根与系数的关系(给力)-思博(含答案拔高)

2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：61一元二次方程根与系数的关系附答案知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。

精典例题：【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

【问题二】已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

答案精典例题：【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

分析：设另一根为1x ，由根与系数的关系可建立关于1x 和k 的方程组，解之即得。

答案：25，－1 【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+略解：（1）2221x x +＝212212)(x x x x -+＝417（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝213（3）原式＝)32()(2222221x x x x -++＝5417+＝4112【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

根与系数的关系一．韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．二．韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥）我们有如下结论：1．1200c x x a <⇒<，若0b a -≥，则12x x ≥；若0ba -<，则12x x <．2．1200c x x a >⇒>．若0b a ->，则120x x ≥>；若0ba -<，则210x x ≤<．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：（1）121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <（2）12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > （3）12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立知识精讲三点剖析题模精讲题模一：韦达定理例 4.1.1若方程240x x c-+=的一个根为2+，则方程的另一个根为______，c=______．【答案】21c=【解析】根据韦达定理，124x x+=，因为12x=+，所以22x=，所以(12221c x x=⋅==例4.1.2如果a，b都是质数，且213a a m-+，2130b b m-+=，求b aa b+的值．【答案】当a b=时，2b aa b+=；当a b≠时，12522b aa b+=【解析】当a b=时，2b aa b+=；当a b≠时，a、b为方程2130x x m-+=的两个根，所以13a b+=，则2a=，11b=或2b=，11a=．所以21112511222b aa b+=+=．例 4.1.3设1x、2x是方程()222120x k x k-+++=的两个不同的实根，且()()12118x x++=，则k的值是．【答案】1k=【解析】由根与系数的关系得()1221x x k+=+，2122x x k⋅=+．且有()()224142840k k k∆=+-+=->，即12k>．所以()()12118x x++=．从而2230k k+-=，解之得3k=-或1k=．又12k>，所以1k=．例4.1.4已知关于x的方程211300x x a-++=的两根都大于5，求a的取值范围．【答案】14a<≤【解析】设1x，2x是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x xx x ax xa--=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得14a<≤．随练 4.1 已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n +=_______． 【答案】 3【解析】 由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=有一个根是52-，所以方程的另一个根是52--．由韦达定理知：(52)(52)m -=--+-，(52)(52)n =--⨯-∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练4.2 已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值． 【答案】 -1【解析】 有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练4.3 已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】 52m >【解析】 设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<， 因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练4.4 如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值 【答案】 当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当13a b ==-+时，1131a b+=+，当13a b ==--时，1113a b+=- 随堂练习【解析】 由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+1121a b a ∴+==；当1a b ==-1121a b a ∴+===-。

专题3 巧用根与系数关系解题知识解读根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12cx x a ⋅=；反之，如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b cx x a a++=的两个根．数学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，1211x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩：；（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（5）有一根为0，必有0c a=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0ba -<．培优学案典例示范例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程． 【解答】 跟踪训练1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程． 【提示】只需求出221211x x +和221211x x ⋅的值． 【解答】2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根． 例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！【解答】 跟踪训练1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22123x x +=，求m 的值． 【提示】先把2212x x +变形为()212122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值． 【解答】2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．【提示】将原式变形为()2121231680x x x x +-=-． 【解答】例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式． 【解答】 跟踪训练若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()21212x x x x ++的最小值．【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围． 【解答】例4 已知βα，是方程0132=-+x x 的两个根，求βαα-+22的值.【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312-=，所以原式()4311=+=+-=βα.技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能另辟蹊径.易求31,3122ββαα-=-=，所以原式()()()43123131123222222=+++=++=---+=αββαβαβαα.技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法： （1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即23-=m ，又122-=-=n m αβ，故4132=n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=2222B A ，，则有()822=++-+=+βααββαB A ，()()03--=++=βαβαB A .两式相加，得82=A ，所以422=-+βαα.技巧4：常值代换.常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式，一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.易得312+=α，所以原式()43332222=++=+-+=ααβαααα.技巧5：拆项转化.拆项转化就是围绕“将未知式转化为已知式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多重拆法，下面给出两种拆法：（1）()413222=+-=--+=-+βαβαααβαα.（2）()()()()432313231322222=-⨯++-=-++-=-++=-+βαββααββααβαα.技巧6：减元转化.消元作为一种数学思想，不仅能够用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或已知式，下面给出几种转化方法：（1）由题意，得()βββα--=-=+33，.所以原式()4333222=++=---+=ααααα.（2）由题意，得αβαβ11=-=，.所以原式()431131222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=ααααααα.（因为0132=-+αα，所以31-=-αα）总之，求两根非对称式值的四路是灵活多样的，这诸多的思路都体现了“利用条件把非对称式转化为对称式或已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值的问题时，就会有新的发现。

测试7 一元二次方程根与系数的关系 编号015【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则a b x x -=+21，a cx x =∙21 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x0,0)3(21<>x x 时，有021<=∙acx x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x(x x )x x x -++=【例题巧解点拨】1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根21,x x 为________________________，21x x += ， 21x x ∙=2．已知一个根，求另一个根.例2：已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值例3：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) x 13x 24+x 14x 23；2112)2(x x x x +4．求作新的二次方程例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是 . 2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+15．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

