《对一道数学题的展开》(教育文稿)
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对一道数学题的展开
初二数学组 杨檬
在数学复习教学中，选好一道例题。
通过一题多思，一题多解，一题多讲。
可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。
例题：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且191=+
y x ，求ｘ＋ｙ的最小值。
法一：均值不等式法
12
12
(26
9916911,的最小值是⑶时取等号）当且仅当⑵
又时取等号）即（当且仅当⑴
y x y x y x xy y x xy x y y
x xy y x R y x +∴≥+∴=≥+≥∴==≥+=∴∈+
此题答案有误。
因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。
但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。
此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。
此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。
法2，1的妙用
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛===≥++=++=+∴=+时取等号时即当且仅当12,4916910)91)((191y x y x x y y x x y y x y x y x y
x
8)11)(11)(11,1,,,≥---=++∈+c
b a
c b a R c b a 求证（又如 c
b a
c b a abc c b a 111,1,,++<++=求证是不等正数且再如 法3，构造x+y 不等式法
可得得（由2)2
10(9)9)(1191-+≤=--=+y x y x y x 变式：已知x+xy+4y=5 （x,y ∈R ＋）求xy 取值范围
法4，换元后构造均值不等式法
时取等号）即当且仅当所以得由41
91(16
1
91101
99)1(1
99191=-=-≥-+-+=-++=+>-+==+x x x x x x x y x x x y y x 法5，用判别式法
的最小值。
的范围从而得到解得且可由△的二次方程得关于则令得由y x z z z z z z z x z x x x x x x x x z z y x x x x y y x +>--+-≥--==+-+-+=-+==+>-==+02
4)8(804)8(0
)8(1
819,)1(1
91912222
注意实根分布情况讨论。
类似地，如2x+y=6,求y x 11+的范围也可用判别式法。
法6，三角代换法
16
)(cot 9)(tan 10)csc 9(sec ,)(sin 9,)(cos 1222222≥++==+==θθθθθθ（＋）则令y x y x
变：0<x<1,a>0,b>0，则x
b x a -+122的最小值 法7，导数法
)(40),1(1
99，此极值必为最值在区间内有一个极值点中，=='>-+
+=x z x x x z 以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。
通过一道例题讲解即可复习多种方法。
