初中数学知识点详解

解直角三角形解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形——锐角三角形函数（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin^2A+cos^2A=1②TANA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：角A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

直角三角形的定义有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt△）（英文：right triangle）。

直角三角形的判定方法：判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。

那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。

（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。

）求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

求二次函数解析式的方法最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数应用解题技巧(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。

二次函数的最大值和最小值二次函数的最大值：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即二次函数的最大值。

二次函数的最小值：如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么二次函数取得最小值。

求二次函数最大值、最小值的方法1.先把二次函数化为顶点式y=a(x-h)²+k,当a＞0时, (抛物线开口向上, 图象有最低点,)二次函数有最小值k.当a＜0时, (抛物线开口向下, 图象有最高点,)二次函数有最大值k.2.把二次函数化为一般形式y=ax²+bx+c,利用顶点坐标公式[-b/(2a),(4ac-b²)/(4a)]可求最大或最小值：当a＞0时, (抛物线开口向上, 图象有最低点,)二次函数有最小值(4ac-b²)/(4a).当a＜0时, (抛物线开口向下, 图象有最高点,)二次函数有最大值(4ac-b²)/(4a).(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。

求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

勾股定理勾股定理:勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理，简称“毕氏定理”，是平面几何中一个基本而重要的定理。

勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。

反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。

勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

勾股定理的形式：如果c是斜边的长度而a和b是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：如果a和b知道，c可以这样写：如果斜边的长度c和其中一条边（a或b）知道, 那另一边的长度可以这样计算：或菱形，菱形的性质，菱形的判定菱形的定义：菱形是四边相等的四边形，属于特殊的鹞形、平行四边形，除了这些图形的性质之外，它还具有以下性质：对角线互相垂直平分边四边相等。

特点：顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。

菱形的面积公式：菱形面积公式就是由三角形面积公式得来的。

菱形面积=两个三角形面积的和菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形的性质：1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角；2、四条边都相等；3、对角相等，邻角互补；4、每条对角线平分一组对角，5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形,6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。

7、菱形具备平行四边形的一切性质。

菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四边相等的四边形是菱形；3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

垂直平分线的性质垂直平分线的概念：垂直平分线，或称中垂线，指一垂直于某个线段且经过该线段中点之直线。

垂直平分线上的每一点到该线段的两端点距离相等。

尺规作图取得某线段垂直平分线的方法为：分别以该线段两端点为圆心，大于线段一半之等长长度为半径画弧，两弧相交之两点连接成的直线即为该线段的垂直平分线。

垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。

）判定：①利用定义；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）尺规作法：（用圆规作图）1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）直线与圆的位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB 与⊙O相交，d<r；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

AB与⊙O相切，d=r。

（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。

（d为圆心到直线的距离）直线与圆的位置关系证明：平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交。

直线与圆相关练习题：直线ax+2y+6=0与圆x²+y²-2x+4y=0相交于p Q两点，o为原点，且op⊥oQ，求a值直线与圆相切的证明方法：一、根据切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

当已知直线与圆有公共点时，常用此法。

辅助线是连结公共点和圆心，只要设法证明直线与半径垂直即可。

二、根据直线与圆的位置关系若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。

当题设中不能肯定直线与圆有公共点时，常用此法。

辅助线是过圆心作该直线的垂线段，只要设法证明垂线段等于半径即可。

不等式的性质不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。