例5：1、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。

2、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足10091)1)(1(=---βα，求m 的值。

专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（能力提升）（解析版）一、选择题。

1．（2022•盘龙区一模）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【答案】A。

【解答】解：方程x2+mx﹣1＝0的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．（2022春•定远县校级月考）以和为根的一元二次方程是（ ）A．x2﹣10x﹣1＝0B．x2+10x﹣1＝0C．x2+10x+1＝0D．x2﹣10x+1＝0【答案】D。

【解答】解：根据题意得：x2﹣（5+2+5﹣2）x+（5﹣2）（5+2）＝0，整理得：x2﹣10x+1＝0．故选：D．3．（2022•宁波模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（ ）A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13【答案】B。

【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1＝0，∵Δ＝25﹣4＞0，∴a+b＝﹣5，ab＝1．故a、b均为负数．因此．故选：B．4．（2021秋•姜堰区期末）方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（ ）A．4B．﹣4C．3D．﹣3【答案】A。

【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝4．故选：A．5．（2022•运城二模）已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）A．a≥﹣2B．a＞﹣2C．a≥﹣2且a≠0D．a＞﹣2且a≠0【答案】C。

【解答】解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2且a≠0．故选：C．6．（2021秋•汉阳区期中）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两根，则x13﹣4x22+20等于（ ）A．1B．5C．11D．13【答案】A。

1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ； （2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ）（A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 7、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 答案：。

根与系数的关系系数与方程根之间存在着紧密的联系，在解方程、求根等数学问题中起着重要的作用。

本文将探讨根和系数之间的关系，并探讨其在代数计算和现实生活中的应用。

一、根和系数的定义及关系根是指方程中使方程成立的未知数的值，可以是实数或复数。

而系数是方程中未知数的前面的数字或字母，用来表示未知数的倍数。

根和系数之间的关系可以用代数方程的一般形式来表达，即 a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，其中 a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是系数，x 是未知数。

二、根与系数之间的基本关系1. 根的个数与系数的关系：根的个数和方程的次数有关。

一个次数为 n 的方程最多有 n 个不同的复数根，其中包括重根。

具体而言，如果方程的系数全都是实数，则他的复数根都是成对出现的，即复数根共轭存在。

而如果方程的系数是复数，则有可能出现零个、一个或多个根。

2. 根与系数的关系及运算法则：（1）根与系数之间的关系可以由 Vieta's formulas 给出。

Vieta's formulas 断言，在一个 n 次方程的 n 个根 x_1,x_2,...,x_n 中，这些根的和等于方程的倒数第二个系数的相反数，即x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n。

而这些根的乘积等于最后一个系数与首项系数的比值的相反数，即x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n。

（2）在解方程时，根与系数之间的关系也可以通过韦达定理进行推导。

韦达定理指出，对于一个 n次方程a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0，如果 x_1, x_2, ..., x_n 是方程的 n 个根，则它们满足以下关系：x_1 + x_2 + ... + x_n = -a_{n-1} / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_n = (-1)^n * a_0 / a_n，x_1 * x_2 * ... * x_{n-1} = (-1)^{n-1} * a_1 / a_n，以此类推。

招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故选B ．【例2】．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（）A．-13 B．12 C．14 D．15【答案】B招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【答案】A【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x 1+x 2=﹣b ，x 1x 2=﹣3，∴x 1+x 2﹣3x 1x 2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.【例4】已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若+=4m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ）A ．﹣8B ．8C ．16D ．﹣16【答案】C ．【解析】试题分析：∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，∴2m -=﹣1，2n =﹣2，∴m =2，n =﹣4，∴m n =（﹣4）2=16．故选C ．招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是（）A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16【答案】A。

专题根与系数的关系含答案专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x 的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m 的值．）=0．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+12（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-5x +4a -2=0的一个根为x =3．（1）求a 的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根，当a 为何值时，x 12+x 22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2. ∴△=b 2-4ac =[-（2m -1）]2-4m （m -2）=4m +1＞0，例3. 解得：m ＞-14，∵二次项系数≠0，∴m ≠0，例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根；例5. （2）∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2α?1α，x 1x 2=α?2α，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2α?1α）2-3(α?2)α=2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4α±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0 例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4?3αα，x 1?x 2=2α?8α，例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)24α2α1-12m =√(4?3αα)24×2α?8α-12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26.∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根，例28. ∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，例30. ∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．例31. ∵m＞2，例32. ∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，例33. ∴x1＞0、x2＞0．例34. ∵x12+x22=(α1+α2)2-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，例35. ∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，例36. 解得：m=3．例37.）=（2k-3）2≥0，例38. 证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-12例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；例42. （3）①当b=c时，则△=0，，例43. 即（2k-3）2=0，∴k=32例44. 方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45. ②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-1）=0，2例46. ∴k=52，例47. 方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，例48. ∴c=2，C△ABC=10，例49. 当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，例50. 综上所述，△ABC的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α，αβ=2α，∵1α+1α=1，∴α+2α2α=α+22=1，解得m=0，∵m≠0，∴m无解．2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{ α1+α2=2α1+3α2=3，解得{α1=32α2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1，所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{α1+α2=6 2α1+α2=14，解之得：{α1=8α2=?2，∴x 1?x 2=-k 2=-16，∴k =±4．5.解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0，解得：k ＜512；（2）∵k ＜512，∴x 1+x 2=2k -3＜0，又∵x1?x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=1，k2=-2，又∵k＜5，12∴k=-2．m-3）=（m-3）2+3＞0，6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（12∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：m-3=09-3（m-2）+12．解得m=2457.解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴α≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时，x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12?2)2?4=12，即最小值为12．。

