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关于图乘法的一种特殊情况作者：赵盛琳来源：《科学大众·教师版》2019年第12期摘要：本文讨论了用图乘法计算结构位移的一种特殊情况，有一个弯矩图是反对称，另一个弯矩图是线性图线的时候，计算中容易出现的错误，从公式推导指出正确的处理方法。
关键词：图乘法; 形心坐标; 计算公式中图分类号：？U442; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ;文章编号：1006-3315（2019）12-141-001在材料力学或者结构力学一般用能量法来计算结构位移，使用比较多的是单位载荷法，在满足一些特殊条件下（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，两个弯矩图中至少有一个为线性函数），计算莫尔积分可以用图乘法，在大部分有图乘法介绍的教材里，图乘法公式的推导所用的示意图都是所考虑的区间里有一个弯矩图是全部在轴线一侧的一条曲线，另一个弯矩图是线性图线，推导过程中用到了平面图形的形心坐标计算公式，而且计算结果有正负号的问题，两个弯矩图在轴线同侧的时候，结果取正值，两个弯矩图在轴线异侧的时候，结果取负值。
因此图乘法给人的感觉就是计算中弯矩图面积是带正负号的。
然而在遇到以下情况的时候很容易犯错。
有的时候我们会遇到有一个弯矩图在考虑的区间内是反对称的，而另一个弯矩图是线性图线，教材里没有硬性规定弯矩图必须在轴线同侧才能用图乘法，只要满足使用图乘法的三个条件（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，M（x）及[M]（x）中至少有一个为关于x的线性函数），就算M（x）有正有负（即弯矩图分布在轴线两侧），图乘法的公式依然能用。
图乘法计算积分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）图的面积，[Mc]是[M]（x）图中与M（x）图的形心对应的纵坐标。
当M（x）图反对称，则其图形的形心显然在轴线中点处，但弯矩图面积[ω]因为考虑反对称图形的正负号，加起来为零，所以不管[M]c是多少，最后结果就是零，但这显然是错误的。
§4－6 图乘法我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积分⎰ds EI M M Ki 的数值。
这里，i M 、K M 是两个弯矩函数的乘积。
对于直杆或直杆的一段，若EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计算积分，极为方便。
下面说明图乘法的内容和应用图4－20所示为直杆AB 的两个弯矩图，其中图为一i M 直线。
如果该杆截面抗弯刚度E I 为一常数，则⎰⎰=dx M MEIdx EI M M K iK i 1(a)以O 为原点，以α表示图i M 直线的倾角，则图上任一i M 点标距（纵坐标）可表示为α⋅=tan x M i因此， ⎰⎰α=BAK BAK i dx xM dx M M tan （b ）式中，dx M K 可看作图的K M 微分面积（图4－20中画阴影线的部分）；dx M x K ⋅是这个微分面积对y 轴的面积矩。
于是就是图⎰BA K dx xM K M 的面积ω对y 轴的面积矩。
以表示图的0x K M 形心C 到y 轴的距离，则0x dx xM BAK ω=⎰将上式代人式（b ），得到00tan y x dx M M BAK i ω=ω⋅α=⎰(c)其中，0y 是在图形心K M C 对应处的i M 图标距。
利用式（c ），式（a ）可写成01y EIdx EI M M BA K i ω=⎰ （4－ 29） 这就是图乘法所使用的公式。
它将式（a ）形式的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距的问题。
应用图乘法计算时要注意两点：（1）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标距应取自0y 直线图中。
（2）正负号规则：面积ω与标距在杆的同0y 一边时，乘积取正号0y ω；ω与在杆的0y 不同边时取负号。
