第3讲 导数的应用(二)A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·北京东城模拟)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A2．(2013·苏州一中月考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6. 答案 B3．(2013·南川质检)函数y ＝ln 2x x的极小值为( )．A.4e2 B ．0C.2eD ．1解析 函数的定义域为(0，＋∞)， y ′＝2ln x －ln 2x x 2＝－ln x ln x －2x2. 函数y ′与y 随x 变化情况如下：x (0,1) 1 (1，e 2) e 2(e 2，＋∞)y ′ －＋－y4e2则当x ＝1时函数y ＝x取到极小值0.答案 B4．(2013·南京模拟)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )．A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (－2)与f (2)D ．f (2)与f (－2)解析 由图象知f ′(2)＝f ′(－2)＝0.∵x >2时，y ＝x ·f ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上单调递增；同理f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y ＝f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________． 解析 ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案 46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋6x ＋e 2－5e －2，x ≤e，x －2ln x ，x >e(其中e 为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f (6－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤e，1－2x，x >e ，当x ≤e 时，f ′(x )＝6－2x ＝2(3－x )>0，当x >e 时，f ′(x )＝1－2x ＝x －2x >0，∴f (x )在R 上单调递增．又f (6－a 2)>f (a )，∴6－a 2>a ，解之得－3<a <2. 答案 (－3,2) 三、解答题(共25分)7．(12分)(2011·北京)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，k －1)k －1(k －1，＋∞)f ′(x ) －＋f (x )－ek －1所以，f ( (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－ek －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.8．(13分)(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12e π2 C ．[1，e π2]D ．(1，e π2)解析 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，且只有在x ＝π2时，f ′(x )＝0，∴f (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.故应选A.答案 A2．(2013·潍坊一模)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 因为f (x )有两个极值点x 1，x 2，所以f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2≥0，f ′－1≤0，f ′1≤0，f ′2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，画出可行域如图所示．因为f (－1)＝2b －c ，由图知经过点A (0，－3)时，f (－1)取得最小值3，经过点C (0，－12)时，f (－1)取得最大值12，所以f (－1)的取值范围为[3,12]．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________． 解析 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上， 故－m ＋n ＝2.①又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3.②联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2， 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]． 答案 [－2，－1]4．(2013·合川调研)已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________．解析 ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax2(a >0)，∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.答案 [1，＋∞) 三、解答题(共25分)5．(12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点， 所以d ＝0.故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点等价于f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0得a ∈[1,9]．即a 的取值范围是[1,9]．6．(13分)(2012·新课标全国)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.(1)求f (x )的解析式及单调区间；(2)若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．解 (1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ex －1－f (0)＋x .所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.由于f ′(x )＝e x－1＋x ，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x－(a ＋1)x ≥b .①(i)若a ＋1<0，则对任意常数b ，当x <0，且x <1－b a ＋1时，可得e x－(a ＋1)x <b ，因此①式不成立．(ii)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0. (iii)若a ＋1>0，设g (x )＝e x－(a ＋1)x ， 则g ′(x )＝e x－(a ＋1)．当x ∈(－∞，ln(a ＋1))时，g ′(x )<0； 当x ∈(ln(a ＋1)，＋∞)时，g ′(x )>0.从而g (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在(ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增． 故g (x )有最小值g (ln(a ＋1))＝a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)． 所以f (x )≥12x 2＋ax ＋b 等价于b ≤a ＋1－(a ＋1)·ln(a ＋1)．②因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)．设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)，则h ′(a )＝(a ＋1)[1－2ln(a ＋1)]．所以h (a )在(－1，e 12－1)上单调递增，在(e 12－1，＋∞)上单调递减，故h (a )在a ＝e 12－1处取得最大值．从而h (a )≤e 2，即(a ＋1)b ≤e2.当a ＝e 12－1，b ＝e 122时，②式成立．故f (x )≥12x 2＋ax ＋b .综上得，(a ＋1)b 的最大值为e2.。