1.3一元二次方程的根与系数的关系【推本溯源】1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？20ax bx c ++=x 1x 2x 1+x 221x x ⋅a b -ac 2320x x -+=1232322320x x ++=－1－2-32-322560x x -+=2356562560x x ++=－2－3-56-56230x x -=0333从上图发现，如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是1x 、2x ，那么21x x +21x x ⋅证明：因为当042≥-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是=1x =2x 所以，21x x +；21x x ⋅因此，如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21.注意它的使用条件为a ≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的推论推论1：如果方程x ²+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1*x 2=q ；推论2：以x 1，x 2的一元二次方程（二次项系数为1）是x ²-（x 1+x 2）+x 1*x 2=0.3.根与系数的应用不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++= ；③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=；⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -=；⑩12||||x x +===【解惑】【摩拳擦掌】【知不足】1．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，且123x x =，则m 的值为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出128x x +=，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、，∴128x x +=，【一览众山小】1．（2023春·湖南怀化·八年级校考期中）若1x ，2x 是方程220x x +-＝的两实数根，则2122x x -+的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2112x x =-+，则2122x x -+化为12()4x x -++，再利用根与系数的关系得到121x x +=-，然后利用整体代入的方法计算．343321=-⨯-⨯=-，故答案为：21-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=-=-+，代入12122x x x x ++⋅=，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，∴()()22242480m m m m ∆=--+=->，解得m>2，∵212122,2x x m x x m m +=-=-+，12122x x x x ++⋅=，∴2222m m m -+-+=，解得123,0m m ==（不合题意，舍去），∴3m =故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．12．（2023·全国·九年级假期作业）关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=有两个实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若Rt ABC △的两条直角边AC BC 、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边6AB =，求ABC 的周长．【答案】(1)2m ≥(2)14。

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系从暑假开始,我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中的第六章解直角三角形.一、基本内容1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数的次数最高是2的整式方程叫一元二次方程.2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)3.解法:①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)的形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得:513±=-x 513±=x 351,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x解:1232=-x x 31322=-x x 913191322+=+-x x 94)31(2=-x 3231±=-x 3231±=x 31,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式的推导用这种方法.③公式法:)0(2)0(02≥∆∆±-=≠=++ab x ac bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0的形式,变成两个一元一次方程来解.4.根的判别式:△=b 2-4acb 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根.b 2-4ac<0 方程无实根.b 2-4ac ≥0 方程有实根.有三种应用:①不解方程确定方程的根的情况.②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等)利用Δ建立不等式求m 或k 的取值范围.③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.5.根与系数间的关系,某x 1,x 2是ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根,则ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 应用:①不解方程,求方程中m 或k 的值或另一根.②不解方程,求某些代数式的值.③利用两根的关系,求方程中m 或k 的取值范围.④建立一个方程,使它与原方程有某些关系.⑤一些杂题.二、本次练习:(一)填空题:1.关于x 的方程mx mx m x x -=-+2223是一元二次方程,则m=____.2.将方程4x 2-kx+k=2x-1化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是____,常数项是____.3.代数式(x+2)2+(x-2)2的值与8(x 2-2)的值相等,则x=____.4.x x 252-+( )=(x- )2 5.方程2x 2+(k-1)x-6=0的一个根是2,则k=____.6.已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1,x 2,则2221x x +=____;2112x x x x +=____; 3231x x +=____;2111x x +=____;||21x x -=____. 7.已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.8.以3和32-为根的方程是____. 9.以235,235-+为根的方程是____. 10.以2x 2-3x-1=0的两根平方和及倒数和为根的方程是____.11.以2x 2-5x+1=0的两根平方根的方程是____.12.以比3x 2-2x-4=0的两根大3的数为根的方程是____.13.以2x 2-3x-1=0的两根的相反数为根的方程是____.14.已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m 的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m 互为倒数,则m=____.15.关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0的两根差的平方是16,则m=____.16.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2=1有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.17.关于x 的方程(k-2)x 2-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.18.已知方程kx 2-2kx+k=x 2-x+3有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.19.关于x 的方程2x(kx-4)-x 2+6=0无实根,则k 的最小整数值是____.20.已知2x 2+(2m+1)x-m=0的两根平方和是413,则m=____.21.设x 1,x 2是关于x 的方程x 2+4k+3=0的两实根.y 1,y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.22.已知关于x 的方程2x 2+2x+c=0的根是x 1,x 2,则3||21=-x x ,那么c 的值是____.(二)解下列方程 1.030222=-+x x2.0532=--x x3.)5(2)5(32x x -=-4.8)12(212=-x 5.)(02722用配方法=+-x x6.0432=+-x x7.04)(22=--+ab x b a x 8.013482=--x x 9.)1(2322+=x x10.0)(222=---ab x b a abx11.0)23(22=-+--n n m x m x。

对于一元二次方程不相等的实数根，则有下列两个关系式：以上叙述的规律称之为韦达定理。

该定理只阐述了一元二次方程两根之和以及两根之积和系数的关系，所以在解题过程中，目标就是要通过恒等变换（不改变原来的值）出现。

以下是经常涉及到的几种变换。

（1）（2）（4）（5）2212121212()x x x x x x x x +=+Let’s go!一元二次方程根与系数的关系练习题A 组一、想一想，填一填。

