圆锥曲线性质研究

圆锥曲线的性质研究一．引言和引理本文的主要目的是想把圆锥曲线的性质的研究, 建立在少数几个引理之上.尽可能多地使用用欧式平面几何的方法,而不是一味地使用直角坐标方法计算.我们先证明几个引理(其中的引理2相当于圆锥曲线的统一定义,本文中将圆视为 特殊的椭圆)过P 的与直线l 平行(或重合)的直线交给定圆锥曲线Ω于点,.A B 我们称PA PB ⋅为P 关于Ω沿定向l 的幂,记为(,)P l Ω或简记为().P l (对闭凸曲面或曲线也可类似定义此幂)引理1 过一点P 向给定圆锥曲线引两条定向直线12,,l l 分别交其于1122,;,.A B A B 求证： 比值111222()()PA PB P l PA PB P l ⋅=⋅与点P 无关. (此引理对任意n 次代数曲线、曲面都成立，可以类似下面证明)引理1的证明：直线1l 的参数方程是0101cos ,sin x x t y y t αα=+=+， 其中P 的坐标为00(,).x y设给定二次曲线方程为(,)0,f x y =则有2010111(cos ,sin )0(*)f x t y t a t bt c αα++=++=其中211(cos sin )a f x yαα∂∂=⋅+∂∂是与00,x y 无关常数,00(,)c f x y =与定方向1α无关. 上述关于t 的二次方程两个根为12,,t t 利用韦达定理知道11121,cPA PB t t a ⋅==2l 的倾斜角为2α，对应的二次方程为2220,a t b t c ++=同样有222,c PA PB a ⋅=于是112221PA PB a PA PB a ⋅=⋅与点00(,)P x y 无关,仅与定方向12,αα有关.(具体计算的结果此比值为2222211sin 1sin e e αα--,,e α分别表示曲线离心率,定方向与准线夹角) 引理1（关于椭圆情形）的另一证明 过椭圆中心作两天条直线''12,,l l 分别与12,l l 平行，且与椭圆分别相交与''''1122,;,.A B A B 只需证明 ''1111''2222.PA PB OA OB PA PB OA OB ⋅⋅=⋅⋅ 利用仿射变换将椭圆变为相同中心O 的半径为r 的圆，仿射变换:.M M ττ→利用仿射变换保比性质知道11221122''''''''11112222,,,,P A P B P A P B PA PB PA PB OA OA OB OB OA OA OB OB ττττττττττττ==== 于是要证明''1111''2222,PA PB OA OB PA PB OA OB ⋅⋅=⋅⋅只需证明''21111''22222 1.P A P B OA OB r P A P B OA OB r ττττττττττττ⋅⋅===⋅⋅ 这就是关于圆的割线定理或相交弦定理.引理2 ABCD 四边形内接于圆锥曲线Ω,M 为Ω上异于,,,A B C D 一动点，M 到ABCD 四边所在直线的有向距离依次为,1,2,3,4.i d i =求证 比值1324M d d d d λ=是与点M 无关的常数. 反之有向距离比值1324d d d d 为非零常数的点M 的轨迹是圆锥曲线.证明:利用圆锥曲线的射影定义有,线束的交比(,|,)MA MC MB MD 与其上动点M 无关，而2413sin sin (,|,),sin sin AMD CMB CMD AMB S S d d AMD CMB BC DAMA MC MB MD CMD AMB S S d d AB CD∆∆∆∆⋅∠⋅∠⋅===⋅∠⋅∠⋅⋅于是可得到引理2的证明.利用引理2可以证明以下结论推论L2.1 如果引理2中(1,2,3,4)i K i =分别是直线,,,AB BC CD DA 的点,且i MK 有定向,有向线段i MK 的长度记为i l , 则比值1324M l l l l μ=为与M 无关的常数.推论L2.2 如图2中, 圆锥曲线的内接四边形ABCD ,.BC EF 则有等式.EG EH EKFG FH FK⋅=⋅推论L2.3 如图3,,AB AC 与圆锥曲线相切于,,B C BC 的平行线交,AB AC 于,,D E 交曲线于,.D E 求证.DM EN =证明：圆锥曲线上任意的点,P 其到,,AB AC BC 的距离分别为12,,d d d . 对内接退化四边形B B C C 应用引理2得到122P d d dλ=为定值,由此得到22sin sin sin sin ,M NDM EM B C DN EN B Cd d λλ⋅⋅⋅⋅===即有 ()().DM EM DN EN DE DM DM DM EN EN DM EN ⋅=⋅⇔-=-⇔=由它不难得到如下的推论L2.4圆锥曲线平行弦的中点轨迹是一条直线，过任一弦两端的两切线的交点在此直线上.推论L2.5 如图3中,过A 作直线l 交曲线于,,G H 交切点弦于.K 则.AG AHGK HK= 引理3 每条闭凸曲线都存在两条切线(支撑线),它们与切点(支撑点)连线垂直. 作平行切线,切线与切点连线夹角是切点的连续函数,利用连续性不难获得结论. 也可以通过曲线上两点间距离的极值性来获得证明.1.