28.2.1解直角三角形
西湖中学 黄 勇
一、内容和内容解析
1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。
2、内容解析：本节是学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题。本课内容既能加深对锐角三角函数的理解，又能为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下的作用。
二、目标和目标解析
1．了解解直角三角形的意义和条件．
2．能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．
目标解析：达成目标1的标志是，知道解直角三角形的内涵，能根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素。达成目标2的标志是根据元素的关系，选择适当关系式，求出未知元素。
三、学情分析
在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，学生通过学习锐角三角函数，有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，且解直角三角形往往需要综合运用勾股定理及三角函数的知识，具有一定的综合性。
四、教学过程
1、实例引入，初步体验
本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题。设塔顶中心点为B ，
塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引
垂线，垂足为点C ，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，
AB ＝54.5m ，求∠A 的度数。 sinA=5.542.5=AB BC ≈0.0954 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个角，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B ＝90°；
边边关系：勾股定理，即222c b a =+；
边角关系：锐角三角函数，即：
b a B a b B
c a B c b B a b A b a A c
b A
c a A ========cot ,tan ,cos ,sin cot ,tan ,cos ,sin
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之C A
B
处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形．
解这个直角三角形。
思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样，可以先求AB ，也可以先求∠A ，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．
解答
例2 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，32=BC ，
22=CD ,求AC ，AB ，∠A ，∠B(精确到1′)．
思路与技巧 在Rt △ABC 中，仅已知一条直角边BC 的长，
不能直接求解．注意到BC 和CD 在同一个Rt △BCD 中，
因此可先解这个直角三角形．
解答 在Rt △BCD 中
281222=-=-=CD BC BD
6,2==BC AC A B C 26326tan ===AC BC A o
60=∠∴A o
o o o 30609090=-=∠-=∠A B 222==AC AB 33322cos 363222sin ======
BC BD B BC CD B
用计算器求得 ∠B ＝54°44′ 于是∠A ＝90°-∠B ＝35°16′ 在Rt △ABC 中， 62366sin 63
332cos =⨯
=⨯==⨯==B AB AC B BC AB
五、课堂小结
1、直角三角形中，除直角外，五个元素之间的关系。
2、什么是解直角三角形。
六、课堂练习
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形。
（1）C ＝20，b=20; （2）∠B ＝72°，c=14；（3）∠B ＝30°，a=7