1．关于的一元二次方程的两根为，则，；若方程的两根为，则， . 2．设一元二次方程的两个实数根分别为，则，. 变换原理：5.已知是方程的两个根，则， .6.若方程的两根为和，则， .7.已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根是 .8.设是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为二、看一看，选一选.9.一元二次方程的两根之积是（）A.-1B.-2C.1D.210.若方程有一正实根和一负实根，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.关于x的一元二次方程的一个根为2，则的值是（）A. B. C. D.12.设一元二次方程的两个根分别是，则下列等式正确的是（）A． B. C. D.13.分别以一元二次方程的两根的和与积为根的一元二次方程是（）A. B. C. D.14.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，且，则的值是（）A.8B.-7C.6D.515.关于的一元二次方程，当时，则有（）A.两根都是正数B.两根都是负数C.两根异号，且正根的绝对值较大D.两根异号，且负根的绝对值较大16.如果一元二次方程的两个根分别比一元二次方程的两个根均大5，则的值是（）A.5B.-5C.1D.三、试一试，答一答.17.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：18.当取何值时，方程分别适合下列条件：（1）两根之和等于2 （2）两根互为倒数（3）两根互为相反数（4）有一个根为019．如果-1是一元二次方程的一个根，求它的另一个根.B组20.已知关于的方程，如果方程的两个不相等的实数根的平方和等于15，求m的值.21.已知关于的一元二次方程.（1）如果此方程有两个不相等的事实根，求的取值范围（2）如果此方程有两个实数根为，且满足，求的值22.已知关于的方程.问是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.23.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且.（1）求的值（2）求的值课后总结：在解决一元二次方程的根与系数关系时，一定注意暗含的两个前提条件，即只有这样才能达到事半功倍的效果。

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m 的值．
例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m 的值．
例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
m，且点B （2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-1
2
（m，n）在x轴上，求m的值．
.
例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．。