高考总复习2025第2节 利用导数研究函数的单调性课标解读1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.体会导数与单调性的关系.1 强基础 固本增分知识梳理函数的单调性与导数条件导数的符号函数的单调性函数f (x )在区间(a ,b )内f '(x )>0不等式中不带“=”f (x )在(a ,b )内 f '(x )<0不等式中不带“=”f (x )在(a ,b )内 单调递增 单调递减 微思考“函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0”是“f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)”的什么条件?提示充分而不必要条件.若函数f(x)在区间(a,b)内的导数大(小)于0,则必有f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),但反之不一定,例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(x)=3x2≥0.微点拨利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f (x )在其定义域上有f '(x )<0,则f (x )在定义域上单调递减.( )2.若函数f (x )在(a ,b )内恒有f '(x )≥0,且f '(x )=0的根为有限个,则f (x )在(a ,b )内单调递增.( )3.一个函数在某一范围内变化得越快,其导数就越大.( )4.若函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在R 上单调递增,则a 2-3b <0.( )× √ × ×题组二回源教材5.(湘教版选择性必修第二册1.3.1节例1改编)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .6.(湘教版选择性必修第二册1.3.1节练习2(4)改编)函数f(x)=sin x-x在(0,π)内(0,π)的单调递减区间是 .解析由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).题组三连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=a e x-l n x在区间(1,2)内单调递增,则a的最C小值为( )A.e2B.eC.e-1D.e-28.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是 .解析由题意得f'(x)=a x·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=a x·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对∀x>0恒成立.2 研考点 精准突破考点一 求不含参数函数的单调区间例1(1)(2024·吉林长春模拟)函数f (x )=x -2l n (2x )的单调递减区间为( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)C(2)已知函数f(x)= +1,则函数f(x)的单调递减区间为 . (-∞,-1)和(1,+∞)解析函数f(x)的定义域为R,f'(x)= ,令f'(x)<0,解得x>1或x<-1,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).(3)函数f(x)=e-x cos x,x∈(0,π)的单调递增区间为 .(4)(2024·福建宁德模拟)函数f(x)=x2e x-e(x+2l n x)的单调递增区间是(1,+∞) .考点二 讨论含参数函数的单调性例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=(x-2)(a e x-x).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.解(1)因为f(x)=(x-2)(a e x-x),所以f'(x)=a e x-x+a e x(x-2)-(x-2)=(x-1)(a e x-2).当a=4时,f(0)=-8,f'(0)=-2,所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y+8=-2x,即2x+y+8=0.(2)由(1)知,f'(x)=(x-1)(a e x-2).①当a≤0时,a e x-2<0,当x∈(-∞,1)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.[对点训练1](2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6m x(x∈R),试讨论函数f(x)的单调性.解因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).①若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.②若-m<-1,即m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增;当x∈(-m,-1)时,f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)内单调递减.③若-m>-1,即m<1,当x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增;当x∈(-1,-m)时,f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)内单调递减.综上,当m=1时,f(x)在R上单调递增;当m>1时,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)上单调递增,在(-m,-1)内单调递减;当m<1时,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)上单调递增,在(-1,-m)内单调递减.考点三 与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)考向1辨析图象问题例3(1)(2024·陕西西安联考)已知定义在[-3,4]上的函数f(x)的大致图象如图所示,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式xf'(x)>0的解集为( )C(2)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,若f(2)=0,则y=f(x)的图象大致为( )D解析由y=f'(x)的图象可知,当0<x<1时,0<f'(x)<1,则在区间(0,1)内,函数y=f(x)单调递增,且各点处切线的斜率的取值在区间(0,1)内.对于A,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上各点处切线的斜率均小于0,故A 不正确;对于B,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上存在点,在该点处切线的斜率大于1,故B不正确;对于C,在区间(0,1)内,函数y=f(x)的图象上存在点,在该点处切线的斜率大于1,故C不正确;对于D,由y=f'(x)的图象可知,当0<x<1时,0<f'(x)<1,当1<x<3时,f'(x)<0,当x>3时,f'(x)>0,所以函数y=f(x)的图象上各点处切线的斜率在区间(0,1)内,在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,3)内单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,而函数y=f(x)的图象均符合这些性质,故D正确.故选D.考向2解不等式或比较大小问题C(2)(2024·福建南平模拟)已知函数f (x ),g(x )在R 上的导函数存在,且f '(x )<g'(x ),记a =log 52,b =log 83,则( )A.f (a )>g(a )B.f (a )<g(a )C.f (a )+g(b )>g(a )+f (b )D.f (a )+g(b )<g(a )+f (b )Cc=f(1.5),则( )CA.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c考向3根据单调性求参数的值或取值范围例5(2024·陕西西安模拟)若函数f (x )=x 2-ax +l n x 在区间(1,e)内单调递增,则a 的取值范围是( )A.[3,+∞) B.(-∞,3] C.[3,e 2+1] D.[3,e 2-1]B变式探究1(变条件变结论)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x的单调递减区间是3( ,1)”,则实数a的值等于 .(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是 .(变条件)本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是 .规律方法根据函数单调性求参数的值或取值范围的类型及解法已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式(组)求解已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上有解求解已知函数f(x)在区间I上不单调方法一:转化为f'(x)=0在I上有解,求解后注意验证;方法二:运用补集思想,先求f(x)在区间I 上单调时参数的取值范围,再取其补集考点一考点二考点三[对点训练3]设函数f (x )= x 2-9l n x 在区间[a -1,a +1]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]A。