应用引理推导二次曲线方程：设二次曲线两条切线12,,l l 切点121212,,,.A A A A l l ⊥ 对退化四边形1122A A A A 应用 引理2可知曲线关于直线12,A A 及12A A 的中垂线都是对称的. 可以通过对称及引理1(或引理2)得到曲线的方程：设12(0,0),(2,0),(,0),(,0),A A a B m M x 过,B C 的x 轴的垂线交曲线于1212(,),(,);(,),(,).B m n B m n M x y M x y --利用引理1有：2212121212,,(2)(2)BB BB MM MM n y k BA BA MA MA m m a x x a ⋅⋅--===⋅⋅--其中2(2)n k m a m =-为非零常数,则2(2)0kx x a y -+=(a 有限,表示椭圆或双曲线,适当平移,或建系时把原点放在12A A 中点就可以得到标准方程);在方程22(2)(2)n y m m a x x a --=--中令2,,2n a p m →+∞=我们得到抛物线的标准方程22.y px = (利用引理2的推导留给大家)2.圆锥曲线的高中课本上的两个定义或性质的导出：如下图中,12A A 同上所述,它所在直线也是曲线的一条对称轴,12A A 的中点为.O记号同1中,设122,,A A a MF r ==同样我们知道2212CM CR b k CA CA a⋅==±⋅为常数,0k >时,0;b a <≤1,.1aFO c a k BO k==-=- 这样利用12CM CR k CA CA ⋅=⋅得到22sin ,1.(cos )(cos )r k c k a c r a c r θθθ==--++-即2222[(1)cos 1]21cos 0,k r ak k r k a θθ--+-⋅+= 解得(11cos ),k r ka θ--=或(11cos ).k r ka θ+-=-不难得到：1,||1|cos |1MF rrck e aMN BF FC aa k r kθ===-==+--+-我们得到圆锥曲线的用焦点和准线的统一定义.对于抛物线情形由1知道220,(2)2n n pk m a m am a==→-即抛物线的离心率 1.e = 对于椭圆或双曲线,添上右侧交点'F 和准线, 不难得到'||2.MF MF a ±= 加上引理1，引理2的逆,其实我们得到了圆锥曲线的四种等价定义.二．综合应用（圆锥曲线性质研究）1.一些新的结论引理1,2通过下面的定理1联系起来定理1 引理2中的常数1324()().()()M d d P BC P DA d d P AB P CD λ⋅==±⋅(其中P 可取为曲线Ω内部任意一点, 从引理1知此比值与P 无关)证明：如图1中记号,M 是曲线上任意一点,N 是曲线上满足''1313''2424M N d d d d d d d d λλ===(',1,2,3,4i d i =为N 到四边形ABCD 相应边的距离)异于M 的一点. 直线MN 交ABCD 的四边于,,,E F G H , 各符号意义见图4中所示.利用''1122sin ,sin ,sin ,sin ,d EM d EN d FM d FN ααβα=⋅=⋅=⋅=⋅''3344sin ,sin ,sin ,sin ,d GM d GN d HM d HN γγδδ=⋅=⋅=⋅=⋅ 于是利用M N λλ=,我们有''2221313''222424()()sin sin .()()sin sin MM N d d d d EM EN GM GN d d d d FM FN HM HN αγλλλβδ⋅⋅==⋅=⋅⋅⋅ 然而由正弦定理有sin sin sin sin ,,,,sin sin sin sin FB HA FC HDEB EA GC GDααγγβδβδ==== 于是相乘得到2222sin sin ()(),sin sin ()()FB FC HD HA EA EB GC GD αγβδ⋅⋅=⋅⋅我们得到2()()()(),()()()()M EM EN GM GN FB FC HD HA FM FN HM HN EA EB GC GD λ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ 然而利用引理1有()(),,()()EM EN P MN GM GN P MN EA EB P AB GC GD P CD ⋅⋅==⋅⋅()(),,()()FB FC P BC HD HA P DA FM FN P MN HM HN P MN ⋅⋅==⋅⋅2()()()()()()()()M M P BC P DA P BC P DA P AB P CD P AB P CD λλ⋅⋅=⇔=±⋅⋅为常数. 可见引理1可以得出引理2, 引理1的逆也成立,是圆锥曲线的另一种统一定义. 推论T1 圆上任意一点到其内接四边形两对边距离乘积相等(1324d d d d =). 推论T2 如下图，中心为O 的圆锥曲线外一点A ，过它的两条切线的切点为,.B C 曲线上一动点,M ,,.M D B C M E A C M F A B ⊥⊥⊥ 中心半径,,OG OH OK 满足,,.O G B C O HA B O K A C 求证22.ME MF OG MD OK OH⋅=⋅对椭圆的内接退化四边形BBCC 应用定理1即可,P 取为中心O . 