一元二次方程根与系数的关系（附答案）分评卷人得小题）6一．选择题（共2），下列说法正确的是（ +4x﹣．已知关于1x的一元二次方程3x5=0．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个相等的实数根A．无法确定C．没有实数根D2）的取值范围是（的一元二次方程xm=0+2x﹣有实数根，则m2．关于x1＜﹣．m1 C．m≤﹣1 D＞﹣A．m≥﹣1 B．m2）x +3x﹣1=0的根的情况是（的一元二次方程3．关于x．有两个相等的实数根BA．有两个不相等的实数根．不能确定DC．没有实数根222）+x的值是是一元二次方程、x2x（﹣4x﹣1=0的两实数根，则x4．设x22116．4 C．5DA．2B．2）的值为（的两个实数根，则α+β．若α、β是一元二次方程x﹣﹣5x2=05．D5．C．﹣2 A．﹣5 B2）c的值为（4x﹣+c+1=0有两个相等的实数根，6．已知关于x的方程x则常数3．1DC1 A．﹣B．0 ．分评卷人得小题）1二．填空题（共2，q的两个不等实数根分别为）p，3x﹣+a=0（a≠的一元二次方程7．若关于xx022．的值为，则且p﹣pq+q=18分评卷人得1第页（共10页）三．解答题（共8小题）22+1=0+k．2k+1）的方程8．已知关于xxx﹣（（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．2+ax+a的方程x﹣2=0．x9．已知关于（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．2﹣2（x﹣m）=0mx的一元二次方程（x﹣）（m为常数）．10．已知关于（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．2﹣x+a﹣1=0．x11．已知关于的一元二次方程x（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x，x，求a的取值范围；21（3）若方程两个实数根x，x满足[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，求a的211122值．2﹣4kx+k+是关于x的一元二次方程4kx1=0的两个实数根．12．已知x，x21﹣成立？若存在，求出k﹣2x）=的值；使是否存在实数k，（2x﹣x）（x（1）2112若不存在，说明理由；+﹣2的值为整数的实数）求使k的整数值；（2λ=，试求λ﹣2，的值．（3）若k=2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x）13．已知关于x的方程（k+1x，x．21（1）求k的取值范围；（2）若x+x=xx+2，求k的值．221122﹣3=0+m．1﹣2（m+）的方程14．已知关于xxx（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？22=22+xxx+x，求实数m的值．是方程的两根，且x、）设（2x212121第2页（共10页）2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x、x．x15．已知关于x的一元二次方程21（1）求m的取值范围；22=6xx，求m）若（2x+x的值．2112第3页（共10页）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（的一元二次方程1．已知关于x3x）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2﹣4×3×（﹣5）【解答】解：∵△=4=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2+2x﹣m=0有实数根，则m的一元二次方程x的取值范围是（）2．关于x1m＜﹣．m≤﹣1 D．mA．≥﹣1 B．m＞﹣1 C2有实数根，﹣的一元二次方程xm=0+2x【解答】解：∵关于x2，0）=4+4m=2∴△≥﹣4×1×（﹣m．1解得：m≥﹣．A故选：2）1=0的根的情况是（x3．关于x的一元二次方程 +3x﹣．有两个相等的实数根A．有两个不相等的实数根B．不能确定．没有实数根DC，c=﹣1【解答】解：∵a=1，b=3，22，0＞1×（﹣1）∴△=b=13﹣4ac=3﹣4×∴方程有两个不相等的实数根．．A故选：222）x+x的值是（则是一元二次方程、4．设xx2x4x﹣﹣1=0的两实数根，21216．C2 A．B．4．5D2的两实数根，1=04x是一元二次方程x、解：∵【解答】x2x﹣﹣21页（共4第10页），﹣=2，xx=x∴x+22112222．）﹣2=5x+x）x﹣2x=2∴x+x×（﹣=（212112．故选：C 2） +β的值为（是一元二次方程xα﹣5x﹣2=0的两个实数根，则5．若α、β．C．﹣2 DA．﹣5 B．52的两个实数根，2=0﹣5x﹣【解答】解：∵α、β是一元二次方程x．β=5∴α+．B故选：2）（的值为c+1=0有两个相等的实数根，则常数．6已知关于x的方程xc﹣4x+ 31D．1 B．0C．A．﹣2有两个相等的实数根，c+x1=0﹣4x+【解答】解：∵关于x的方程2，﹣4c=0c+1）=（﹣4）=12﹣4×1×（∴△．解得：c=3．故选：D小题）二．填空题（共12，q的两个不等实数根分别为p，03x+a=0（a≠）7．若关于x的一元二次方程x ﹣22的值为﹣q5=18，则p且．﹣pq+2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分解：∵关于【解答】x的一元二次方程x 别为p、q，∴p+q=3，pq=a，222﹣3pq=18，即9q）﹣3a=18，+∵p﹣pq+q=（p∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．第5页（共10页）故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）22+1=0．）1x+．已知关于x的方程xk﹣（2k+8（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．22+1=0有两个不相等的实数根，x+k）∵方程x+﹣（2k1）【解答】解：（122+1）=4k﹣31×（k＞0+∴△=[﹣（2k1）]，﹣4×＞．∴k2﹣5x+5=0，（2）当k=2时，原方程为x设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，==．∴2．2=0ax9．已知关于x的方程﹣+ax+的值；a1，求（1）若该方程的一个根为取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．）求证：不论a（2，2=0ax=1代入原方程，得：1++a﹣【解答】（1）解：将．解得：a=22．+2）4=）证明：△=a﹣4（a﹣2）（a﹣（22，）0≥∵（a﹣22，，即△＞2a﹣）0+4＞0∴（取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．a∴不论2．m为常数）））x﹣m（﹣2x﹣m=0（的一元二次方程（．已知关于10x为何值，该方程总有两个不相等的实数根；1（）求证：不论m的值．，求m32（）若该方程一个根为第106页（共页）22+2m=0+m，﹣（2m+2）【解答】（1）证明：原方程可化为xx2+2m，c=m，﹣（2m+2）∵a=1，b=222+2m）=4（m＞0，4ac=[﹣（2m+2）]4∴△=b﹣﹣∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．2﹣2（3﹣m）=0，2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）（解得：m=3，m=1．21∴m的值为3或1．2﹣x+ax﹣1=0．11．已知关于x的一元二次方程（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x，x，求a的取值范围；21（3）若方程两个实数根x，x满足[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，求a的212112值．2﹣x﹣12=0，）把a=﹣11代入方程，得x【解答】解：（1（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x=﹣3，x=4；21）∵方程有两个实数根，∴△≥0，（22，解得0﹣1）≥a﹣4×1×（1 即（﹣）；）∵是方程的两个实数根，（3，∴．∵[2+x（1﹣x）][2+x（1﹣x）]=9，2112∴，把2=9，a1+）=9a1+a﹣][2+﹣1]，即（2代入，得：[解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4第7页（共10页）2﹣4kx+k4kx+1=0的两个实数根．．已知12x，x是关于x的一元二次方程21﹣成立？若存在，求出）=k的值；）（2x﹣x（x﹣2x（1）是否存在实数k，使2112若不存在，说明理由；+﹣2）求使的值为整数的实数k（2的整数值；λ=，试求λ2，的值．k=（3）若﹣2﹣4kx+k+1=0）∵x、x是一元二次方程4kx的两个实数根，【解答】解：（121=，，xxx∴+x=122112222=2（x++2xx）2x）=2x4x﹣x﹣xx﹣=2﹣9xx=2×1﹣9﹣×∴（2xx）（x12121112212122﹣，﹣﹣=成立，若2k=解上述方程得，，2﹣4×4k（k+1）=﹣16k∵△=16k＞0，k=，＜0，∵∴k∴矛盾，∴不存在这样k的值；2=﹣4=2=﹣﹣（2）原式﹣=，44，或﹣，或，或+∴k1=1或﹣12，或﹣2．2解得k=0或﹣，1，﹣5，3，﹣3．0k∵＜；32k=∴﹣，﹣或﹣5第8页（共10页）λ=，x+x﹣2，=1，（3）∵k=21==，，x+x=1，x∴λx1222，=x∵x=21，∴=．3∴λ=3±2﹣2（k﹣1）x）x+k=0有两个实数根x，x．13．已知关于x的方程（k+121（1）求k的取值范围；（2）若x+x=xx+2，求k的值．22112﹣2（k﹣1）x）x+k=0有两个实数根，）∵关于【解答】解：（1x的方程（k+1∴，．1且k解得：k≠﹣≤2．x，x）x+k=0有两个实数根的方程（k+1）x﹣﹣2（k1（2）∵关于x21．==，xx+∴xx2211，即2++x+=2，=xx∵x2112解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．22﹣3=0+m．（m+1）x14．已知关于x的方程x2﹣（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？22=22+xx，求实数m的值．、（2）设xx是方程的两根，且x+x211212【解答】解：22﹣3）=8m+16，）（[﹣2m+1]4﹣（m=1（）△当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；第9页（共10页）（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，2﹣3，，xx=mxx+=2（m+1）得2211222﹣2xxx），==22+xx（∵xx+x+2111222122﹣3m），3﹣）=6+（∴[2（m+1）]﹣2（m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去）化简，得m，∴实数m的值为1．2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x、15．已知关于x的一元二次方程xx．21（1）求m的取值范围；22=6xx，求+xm）若（2x的值．2211【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，2﹣4（m﹣1，即（﹣2））≥0，0∴△≥解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x+x=2，xx=m﹣1，212122=6xxx，+x∵221122=8xx，x，即（+x）x）+∴（xxx﹣2x=6x2221112211∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．第10页（共10页）。

