人教版九年级数学上册第二十四章圆直角三角形内切圆半径公式的应用同步辅导素材新版

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典型例题
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4.会画三角形的外接圆和内切圆,知道三角形内心和外心的性质,知 道圆内接多边形并会相关计算. 5.知道弧长和扇形面积的计算公式,并能用这些公式进行相关计算.
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1 圆的有关概念及性质 1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 2.有关概念:
(1)弦、直径(圆中最长的弦)
O．
(2)弧、优弧、劣弧、等弧
(3)弦心距
3.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
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2 圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数 条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合, 即圆具有旋转不变性.
解：设直径BC与弦AD交于点E
A
∵∠D=36°，∴∠ABC=36°
∵AD⊥BC，
B
∴在直角三角形ABE中，∠BAD=90°-36°=54°
C E D
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例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；(2)求证明：∠1=∠2.
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例3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直 径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这 个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
解析:设圆心为O，连接AO,作出过点O的 弓形高CD，垂足为D,可AO=5mm,OD=3mm 利用勾股定理进行计算，AD=4mm， 所以AB=8mm.

半径为_____1__c_m_______。
例：已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
A
求证：EB=EI=EC 12
I
3
B
4 5
D
C
E
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
A
12
I
3
B
4 5
D
C
E
小结与质疑： 1、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 2、三角形的外心及内心。 3、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
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一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。( × ) 2、直角三角形的外心是斜边的中点。( √ )
三角形的外接圆：
B
A
O C
三角形的内切圆：
A
I
B
C
二、三角形的外心与内心
对照画出的图形，讨论解决下列问题： 1、什么是三角形的外心与内心? 2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
三角形的外心 三角形的内心
实质
性质
三角形的外心与内心
1、①外心是指三角形外接圆的圆心； ②内心是指三角形内切圆的圆心。
思考题：已知：点I是△ABC的内心，
AI交BC于D，交外接圆于E。 A
求证：EB=EI=EC
12
求证：IE是AE和
DE的比例
I
3
中项。 B
4 5
D
C

答案：（1）相离 （2）相切 （3）相交
3.一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 是 25 cm . （1）如果UV 28 cm ，VT 是多少？ （2）如果 UVW 60 ，VT 是多少？
解析：（1）VT UV 2 UT 2 282 252 1409(cm) ； （2）VT 2UT 50 cm .
3
9.如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.求证：AC BD .
证明：过点 O 作OE AB ，垂足为 E，则 AE BE ，CE DE ， AE CE BE DE ，即 AC BD .
10. O 的半径为13 cm ， AB ，CD 是 O 的两条弦， AB//CD ， AB 24 cm ， CD 10 cm .求 AB 和 CD 之间的距离.
（1）8 cm ； （2）10 cm ； （3）12 cm .
答案：（1）点在圆内 （2）点在圆上 （3）点在圆外
2. Rt△ABC 中， C 90 ， AC 3 cm ， BC 4 cm ，判断以点 C 为圆心，下列
r 为半径的 C 与 AB 的位置关系：
（1） r 2 cm （2） r 2.4 cm （3） r 3 cm .
第二十四章 圆
课后习题精讲
九年级上册人教版（2012）
第二十四章
24.1 圆的有关性质
1.求证：直径是圆中最长的弦. 解析：已知：如图所示， O 中 AB 是直径，CD 是弦.
求证： AB CD . 证明：（1）当弦 CD 也是直径时，显然 AB CD . （2）当弦 CD 不是直径时，连接 OC，OD，则OC OD AB . 在△OCD 中， OC OD CD （三角形两边之和大于第三边），即 AB CD . 综上可知 AB CD .

人教版九年级数学上册讲义第二十四章圆第8课时切线长定理和三角形的内切圆教学目的1．掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算；2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆．教学重点掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算教学内容知识要点1．切线长定义：经过圆外的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．2．三角形的内切圆、内心的概念三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点．对应练习1.下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有( )A．1个B．2个[C．3个D．4个3．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D.E.F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．4．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．5．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD.BC.CD为⊙O的切线，切点分别是A.B.E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形.试说明理由GFECBOAD课堂总结当从圆外一点可以引圆的两条切线，想到切线长定理课后练习1．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠OBC＝50°，则∠A的度数是()A．40°B．50°C．80°D．100°2．如图 ，已知PA ，PB 切⊙O 于A ，B ，C 是劣弧AB 上一动点，过点C 作⊙O 的切线交于PA 于点M ，交PB 于点N.已知∠P ＝56°，则∠MON 的度数是 ( )A ．56°B ．60°C ．62°D ．65°3．如图 ，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，点C 在⊙O 上．如果∠ACB ＝70°，那么∠P 的度数是________°.4．如图 ，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，E ，F ，G ，H 是切点，点P 是优弧EFH ︵上异于E ，H 的点．若∠A ＝50°，则∠EPH ＝________．5．如图 所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O 的切线，两切线交于点P.若已知⊙O 的半径为1，则△PAB 的周长为________．6．如图 ，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC ，BC.(1)猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论； (2)求证：PC 是⊙O 的切线．7．如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°.(1)求∠P的大小；(2)若AB＝2，求PA的长(结果保留根号)．9．练习答案1. C2. B (提示：②④错误)3. 76°（提示：连接ID，IF∵∠DEF=52°∴∠DIF=104°∵D.F是切点∴DI⊥AB，IF⊥AC∴∠ADI=∠AFI=90°∴∠A=1800-1040=76°）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 115°(提示：∵∠A=50°∴∠ABC+∠ACB=130°∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=65°∴∠BOC=180°-65°=115°作业答案1．A 2.C 3.40 4.65° 5.3 36．7．8．9．。