曲线退化为圆时，它就成了2.MD ME MF =⋅定理2（中切椭圆性质）如下图5中椭圆与ABC ∆的三边相切于三边中点,,D E F（笔者称之为ABC ∆的中切椭圆）.三角形的面积记为,S 椭圆的长、短半轴长为,.T T μν24221,.2p a q a b c==-∑∑∑求证 (1);33S T T μν⋅=22,;6()6()S ST T p q p q μν==-+(2);;1818p qp qT T μν+-== (3),,.323323v p a S c a b c T T p μ≥≥≤<<≤证明：记2222(),.2a b c a m AD AD EF H +-==⋂=利用一下仿射变换将椭圆化为圆,此时ABC ∆变为等边，G 将变为圆心. 于是重心G 是中切椭圆中心.M 为椭圆上一动点，,GM ρ=max min ,.T T μνρρ==过M 分别作,,.MR AC MSAB MT AD利用引理2之推论 2.1L 得到22(*)M Da MR MS bcMT m μμ⋅=== 设,GM xAB yAC =+ 则222222||2cos .GM c x b y bc A xy ρ==++⋅ 可得11()(),33AM AG GM x AB y AC =+=+++于是得到11(),().33MR AS y b MS x c ==+=+ 又不难知道()(),GM x AD EF y AD EF =++-HM =11()(),66GM GH GM AD x y AD x y EF -=+=+++-11|()|||,66a MT x y AD x y m =++=++利用(*)得到2111()()()336x y x y ++=++⇔221,12x xy y ++=而222222cos ,c x b y bc A xy ρ=++⋅ 于是得到2222222222(12)(12)(12)0,c x b c a xy b y ρρρ-++--+-=于是由判别式法知2212,12v T T μ是一元二次方程22222224()()()0(12)b t c t b c a t t ρ---+--==的两个根，方程即2222224132160,(2).16t a t S S b c a -⋅+==-∑∑ 利用它不难得到题中所有结论,此略.定理3(中切椭圆与九点圆之交点)ABC ∆的九点圆J 与中切椭圆的第4交点(其余的是三边中点)为,X 则222222(),()0.c b OAOX c b ωω-==-≠∑∑证明: 记O 为ABC ∆的外心.由前设111()()(),333GX xAB y AC OX x y OA x OB y OC =+⇔=--++++将面积坐标111(,,)333X x y x y --++代入附录一中的九点圆J 的方程(6):211()()022y z a --=∑中得到 222111111()()()()()()0,666666x y a y x y b x x y c ----++--++=注意到中切椭圆条件(见定理2中的证明过程)221,12x xy y ++= 不难得到111111()()()()()(),666666x y y x y x x y --=-+++-++于是我们有.0)])(61())(61)[(61(2222=--+--++c a x b a y y x由221011116(,)(,),(,).1366312x y x y x xy y ⎧++=⎪⎪⇒=--⎨⎪++=⎪⎩ 这两组解对应着图5的两边中点,.E F由22222211()()()()066112y a b x a c x xy y ⎧--+--=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 记2222,a c k a b-=--方程组的解为22221122122(,)(,),(,).666(1)6(1)k k k k x y k k k k ----=++++ 第1组解对应于BC 中点,D 后一组对应于,X 可求得222222222()1[(1)],().2(1)c b OA OX k OA k OB OC c b k k ωω-=+++==-++∑∑当,;,a b c X F a b c =≠≡==椭圆与九点圆重合. 由定理3的的后面的叙述,我们可以得到推论 3.1T(1)X 在中切椭圆上⇔2221[(1)],;2(1)OX k OA k OB OC k R k k =+++∈++ (k =∞按极限意义理解) 或者叙述成对称的形式222222,0.r OA s OB t OC OX r s t r s t ++=++=++(2)中切椭圆的重心坐标方程为2222220,x y z xy yz zx ++---= 重心为其对称中心.