根与系数的关系(给力)-思博(含答案拔高)对于一元二次方程不相等的实数根，则有下列两个关系式：以上叙述的规律称之为韦达定理。

该定理只阐述了一元二次方程两根之和以及两根之积和系数的关系，所以在解题过程中，目标就是要通过恒等变换（不改变原来的值）出现。

以下是经常涉及到的几种变换。

（1）（2）（4）（5）2212121212()x x x x x x x x+=+Let’s go!一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1．一元二次方程2(1)210k x x---=有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．2k>B．2,1k k<≠且C．2k<D．2,1k k>≠且2．若12,x x是方程22630x x-+=的两个根，则1211x x+的值为( )A．2B．2-C．12D．923．若t是一元二次方程20 (0)ax bx c a++=≠的根，则判别式24b ac∆=-和完全平方式2(2)M at b=+的关系是( )红色字体相加为零，所以没有改变大小，在把前三项看成整体，变换成完全平方式变换原理：A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定4．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或5．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．7．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．8．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p =_____ ，q = _____ ．9．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．10．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．11．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求mn的值．12．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．13．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) k 的值．14.已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根.求m 的值.B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．4.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．5.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．课后总结：在解决一元二次方程的根与系数关系时，一定注意暗含的两个前提条件，即只有这样才能达到事半功倍的效果。

2017专题3：根与系数的关系(含答案)专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m 的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m 的值．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1β=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，解得：m＞-14∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的4实数根；（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，∴x1+x2=2m−1m ，x1x2=m−2m，∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2m−1m）2-3(m−2)m=2，解得：m1=√2+1，m2=-√2+1（舍去）；∴m=√2+1．例2.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x=4m±√362=2m±3，∴x1=2m-3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，∴m=5．例3.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），=m2+8m+16=（m+4）2又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=-4−3mm ，x1•x2=2m−8m，n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，∴x 2-x 1-12m =√(x 12221-12m =√(4−3m m)2−4×2m−8m-12m =0，解得：m =-2，m =4， ∵m ＞0，∴m =4．例4. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根，∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1•x 2=m 2+5． ∵m ＞2，∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1•x 2=m 2+5＞0， ∴x 1＞0、x 2＞0． ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1•x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1•x 2，∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0， 解得：m =3．例5.证明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-1）=（2k-3）22≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；（3）①当b=c时，则△=0，，即（2k-3）2=0，∴k=32方程可化为x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；）=0，②当b=a=4，则42-4（2k+1）+4（k-12，∴k=52方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，=10，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC综上所述，△ABC的周长为10．训练1.（1）证明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β， ∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1， ∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12， ∴m =x 1•x 2=32×12=34； （3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=0，解得m=1．3.（1）证明：∵关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，整理，得5m2-12m-17=0，或m=-1，解这个方程得，m=175所以存在正数m=17，使得方程的两个实数根5的平方和等于26．4. （1）证明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1、x2为方程的两个实数根，∴x1+x2=6①，x1•x2=-k2，∵2x1+x2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1•x 2=-k 2=-16，∴k =±4．5. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=[-（2k -3）]2-4（k 2+1）=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0，解得：k ＜512； （2）∵k ＜512， ∴x 1+x 2=2k -3＜0，又∵x 1•x 2=k 2+1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-（x 1+x 2）=-2k +3，∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3，∴-2k +3=2k 2+2-3，即k 2+k -2=0，∴k 1=1，k 2=-2，又∵k ＜512， ∴k =-2．6. 解：（1）∵△=（m-2）2-4×（1m-3）=2（m-3）2+3＞0，∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：x1+x2=m-2，2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，∴x1=m+1+2-m=3，把x1代入方程有：9-3（m-2）+1m-3=02解得m=24．57. 解：（1）将x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，解得：a=2，∴原方程为x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，解得：x1=2，x2=3．∴a的值为2，方程的另一个根为x=2．（2）结合（1）可知等腰三角形的腰可以为2或3，∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴a≤12又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．设y=2（a-2）2-4，根据二次函数的性质．∵a≤12∴当a=12时，x12+x22的值最小．此时x12+x22=2(12−2)2−4=12，即最小值为12．。

