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3.2导数的计算(27张PPT)

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

导数的计算(共42张PPT)

导数的计算(共42张PPT)
为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学

导数及其应用复习PPT课件

导数及其应用复习PPT课件
当 x∈ 1a，1时，g′(x)<0，g(x)＝－a2x－21x为单调递减函 数，
所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
第30页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
第24页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
第16页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
第17页/共41页
第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就

导数的综合应PPT课件

导数的综合应PPT课件

又 f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2， f(12)－f(2)＝32－2ln2＝lne3－2 ln16， ∵e3>16，∴f12－f(2)>0，即 f12>f(2)． ∴f(x)在区间12，2上的最大值 f(x)max＝f12＝1－ln2.
综上可知，函数 f(x)在12，2上的最大值是 1－ln2，最小值是 0.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
例 2：已知函数 f(x)＝1－ axx＋lnx. (1)若函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数 a 的取值范 围； (2)当 a＝1 时，求 f(x)在12，2上的最大值和最小值； (3)当 a＝1 时，求证：对大于 1 的任意正整数 n，都有 lnn>12＋ 13＋14＋…＋1n.
解析：(1)∵f(x)＝1－ ax x＋lnx，∴f′(x)＝axa－x2 1(a>0)． ∵函数 f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f′(x)＝axa－x21≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴ax－1≥0 对 x∈[1，＋∞)恒成立． 即 a≥1x对 x∈[1，＋∞)恒成立． ∴a≥1.
图4－3－3
关于导数的应用，课标要求 (1)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上 不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．

导数的概念及基本运算复习ppt课件

导数的概念及基本运算复习ppt课件

【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.

高考数学-导数-专题复习课件


)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3

《高等数学导数》课件


答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。

高等数学导数的概念ppt课件.ppt


x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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《几个常用函数的导数》ppt课件


THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
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(2)x [e, e 2 ],使得f (x) 0能成立，求实数a的取值范围。
(3)x [e, e2 ]，使得f (x) 0有解，求实数a的取值范围。
(4)设g(x) x 2 1 ln x，对x [1,2], f (x) g(x)恒成立，
求实数a的取值范围。
(5)设g(x) x 2 1 ln x，x [1,2],使得f (x) g (x)成立，
4
函数的单调性问题
1.解题思路：（学生训练的重点） 定义域 求导 数轴标根 列表
得单调性
核心：数轴标根
2.含参的单调性的讨论：（导数的正负分布 情况） 导数正负分布通常最后在一次和二次的正负 分布上，所以对一次和二次的讨论重视。
5
关于一次函数正负讨论：（本质解一元一次不等式）
形式：y
ax
b
y
y
10
直接求函数的极值和最值
[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的 图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜 率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值
11
恒成立问题
恒成立形式：
x [m, n], f (x) 0恒成立 x [m, n], fmin(x) 0
12
求函数的最值问题
基本函数： （一次函数，二次函数，分式函数，其他） 说明：（1）二次函数适当的介绍根的分布。 (函数的导数为二次函数，讨论极值在某个区 间时，求参数的范围）
（2）分式函数用分离变量法（圆锥曲线） （3）其他用导数法。
13
求函数最值的方法：
1.直接求最值。 2.分离参数法。 说明： 一个函数一个变量 分离参数 两个函数一个变量 移项 分离参数 两个变量 直接求最值
x [m, n], f (x) 0恒成立 x [m, n], fmax(x) 0
能成立形式： x [a,b], 使得f (x) 0成立 x [a,b], fman (x) 0 x [a,b], 使得f (x) 0成立 x [a,b], fmin (x) 0
解题思路：两种问题转化成最值问题
求实数a的取值范围。
(6)设g (x) x 2 2x 4，若a 0，对x1 [e, e2],x2 [0,1], 使得f (x1 ) g (x2 )恒成立，求实数a的取值范围。 (7)若a 0，对x1 [e, e 2 ]，x2 [0,1]使得f (x1 ) f (x2 )， 求实数a的取值范围。
已知函数 求函数 f (x) 的极值
7
关于二次函数正负分布：
对于 y ax2 bx c考虑要点：
（1.a 2.开口 3. 4.根的大小）
a 0 y bx c 数轴标根 得单调性
a 0
a
0
a
0
0 0
导数 0 得单调性
x1 x2 标根 得单调性
14
[2014·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x
＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－5，－3] B.8(9)C．[－6，－2] D．[－4，－3]
15
例题：
函数f (x) ax ln x(a R)
(1)x [e, e 2 ], f (x) 0恒成立，求实数a的取值范围。
4x
2
且曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y 1 x 2
(1)求a的值
(2)求函数f (x)的单调区间和极值
9
(2014山东卷）设函数f (x) a ln x x 1，其中a为常数 x 1
（1）若a 0，求曲线y f (x)在(1, f (1))处切线方程 (2)讨论函数f (x)的单调性
ax 1(x和lnபைடு நூலகம்xa
x、e
x处理方法一样）
例题：
[2014年四川理（21）]
已知函数f (x) e x ax2 bx 1，
（1）设g(x)是函数f (x)的导函数，
求函数g ( x)在区间[0,1]上的最小值
（2013福建数学（理） 已知函数
(2)求函数 的极值.
6
（2013年高考福建卷 （文））
(1)求a的值
3
(2014山东卷）设函数 f (x) a ln x x 1，其中a为常数 x 1
（1）若a 0，求曲线 y f (x)在(1, f (1))处切线方程
(2014全国新课标1）设函数f (x) a ln x 2(1 a)x2 bx(a 1)， 曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线斜率为0， （1）求b
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
17
题型二：涉及函数的零点（方程的根，曲线交 点）的问题 2012年高考（大纲理））已知函数
导数知识点和题型汇总
考察知识点： 1.切线斜率。 2.函数的单调性。 3.函数的极值、最值。 4.恒成立问题。
1
切线的斜率问题
1.切点P(x0,y0) 2.切线斜率：k切 f / (x0 )
3.切线方程：y y0 k切 (x x0 )
4.切点在切线上 5.切点在曲线y=f(x)上 注意细节：“在点”和“过点”的区别
(8)若a 0，x1 [e, e 2 ],对x2 [0,1]，使得f (x1 ) g (x2 )，
求实数a的取值范围。
16
题型一：已知函数在某个区间的单调性，求 参数的范围
[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln
x
在区间(1，＋∞)单调递增，
则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
2
高考题汇编
[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－
3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线 与x轴交点的横坐标为－2. (1)求a；
(2014重庆卷）已知函数f (x) x a ln x 3 ,其中a R,
4x
2
且曲线y f (x)在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y 1 x 2
x1
x2
标根 得单调性
细节：- b b 2 4ac b b 2 4ac
2a
2a
8
高考题汇编
（2014 天津卷）已知函数 f (x) x2 2 ax3 (a 0), x R 3
(1)求f (x)的单调区间和极值。
(2014重庆卷）已知函数f (x) x a ln x 3 ,其中a R,