由(1)知道222222,0,r OA s OB t OCOX r s t r s t++=++=++ 而4442222222()()()0,r s t r s s t t r r s t r s t ++-++=-+++-=∏222222,,,r s t x y z r r r ===∑∑∑ 可知中切椭圆重心坐标方程为 2222220.x y z xy yz zx ++---=(ABC ∆等边时是一个圆)定理4 三角形的内切椭圆的重心坐标方程为2222221231223312220,x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---= 切点分三边,,AB BC CA所成的比分别为312231,,,λλλλλλ椭圆的中心233212(,,).λλλλλλ+++ 证明：2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=与边:0AB z =的切点21(,,0)F λλ, 它分AB 所成的比为12,FAC FBA S AF FB S λλ∆∆== 同样 可证明切点分三边,BC CA 所成的比分别为3231,,λλλλ不难由方程得到,,0x y z ≥, 2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=上的点都在ABC ∆内部或边上, 于是它代表内切椭圆. 不妨设11,x λ==∑∑(,,)f x y z =222222123122331222.x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---点233112(,,)λλλλλλ+++面积坐标即233112(,,),(,,)222x y z λλλλλλ+++关于它的中心对称点为233212(,,).x y z λλλλλλ+-+-+-233112(,,)f x y z λλλλλλ+-+-+-22123233112()2()()(,,).x y z f x y z λλλλλλλλλ=+--+-+-=∑∑此椭圆的对称中心点为233112(,,).λλλλλλ+++推论 4.1T M 在ABC ∆的内切椭圆2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---=上 222233112222233112,0r OA s OB t OCOX r s t r s t λλλλλλλλλλλλ++⇔=++=++2223311222233112(1),[,].(1)k OA k OB OCOX k k k λλλλλλλλλλλλ+++⇔=∈-∞+∞+++ 推论 4.2T 内切椭圆2222221231223312220x y z xy yz zx λλλλλλλλλ++---= 的长,短半轴,T T μν由下列式子给出：,,88p qp qT T μν+-==其中 221121323221232311()64,.()()a p q p S λλλλλλλλλλλλ++-==-∑∑∑证明：自然约定11,x λ==∑∑椭圆中心Ω的面积坐标233112(,,).222λλλλλλ+++设,(,,).M uAB vAC M x y z Ω=+(M 在椭圆上) 则可以得到233112,,.222x u v y u z v λλλλλλ+++=--=+=+ 将它代入内切椭圆方程中化简得到222212123131231()2()().u uv v λλλλλλλλλλκ++-++==222222222||(),M c u b c a uv b v ρ=Ω=++-+ 于是两式相乘得到2222222222221212313[()][2()][()]0,c u a b c uv b v κρλλκρλλλκρλλ+-+-+--++-=由判别式法知22,T T μνκκ是下列二次方程的两个根：(2t κρ=)2222222212131234[()][()][2()]0.t c t b t a b c λλλλλλλ+-+---+--=整理为22212311()0.4t a t S λλλκ--⋅+=∑ 可求得,,88p qp qT T μν+-== 其中22212311(),64, 1.p a q p S λλλλλ=-=-=∑∑∏齐次化,去掉约束条件即221121323221232311()64,.()()a p q p S λλλλλλλλλλλλ++-==-∑∑∑推论 4.3T 锐角ABC ∆垂足内切椭圆的重心坐标方程为22222222222()2()()0.bc a x c a b a b c yz +--+-+-=∑∑我们定义2221,b c a λ=+-类似定义23,,λλ即有223,...,2a λλ+=设121233,,.u v w λλλλλλ===∑∑ 利用推论 4.2T 知此椭圆的长短半轴,,88p qp qT T μν+-== 其中 221121323221232311()16,4,.()()a p q p r r S λλλλλλλλλλλλ++-==-=∑∑∑21121323232221()()323,()uv w v wp u u uλλλλλλλλλλ++-++===+⋅∑∑123233321()vw v wr u u uλλλλλλ===⋅∑∑, 可见对于不同的三角形要具有大小形状完全相同的垂足内切椭圆(,T T μν相同),充要条件是对应的2,v wu u 相同. 而垂足三角形周长为2222822()S v v u L abc uv w v u w u⋅===--也相同. 