12
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
对于非平稳信号：
GX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
lim T
1 2T
T
T RX (t,t )dt
时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对
13
功率谱密度算例
平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构 成傅立叶变换对(维纳－辛钦定理)
GX ()
RX
(
)e
j
d
条件:
RX ( ) d
RX
( )
1
2
GX
(
)e
j
d
GX ()d
要求均值为零
平均功率有限
这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的
W
E[W
]
1 2
E[GX (, )]d
1 2
GX ()d
随机过程的平均功率随频率的 分布，不同的频率成分对随机 信号的平均功率的贡献。
若为各态历经过程
时域计算
任一样本函数的平均功率为
W
lim T
1 2T
T x2 (t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim T
1 2T
x(t)
T
0
xT (t)
T
t
x(t)
xT (t)
0
t T t T
2T
随机过程的样本函数及其截断函数
4
1) 样本函数的功率谱密度
样本函数的截断函数的傅立叶变换：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
Tx(t)e jtdt
T
(t, ) XT (, ) xT
1 xT (t) 2
XT
()e
T E{X 2(t)}dt T
若过程为平稳过程，
W E[W ] E[X 2(t)] RX (0)
8
例 设随机过程 X (t) acos[0t ]
其中 a,为0 常量， 为均匀分布
的平均功率X (。t)
(0,2 )
(中0,的随) 机变量，求
2
解：
E[ X
2(t)]
E[a2
cos2(0t
)]
实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
RX ()
s
2 X
mX2
0
相关函数的典型曲线 10
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ()
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无 限值用 函数表示，则维纳－辛钦定理可推广应用。
(,
)
lim T
1 2T
XT (, ) 2
谱
5
2） 随机信号功率谱密度的定义
对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均
GX
()
E[GX
(,
)]
E lim
T
1 2T
XT
(,
)
2
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
Power
10-1 10-2 10-3 1x10-4 1x10-5 10-6 10-7 10-8 10-9
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Frequency (Hz)
7
3）随机过程的平均功率与功率谱密度
频域计算：
任一样本函数的平均功率为
W
1 2
GX (,)d
随机过程的平均功率为
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2dt T 2T T
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
例1 设随机过程
X (t) a cos[0t ]
其中 a,为0常量， 为均匀分布 中(0,的2随) 机变量，求
的平均功X (率t) 和功率谱密度。
解：
RX
(
)
a2 2
cos0
GX ()
RX
(
)e
j
d
cos0 { ( 0) ( 0)}
a2 2
cos0
a2 2
{ (
0 )
(
0 )}
t
2
2、能量型信号与功率型信号
若确定信号 s(t是)时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且满
足：
s(t) dt
或
则 s(的t)傅立叶变换存在
s2(t)dt
能量有限，
能量型信号
S() s(t)e jtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E
s
2
(t)dt
1
S() 2 d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
a2 E[
2
a2 2
cos(20t
2)]
a2 2
a2 2
E[cos(20t
2)]
a2 a2 22
0
2
cos(20t
2)
2
d
a2 2
a2
sin(20t)
W lim 1 T 2T
T T
E{X 2(t)}dt
lim T
1 2T
T
a2
T 2
a2
sin
(20t
)
d
t
a2 2
9
二、功率谱密度与自相关函数关系（重点）
缺陷:不含 相位信息
GX
()
lim T
1 2T
E XT (, ) 2
1 lim
T 2T
XT (, ) 2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
6
随机性信号功率谱分析的一个例子
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100 200 300 400 500
n
随机信号：
2
1
0
-1
-2
0
100 200 300 400 500 n