附录2-变分原理

变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。

它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。

变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。

要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。

泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。

对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。

而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。

以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。

我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。

为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。

于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。

然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。

将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。

由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。

根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。

这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。

总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。

变分原理变分原理变分原理是⾃然界静⽌（相对稳定状态）事物中的⼀个普遍适应的数学定律，或称最⼩作⽤原理。

例如：实际上光的传播遵循最⼩能量原理：在静⼒学中的稳定平衡本质上是势能最⼩的原理。

⼀、举⼀个例⼦（泛函）变分法是⾃然界变分原理的数学规划⽅法（求解约束⽅程系统极值的数学⽅法），是计算泛函驻值的数学理论。

在理论上和实践上均需要放宽解的条件。

因此，引⼊弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。

在讨论⼆阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。

Poisson ⽅程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson ⽅程的Neumann 问题(N)=??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这⾥)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满⾜01,=+ΓΩg f d x其中的对偶积表⽰)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯⼀的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ?v vH v RH ,V v ∈? 可以得到唯⼀解。

实际上，由定理5.8推出RH v/)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v. 定义双线性泛函R V V →?:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈=?,?,?,?),,()?,?（和线性泛函V v vv u g fdx vΩ??,?,,?:. 其右端与v v ?∈⽆关。

因此v ?中的元素仅仅相差⼀个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利⽤范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ?,)()?(,1,2/1,0∈?+≤ΓΓ-Ω，从⽽Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ??)?,?(,1,1≤≤ΩΩ 22,1?)?,?(V u u u uB γ≥=Ω也就是，双线性形式)?,?(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。

变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。

它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。

变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。

变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。

它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。

作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。

换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。

在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。

通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。

拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。

变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。

泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。

在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。

这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。

变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。

这个变化就是变分，通常用符号δ表示。

然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。

最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。

在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。

它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。

总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。

它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。

变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。

变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。

变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。

在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。

首先，让我们来看一下变分法的基本原理。

对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。

为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。

现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。

我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。

那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。

为了实现这一目标，我们引入变分。

对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。

然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。

通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。

这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。

通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。

解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。

这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。

这就是变分法的基本原理。

除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。

例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。

在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。

在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。

总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。

§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。

能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。

而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。

．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。

9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。

表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。

显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。

静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。

9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。

几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。

变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。

泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。

【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。

泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。

要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。

步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。

变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。

步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。

变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。

步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。

然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。

这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。

步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。

这个最优解是使得泛函取得极值的函数。

【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。

【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。

例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。

此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。

【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。

它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。

变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。

它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。

【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。

【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。

在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。

2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。

在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。

3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。

在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。

【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。

2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。

3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。

【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。

通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。