又22222222()16,()b c a v S w u a u a +-==∏∑∑.故我们不难有如下的两个有趣的推论推论 4.4T 边长可变化的无数个锐角ABC ∆,具有大小形状相同的垂足内切椭圆的充要条件是两个值2222222()16,()b c a S aa +-∏∑∑彼此对应相等. 或等价地两个值2216,S abcabc a ∑彼此对应相等,或sin ,cos R A A ∏∏彼此对应相等.推论 4.5T 任意椭圆的无数个内接光反射三角形具有相同的周长和相同的内角余弦和. 利用它我们得到所有光反射三角形的内切圆与外接圆半径比相同,其垂三角形周长相同.猜想1. 椭圆的无数个内接光反射N 边形,不仅周长相同且内角余弦和也相同.定理5 圆锥曲线的两个焦点距离2c ,它们到直线l 的距离分别为12,,d d 椭圆长轴(或双曲线实轴)为2a ,则有如下一些结论(1)定理6 椭圆的外切等角n 边形周长取最值时,多边形与椭圆有相同的一条对称轴. 椭圆的外切等角n 边形有无数个（可随意作一内角相等的n 边形，然后顺次作与该多边形各边平行椭圆的切线，就得到椭圆的一个外切等角n 边形），那么最大、最小的位置如何？这是个比较有趣而困难的问题. 笔者对此问题进行了讨论，获得了该问题圆满的解答.下面设O 是椭圆的中心，椭圆的长短轴分别为 2,2,a b 两个焦点12,F F 间的距离为2.c 我们先证明几个结论结论1 设L 为椭圆的一条切线，则两焦点12,F F 到它的距离乘积等于2.b 证明：我们利用椭圆的光学性质给出它的一个纯几何的证明.焦点12,F F 关于椭圆上A 点的切线L 的对称点为,H G ，1122,.d F M d F N ==由椭圆的光学性质知12,,;,,F A G F A H 均三点共线，且有12122,2,FG F H a HG F F c ==== 在等腰梯形12GHF F 利用托勒密定理有： 2221121212,444,F G F H HG F F FG F H d d c a ⋅+⋅=⋅+= 得到22212.d d a c b =-=结论2 椭圆中心O 到该椭圆的任一外切等角n 边形各边距离为,1,2,...,j d j n =，则有,21,,1,2,...,1,,1,2,...,1,2m n nm jj m n c m n n dnc m n ==-⎧⎪=⎨=-⎪⎩∑为奇数;为偶数，其中,m n c 是仅与椭圆及,m n 有关，与等角n 边形位置无关的常数.证明：设123...n A A A A 是椭圆的任一外切等角n 边形，O 到边1j j A A +的距离为,j d 边1j j A A +与12F F 所成的有向角2(1),1,2,...,,j j j n nπθθ=-⋅-= 其中约定11.n A A +=如图中所示，由引理1有：2,xy b =且有2222222121()sin=4sin ,2,()()4,x y F F c x y d x y x y xy θθ-=+=+=-+于是得到：222222211sin sin ,d b c b c θθ=+=+ 完全类似地有2222sin ,1,2,...,,j j d b c j n θ=+= 于是22222(m )22111(sin )sinnn mnm mk k k kjj mj j j k j db c C bcθθ-=====+=∑∑∑∑，下面我们证明：21sin,0,1,2,...,,nkj k j c k m θ===∑ k c 是与θ无关的常数.利用欧拉公式知道sin ,2jji i j ee i iθθθ--=是虚数单位，于是222()2()22222211101sin =()(1)2(1)=(1)2[(1)],2j jj ji i n nn kkni k l i k l kk k kllk kll j kkj j j l l j e e C eCei θθθθθ-----======-=----∑∑∑∑∑∑ 显然2()1();jni k l j en k l θ-===∑当,k l n ≠为奇数时，|2()|222(1),k l k m n -≤≤≤-于是2()k l -不能被n 整除; 当,k l n ≠为偶数时，|2()|222(1)2,2n k l k m n -≤≤≤-=- 于是2()k l -也不能被n 整除，这样始终有4()/10,i k l ne π--≠ 于是24()2()[(j 1)]2()2()4()/1110().1ji k l nni k l i k l i l k ni k l nj j e eeek l e ππθθθπ---⋅----==-==⋅=≠-∑∑ 这样我们得到2221sin2,0,1,2,...,.nkk kj k k j n C c k m θ-==⋅==∑于是我们得到222(m )22,12.nmm k k k k k jk m m n j k dn C C b c c --====∑∑结论3 椭圆的任一外切等角n 边形的周长为0l , (1,2,...,)j d j n =的含义同前, 则有011co t .2njj dl nπ==∑ 证明：如下图中，112,,,,,j j j OM d ON d MH ON A G MH nπα++==⊥⊥=且约定011,.n n d d d d +==可求得111cos ,sin sin sin j j j j A G d d ON OH A M αααα+++--===同理可求得1cos ,sin j j j d d A M αα--=于是1112cos ,sin j j j j j d d d A A αα-+++-=而01111111,,nnnnj j j j j j j j j l A A d d d +-+=======∑∑∑∑有.tan 2sin )cos 1(211110∑∑∑===+=-==nj j n j j nj j j d n d A A l παα 事实上从证明过程知道任一等角n 边形内部一点到边的距离和都相等.