元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分.选择题（共6小题）1.已知关于x的一元二次方程3X2+4X-5=0,下列说法正确的是（A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2 .关于X的一元二次方程X2+2X- m=0有实数根，则m的取值范围是（A.m>- 1B. m> —1C. m<- 1D. m<- 13.关于X的一元二次方程X2+3X- 1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C•没有实数根D.不能确定4 .设X1、X2是一元二次方程2X2- 4X- 1=0的两实数根，则X12+X22的值是（A. 2B. 4C. 5D. 6 5.若a P是一元二次方程X2- 5X- 2=0的两个实数根，则a+P的值为（C. - 2 D . £A.—5B. 556 .已知关于X的方程X2-4X+C+1=0有两个相等的实数根，贝U常数c的值为（A. —1B. 0C. 1 D . 3评卷人得分二.填空题（共1小题）7.若关于X的一元二次方程X2-3x+a=0（aM0）的两个不等实数根分别为p,且P2- pq+q2=18，则2工的值为P q评卷人得分三.解答题(共8小题)&已知关于X 的方程x 2-( 2k+1) x+k 2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线 L的长. 9 .已知关于x 的方程x 2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a 的值;(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10.已知关于X 的一元二次方程(X- m ) 2-2 (X - m ) =0 (m 为常数).(1) 求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根;(2) 若该方程一个根为3，求m 的值.11.已知关于x 的一元二次方程X 2-x+a - 1=0.当a=- 11时，解这个方程; 若这个方程有两个实数根X 1，x 2，求a 的取值范围；若方程两个实数根 X 1，X 2满足[2+X 1 (1 - X 1) ][ 2+X 2 (1 - X 2) ] =9，求a 的值.12 .已知X 1，X 2是关于X 的一元二次方程4kx 2- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2X 1 - X 2) (X 1- 2x 2) =-|■成立？若存在，求出k 的值; 若不存在，说明理由; 13.已知关于x 的方程(k+1) x 2-2 (k - 1) x+k=0有两个实数根X 1, X 2.(1)求k 的取值范围；(2)若 X 1+x 2=x 1x 2+2，求 k 的值.14. 已知关于 x 的方程 x 2-2 (m+1) x+m 2- 3=0.(1) 当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2) (3) (2)求使一 - 2的值为整数的实数k 的整数值;K1(3)若 k=- 2，入=，试求入的值.(2)设X1、X2是方程的两根，且X12+X22=22+X1X2，求实数m的值. 15.已知关于X的一元二次方程X2-2x+m- 1=0有两个实数根X I、X2.1）求m 的取值范围；(2)若X I2+X22=6X I X2，求m 的值.参考答案与试题解析．选择题（共6 小题）1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x- 5=0,下列说法正确的是（A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【解答】解：•••△ =42- 4X 3X (-5) =76>0,•••方程有两个不相等的实数根.故选：B.2 .关于x的一元二次方程x2+2x- m=0有实数根，则m的取值范围是（A. m>- 1B. m>- 1C. m<- 1D. m<- 1【解答】解：•••关于x的一元二次方程X2+2X-m=0有实数根,••△ =22— 4X 1X(- m) =4+4m>0,解得：mA- 1.故选：A.3.关于x的一元二次方程x2+3x- 1=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C•没有实数根D.不能确定【解答】解：T a=1, b=3, c=- 1, •△=b2-4ac=32-4X1X(- 1) =13>0, •方程有两个不相等的实数根.故选：A.4 .设X1、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根，则X12+x22的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【解答】解：••• X1、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,••• X I +X 2=2, x i x 2=-—,2•- X 12+X 22= ( X 1+X 2) 2 - 2X 1X 2=22- 2X(-丄)=5.故选：c. a + 3 =5故选：B.6•已知关于x 的方程x 2-4x+c+1=0有两个相等的实数根，贝U 常数c 的值为（ A . - 1 B. 0 C 1 D . 3【解答】解：•••关于x 的方程x 2- 4x+c+1=0有两个相等的实数根, •••△ = (- 4) 2-4X 1X(c+1) =12- 4c=0,解得：c=3.故选：D . .填空题（共1小题）7.若关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0（aM0）的两个不等实数根分别为p , 且p 2- pq+q 2=18,则2』的值为 -5 .x 的一元二次方程X 2 - 3x+a=0 （aM 0）的两个不等实数根分别为P 、q ,••• p+q=3, pq=a ,••• pq 二-3, n 7•. q + p =p zq =8£= - 5 p q pq pq 一3 '5 .若a 3是一元二次方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则a+3的值为（ 2 53是一元二次方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根，ot 、A .- 5 B. 5 C -2 D . 【解答】解：•••关于 ••• p 2- pq+q 2= (p+q ) 2-3pq=18，即 9 -3a=18,故答案为：-5.三.解答题(共8小题)&已知关于x的方程x2-( 2k+1) x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围;(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2,求该矩形的对角线L 的长.