断裂力学-应力强度因子(第2章).

（2）几何方程
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）相容方程
u x x v y y v u xy x y
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
k
结构为何破坏？
存在裂纹
（2） 研究对象与任务
定义： 断裂力学是研究带裂纹体的强度和裂纹扩展规律的一门学科。 任务： 1) 研究裂纹尖端附近的应力变化。 2) 掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律。 3) 了解带裂纹构件的承载能力。 4) 提出抗断设计的方法，保证构件安全。
断裂力学的发展为强度设计打开了新领域，但并不能完全代替传统 的强度设计理论。
1.2 材料断裂韧度
（1）脆性断裂与韧性断裂
要区分两种不同的断裂需要首先了解什么是脆性,什么是韧性。 韧性（度）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。 韧度高的材料不易断裂。比如低强度钢在断裂前往往有大量的塑性 变形，颈缩。可容易产生塑性变形的材料并不一定韧度高。如金、 银很容易断裂，是因为强度太低，吸收能量有限。把韧性低的材料 称为脆性材料，如玻璃、粉笔。 脆性断裂：荷载与变形量是线性关系（非线性段很小）。起裂点与失 稳点非常接近。如图，裂纹扩展后荷载迅速下降，断裂过程很快结束。 从实验现象上看脆断的断口比较平坦，基本与轴线垂直。 韧性断裂： 韧性断裂有较长的非线性关系（即先早已进入塑性阶段）。 启裂后又有一段缓慢的扩展时间，除外荷载增加到失稳点否则不失稳。 实验试件切口根部发生塑性变形，剩余面积变小，端口可能是锯齿型。
1) 2) 3)
Z的共轭复数:
z x iy
z1 z 2 z1 z 2
cos i sin

p(x, z), p(x1, z1) 均在 y 0的平面内
c2 x2 a2 z2 (1 f )4 a2c2 a2c2
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14
新的裂纹面仍为椭圆 长轴 短轴
c (1 f )c a (1E
2(1 2 ) (1 E
f
)a
(1
f
) y0
原有裂纹面:
1.Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板):
KⅡ
lim
0
Z
(
)
2
2.无限大平板中的周期性的裂纹,且在无限远的边界上处于 平板面内的纯剪切力作用.
Z(z)
sin z
2b
(sin z )2 (sin a )2
2b
2b
Z ( )
sin ( a)
2b
[sin ( a)]2 (sin a )2
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3
以新坐标表示
边界条件：
z ,x y xy 0
z a, 除去 z b 处裂纹为自由 表面上 y 0, xy 0 如切出 xy 坐标系内的第一象限的 薄平板，在 x 轴所在截面上内力 总和为P
Z 2 p( a) a2 b2
[( a)2 b2 ] ( 2a)
KⅠ
1 cos a sin a
2b
2b 2b 2b
2b tan a a 2b
取 Mw
2b tan a a 2b
--修正系数,大于1,表示其他裂纹存在对 KⅠ 的影响
若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（ 2a 1 ）可不
考虑相互作用,按单个裂纹计算.
2b 5
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9
二.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算
x2 a2

given by v s a2 x2 E v s(1 2 ) a2 x2 E
for plane stress for plane strain
y
v x
x
The strain energy required for creation of crack is given by the
work done by force acting on the crack face while relaxing the
tip.
This is due to a
z
The parameter KI is called the stress intensity factor for opening mode I. Since origin is shifted to crack tip, it is easier to use polar Coordinates, Using
s
contraction of lateral surfaces
X
occurs, and, a
2. plane strain (PSN), when the
Crack Plane
sz sz sz sz
specimen is thick enough to avoid contraction in the
conditions are possible:
s
1. plane stress (PSS), when the
thickness of the body is
comparable to the size of the
y syy
Thickness
B
s
Thickness B

在脆性断裂的情况下，所释放能量与形成裂纹面积所需要能量的差额，是随着裂纹增长越来越大还是越来越小，以致最后差额趋近于零。数学表达式如下：
失稳扩展
可以止裂
若材料的表面自由能是常数，则有：
失稳扩展
可以止裂
第二章应力பைடு நூலகம்度因子
2.1裂纹的几种基本型
断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之则不发生。
图4-2
等于 时，则 ，当 时， 趋近于 值，得 ；当 时， 得： ，最后得到 。
4.2裂纹张开位移CTOD及J积分
裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。对I型裂纹来说，线弹性断裂力学给出 。若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，此时原点移动到有效裂纹的端点，以 代替 ， 代替 ，可得小范围屈服修正时 ，利用能量释放率 与 的关系有：
考虑带有裂纹的弹性体，在拉伸载荷作用下，若裂纹仍然维持静止，则此弹性体所储存的总应变能 要比在没有裂纹时所储存的总应变能 大，两者之差用 表示。由于没裂纹时的总应变能 与裂纹长度无关，故有：
1.2能量平衡理论的应用
按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的该变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能地改变量。假设 为外界对系统所做的功， 为系统储存的应变能， 为裂纹总面积， 为表面能，则断裂发生的临界条件为： 此式为带裂纹物体的断裂判据。按照线性弹性力学的原理，在外力拉伸下，因裂纹扩展而引起的功的变化量 ，将等于两倍的总应变能的变量 ，因此能量释放率在给定外力拉伸的情形下，有：
现以I型单边裂纹为例，来说明柔度法的原理。一块很长的矩形板，如图3-3，