结论4 方程组1,1,2, (1)m jm j xc m n ===-∑(其中,2)n N n ∈≥, 若不考虑解的顺序，则,2,3,...,j x j n =由1x 唯一确定.这可以从牛顿等幂和公式得出，不多赘述. 定理6的证明: 由结论3知道11co t ,2nj j d l n π==∑ 欲求椭圆外切等角n 边形的周长0l 最值, 只需求1njj d=∑的最值即可，由引理2知;,21,,1,2,...,1,1(mod 2),1,2,...,1,2|.2m n nm jj m n c m n n dnc m n ==-≡⎧⎪=⎨=-⎪⎩∑, 我们利用拉格朗日乘数法来求1njj d=∑的最值.情形（一）n 为奇数2,1,1,2, (1)m jm n j dc m n ===-∑ (*)1212(,,...,,,,...,)n m G d d d λλλ=12,111+().nn nk j k j k n j k j d d c λ-===-∑∑∑由引理2知道2222sin ,1,2,...,,j j d b c j n θ=+= 于是[,],j d b a ∈(在某个[,]j d b a ∈时,由引理4可知方程(*)的所有非负解是唯一的，它可以通过构造椭圆的外切等角n 边形给出). 下面不妨先假设,,1,2,...,,j d b a j n ≠= 且此时椭圆的外切等角n 边形Ω周长取最值，此时椭圆中心O 到边12A A 的距离为1(,)d b a ∈ 将切线12A A 分别逆时针、顺时针旋转很小角度，得到两条切线'''11,l l ，使得O 到它们的距离仍属于(,),b a 分别以它们为一边(所在直线) 按本文开头的方法(即保持相等交角，作切线)构造两个椭圆的外切n 边形''',,ΩΩ 可见三者周长关系为''',,l l l ΩΩΩ≥或''',,l l l ΩΩΩ≤ 此时1d ∈'''11(,),d d 或'''111(,),d d d ∈关于,2,3,.j d j n=也是类似的. 可见周长取最值时，1212(,,...,,,,...,)n m G d d d λλλ应取极值，于是0,1,2,...,,jGj n d ∂==∂ 也就是：12111+20,1,2,...,.n k k j k k d j n λ--===∑于是,1,2,...,j d j n =是方程12111+20n k kk k zλ--==∑的根，而此关于z 的方程仅有n 项，符号改变数不超过1,n - 由笛卡尔符号法则知：它至多有1n -个正根，于是必有两个12j ,j ,N +∈使得12.j j d d = 不难看出此时多边形Ω关于椭圆的某条对称轴是对称的.显然当某个=j d b 或a 时，此时的多边形Ω关于椭圆的某条对称轴也是对称的. 情形（二） n 为偶数此时利用等角性，不难得到等角n 边形Ω的任意一对边所在的两条切线平行，于是 有,1,2,...,=.2j t j nd d j t +== 我们有下述方程 2,11,1,2,...,t 12tmjm n j d c m ===-∑ (**) 112ntj j j j d d ===∑∑, 构造函数12121(,,...,,,,...,)t t G d d d λλλ-=12,1111+().2t t tkj k jk n j k j d d c λ-===-∑∑∑ 完全类似情形（一）的讨论，也可以得出此时取得最值的椭圆的外切等角n 边形关于椭圆的某条对称轴也是对称的.本文的方法实际上解决了14(,)1cos(+)(||1)ni if n k k nπθθ==+<∑这个多根式三角函数的最值问题.实际上笔者也用该法解决了椭圆的最大面积内接n 边形的周长最值问题，另文再述.定理7 椭圆的具有最大面积的内接三角形中，周长最大、最小的三角形都是等腰的.其一个顶点在椭圆的长轴端点时，周长最小; 一个顶点在椭圆的短轴端点时，周长最大.