【解答】解：(1)v方程x2-(2k+1) x+k2+1=0有两个不相等的实数根,•••△ =[ -( 2k+1) ]2-4X 1X(k2+1) =4k- 3>0,■ k> 徑.(2)当k=2时，原方程为x2-5x+5=0,设方程的两个为m、n,m+n=5, mn=5,■ • £ J11?吋(血口)2-2nai .9 .已知关于x的方程x2+ax+a - 2=0.(1)若该方程的一个根为1,求a的值；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】(1)解：将x=1代入原方程，得：1 +a+a- 2=0, 解得：a^.(2)证明：△ =a2- 4 (a- 2) = (a-2) 2+4.•••( a-2) 2>0,•••( a-2) 2+4>0,即^> 0,•••不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.10.已知关于x的一元二次方程(X- m) 2-2 (x- m) =0 (m为常数).(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根;(2)若该方程一个根为3,求m的值.【解答】(1)证明：原方程可化为x 2-( 2m+2) x+m 2+2m=0,•/ a=1, b=-( 2m+2), c=m 2+2m ,:.△ =b 2 - 4ac=[ -( 2m+2) ] 2- 4 (m 2+2m ) =4>0,•••不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根.(2)解：将 x=3代入原方程，得：(3-m ) 2-2 (3 - m ) =0,解得：m 1=3, m 2=1.••• m 的值为3或1.11. 已知关于x 的一元二次方程x 2-x+a - 1=0.当a=- 11时，解这个方程；若这个方程有两个实数根X 1, X 2,求a 的取值范围；若方程两个实数根X 1, X 2满足[2+X 1 (1 - X 1) ][ 2+X 2 (1 -X 2) ] =9,求a 的 值.【解答】解：(1)把a=- 11代入方程，得X 2-X - 12=0,(X+3) (X - 4) =0, x+3=0 或 X - 4=0,二 X 1 = - 3, X 2=4;即(-1) 2-4X 1X(a - 1)>0,解得虫号;S|j+a-I=0 ! K /-七+ 旷1 二0 , ••• Kj-X 冷-1， Zj .•••[2+X 1 (1-X 1) ][ 2+X 2 (1 - X 2) ]=9,••• -工 1 勺[2+呵-七2]二 9,> 2_ 2 把Kj — g 厂nT ， ^厂七二^-!代入，得：[2+a- 1][ 2+a - 1]=9，即(1+a ) 2=9,解得a=- 4, a=2 (舍去),所以a 的值为-4(1) (2)v 方程有两个实数根 /.△> 0,(3)v 貨],N 2是方程的两个实数根,12 .已知X 1 , X 2是关于X 的一元二次方程4kX 2- 4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2X 1 - X 2) (X 1- 2X 2)=-3成立？若存在，求出k 的值; 2若不存在，说明理由;【解答】解：(1)v X I 、X 2是一元二次方程4&- 4kx+k+1=0的两个实数根,bxl二 X 1+X 2=1 , X 1X 2- ,4k•■- ( 2X 1 - X 2)( X 1 - 2X 2) =2X 1 2 - 4X 1X 2 - X 1X 2+2X 22=2( X 1+X 2)2 - 9X 1X 2=2X 12- 9 X ^i =24fc 90+1}4k934-寻成立，乙k i ，•••△ =16k 2-4X4k (k+1) =- 16k>0,••• kv 0,v k g ,•矛盾,•••不存在这样k 的值；十工：)' 2 十 ) 一2工 I Hn (工 1 十 X?)'十 Xi Kn(2)原式 J ------- ——2= -- --- ---- - 2= ------- -- ---- - 4=-K ［辽2 £ 1.上24k+1=1 或-1,或 2,或-2,或 4,或-4解得 k=0或-2, 1，- 3, 3,- 5.••• kv 0.二 k=- 2，- 3 或-5；(3) v k=- 2,入=,X 1+x 2=1,V(2)求使一 -2的值为整数的实数k 的整数值;K1(3)若 k=- 2,入= 七，试求入的值.若2-* 解上述方程得,入XX2 = 1, X2 —, X1二/‘ 入41' k+lX1x2=k 中I =1,4k 8'• I J(入+1)沖，•入=±^.13.已知关于X的方程(k+1) X2-2 (k- 1) x+k=0有两个实数根X1, X2.(1)求k的取值范围；(2)若X1+x2=X1X2+2, 求k 的值.【解答】解：(1)v关于X的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根, k十1工0△二[吃(Al) ]2-业山+D>o'解得：kw丄且kM- 1.3(2)v关于X的方程(k+1) X2- 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根X1, X2. x1+X2=Xk~l、, X1X2」一.k+1 k+1• • • X1 +X2=X1 X2+2,即"f D£J-+2 ,k+1 k+1解得：k=- 4,经检验，k=- 4是原分式方程的解,二k=- 4.14.已知关于x 的方程x2-2 (m+1) x+m2-3=0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根?(2)设X1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值.【解答】解：(1)^ =[ - 2( m+1)]2-4( m2- 3)=8m+16.当方程有两个不相等的实数根时，则有△> 0,即8m+16>0,解得m>-2;( 2)根据一元二次方程根与系数之间的关系,得x1+x2=2(m+1), x1x2=m2- 3,X I2+X22=22+X I X2= (X I+X2)2- 2X I X2,•••[2 (m+1) ] - 2 (m2-3) =6+ (m2-3), 化简，得m2+8m-9=0,解得m=1或m=-9 (不合题意，舍去), •实数m 的值为1 ．15.已知关于X的一元二次方程X2-2x+m- 1=0有两个实数根X I、X2.1)求m 的取值范围；(2)若X I2+X22=6X I X2，求m 的值.解答】解：(1)v方程有两个实数根,• △> 0,即(一2) 2-4 (m- 1 )> 0,解得mW2；( 2)由根与系数的关系可得x1+x2=2, x1x2=m- 1 ,X I2+X22=6X I X2,••( X1+X2)2- 2X I X2=6X1X2，即(X1+X2)2=8X I X2,• 4=8( m- 1 ),解得m=1.5.。