我们不难知道, ,x R ∀∈则有如下的一系列恒等式（1）22cos()cos cos()0;33x x x ππ-+++=； （2）22222222223cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33332x x x x x x ππππ-++-=-++-= （3）333223cos ()cos cos ()cos3;334x x x x ππ-+++= （4）44444422229cos ()cos cos ()sin ()sin sin ();33338x x x x x x ππππ-+++=-+++= （5）5552215cos ()cos cos ()cos 6;3316x x x x ππ-+++= （6）66622315cos ()cos cos ()cos 6;333216x x x x ππ-+++=+ （7）221cos()cos cos()cos3;334x x x x ππ-+= （8）22223cos()cos cos os()cos()cos();33334x x xc x x x ππππ-++++-=- 利用复数或三角恒等变换都能给出上述结论的证明，此处从略.定理7的证明：设椭圆的方程为22221(0),x y a b a b+=>>ABC ∆是其一面积最大的内接三角形. 利用仿射变换x X a y Y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，椭圆将变为单位圆22'''1,.X Y ABC A BC +=∆→∆此时'''A B C ∆是内接于单位圆，且具有最大面积，它是等边三角形. 这样可设它的各点的坐标为'''2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333A B C ππππθθθθθθ++--于是相应的2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333A a bB a bC a b ππππθθθθθθ++--利用两点间距离公式算得：ABC ∆的周长22222222()3(sin cos )3(sin ()cos ())33L a b a b ππθθθθθ=++++++22223(sin ()cos ())33a b ππθθ-+- 以下为计算方便，记：2222(0,1),2,2(),2().33a b k a b ππαθβθγθ-=∈==+=-+ 则22'2233sin ()()1cos ,()().221cos L a b k L k a b k αθαθα=+-=+-∑∑ 这样'()0L θ=即：sin 01cos k αα=-∑①下面求解满足方程①的所有,θ这是解决前面猜想的至关重要的一步. 记sin (1cos )(1cos ),A k k αβγ=--sin (1cos )(1cos ),B k k βγα=--sin (1cos )(1cos ).C k k γβα=--方程①即：0,A B C ++=这样()()0.A B C A ⋅+-=∑∏展开来就是：2242,A B A =∑∑将前面的式子代入得到：222(1cos )sin sin (1cos )k k ααβγ-⋅-∑∏422sin (1cos )(1cos )k k αβγ=--∑ ②记方程②的左右两边的式子分别为,P Q ，则：2322222(1cos cos cos cos )(sin sin sin sin cos )P k k k k ααβααβαβγ=-+-⋅-∑∑∑∑∏利用引理（2x θ=）可算得：31cos 0,cos cos ,cos cos 6,44ααβαθ==-=∑∑∏2221sin sin (cos()cos())4a a αβββ=+--∑∑242121191339(cos 2cos )cos cos 1,432168221616πγγγ=-=-+=-⋅+=∑∑∑∑ 2222sin sin cos (1cos )(1cos )cos αβγαβγ=--∑∑22cos (cos cos )cos cos cos cos γαβγαβγ=-++⋅∑∑∑∏23390(cos )cos cos 6cos 621616γγθθ=---=∑，于是23931(1cos 6)(1cos 6);844P k k k θθ=--⋅-⋅23401234,Q c c k c k c k c k =++++其中409sin ,8c α==∑4412sin (cos cos )2sin cos c αβγαα=-+=∑∑=223592(1cos )cos 2cos 4cos 2cos cos 6,8αααααθ=-=-+=-∑∑∑∑422222223459sin (cos 4cos cos cos )(1cos )(3cos )cos 6,23216c αββγγααθ=++=--=-+∑∑44392sin cos cos (cos cos )2cos sin cos 6,16c αβγβγααθ=-+==∑∑∏42222224sin cos cos (1cos )cos cos c αβγαβγ==-∑∑22222coscos 2cos cos cos βγααα=-+⋅∑∑∏∏2(cos cos )2cos cos βγαα=-⋅∑∑∏2222cos cos cos ααα-+⋅∑∏∏299cos 6.1632θ=- 这样利用,P Q =即222(cos 61)(1)0,(0,1),t t t θ--=∈2cos 61,(),6n n Z πθθ==∈代入方程①检验后知道这确是其全部解. 我们不难检验周长函数()L θ具有周期,3T π=故要求其值域，只需考查[0,]3πθ∈这一小段就可以了，在这个范围内函数只有一个极值点,6πθ=又(0)()3L L π==22311()(111),222a b k k k =+-++++ ()6L π=22311()(111)(0)222a b k k k L +-+-++> （11()(0)2(11)11622L L k k k k π>⇔+--<+--，再两边分子有理化就行了）这两个值就是最值.此时取最大值时三顶点坐标为：3131(,),(,),(0,);2222A a bB a bC b -- 取最小值时三顶点坐标为：1313(,0),(,),(,), (2222)A aB a bC a b --- 这样的周长取最值的三角形共有4个，都是等腰的，并且它们的一个顶点就是椭圆的顶点. 定理8 椭圆的无数个内接正三角形中,边长取到最值的正三角形的一个顶点在椭圆的顶点上，其余两个顶点关于椭圆的对称轴是对称的. 一顶点为长轴端点时边长最小；为短轴端点时边长最大.引理 三个非零向量,,OM ON OR 模都相等，且0,OM ON OR ++=则MNR ∆是正三角形，且O 是其中心.定理8的证明：设椭圆的方程是222222222211(0),,(0,1).1x y b a b m a b m k a b a a b m --+=>>===∈++ ABC ∆是椭圆的一边长为r 内接正三角形,(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos ,sin ).A a b B a b C a b ααββγγ那么下面三个向量((cos cos ),(sin sin )),((cos cos ),(sin sin )),OM AB a b ON BC a b αβαββγβγ==--==--((cos cos ),(sin sin ))OR CA a b γαγα==--满足引理中的所有条件,于是MNR ∆是以O 为中心的正三角形, r 是ABC ∆的边长. 这样可设2222(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(),sin()).3333M r r N r r R r r ππππθθθθθθ++-- 于是2(cos cos )cos()(cos cos )cos 3,,(sin sin )sin 2(sin sin )sin()3a r a r b r b r πβγθαβθαβθπβγθ⎧-=+⎪-=⎧⎪⎨⎨-=⎩⎪-=+⎪⎩ 2(cos cos )cos()32(sin sin )sin()3a r b r πγαθπγαθ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩. 每一组中两个相除得到 tancot ,2m αβθ+=-22tancot(),tan cot()2323m m βγπγαπθθ++=-+=-- ① 于是我们可以算得222(cot()cot())33tan tan()222221cot()cot()33m m ππθθαβγαβγππθθ+---++=-=++- 切化弦，积化和差得tan2αβ-23,1(1)(cos 2)2mm k θ=-++2222232tan (1)221cos().131tan (cos 2)(1)224k k k αβαβαβθ----==-+++- 又由第一组得2222222cos sin (cos cos )(sin sin )(),r a b θθαβαβ-+-=+ 即2222(1cos())(1)(1cos 2),2r m k bαβθ--=+- 这样便可以得到： 2222226(1)1131(1cos 2)((cos 2)(1))24b k r m k k k θθ-=⋅+-++- ② 设223221333cos 2,[,],()(1)[()(1)]1,2444t k t k k f t t t k t k t k θ=∈-=-++-=-++- 由'223()30,42k f t t k t =-+=⇒=± 而32213()()1(1)(1),2442k k f k f k k k -==+-=+- 32213()()1(1)(1).2442k k f k f k k k =-=--=-+ 于是max ()f t =2(1)(1),2k k +- min ()f t =2(1)(1),2k k -+利用关系式②可求得222max 222min 6(1)143,1()3b k a b r m f t a b -=⋅=++ 222min 222max 6(1)143.1()3b k ab r m f t b a -=⋅=++ 取到最值的条件是：cos 2,,.26k m k k m Z πθθ=±±⇒=∈ 下面利用①计算取得最值的点的坐标：(仅就0θ=给出计算，其余的计算是类似的)tan ,2αβ+→∞1tan tan ,2222k βγγααβππ+++=-⇒=+212,,.22k k k Z βγγαπ++=-+∈ 于是得到：121(21),2(1),k k k αβπγπ+=+=--于是点C 在x 轴上，,A B 关于y 轴对称：不难利用椭圆方程计算出正ABC ∆各点的坐标.（其中(,0)C a -）（未完待续。