几何综合题
类型一图形背景变换问题
1. 已知四边形ABCD是矩形，E为CD的中点，F是BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，过点M作MN⊥CM，交AD于点N.
(1)如图①，当点F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
(2)如图②，若AB
BC＝
EF
BF＝2，求
AN
DN的值；
(3)如图③，连接AN，若AB
BC＝
EF
BF＝4，求tan∠AMN的值．
第1题图
(1)证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCE＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴CF＝BF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∵BC＝CB，
∴△MBC≌△ECB(ASA)，
∴BM＝CE，
∵CE＝DE，
∴DE＝BM，
∵AB＝CD，
∴AB－BM＝CD－DE，即AM＝CE；
(2)解：∵AB∥CD，
∴△ECF∽△BMF，
∴EF
BF＝
EC
BM＝2，设BM＝a，则EC＝DE＝2a，
∴AB＝CD＝4a，AM＝3a，
∵AB
BC＝2，
∴BC＝AD＝2a，
∵NM⊥CM，
∴∠AMN＋∠CMB＝90°，∵∠AMN＋∠MNA＝90°，
∴∠CMB ＝∠MNA ， 又∵∠A ＝∠CBM ＝90°， ∴△AMN ∽△BCM ， ∴
AM BC ＝AN BM
， ·∴3a 2a ＝AN a
，
∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝1
2a ，
∴AN ND ＝32
a 1
2a ＝3； (3)解：∵AB ∥CD ， ∴△ECF ∽△BMF ， ∴
EC BM ＝EF
BF ＝4，设BM ＝b ，则EC ＝DE ＝4b ， ∴AB ＝CD ＝8b ，AM ＝7b ， ∵
AB
BC
＝4， ∴BC ＝AD ＝2b ，
如解图，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，则HN ＝BC ＝2b ，
第1题解图
易证△HMN ∽△BCM ， ∴
HN BM ＝HM BC ，即2b b ＝HM 2b
， ∴HM ＝4b ，
∴在Rt △HMN 中，tan ∠AMN ＝HN HM ＝2b 4b
.
2. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝5
5，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC .
(1)求证：△ABE ≌△CBE ；
(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积；
(3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．
第2题图
(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .
在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；
(2) 解：如解图①，连接AC 交BD 于点0，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，
第2题解图①
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD .
∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝
55
， ∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45，
∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，
∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP
， ∴
AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝7
2
， ∴AP ＝7
2PE ，
又∵EF ∥AH ，
∴△EFP ∽△AHP ， ∴
EF AH ＝PE AP
， ∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72
PE ×4＝8
7
，
∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝12
7；
(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，
第2题解图②
∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，
∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，
∴AO ＝OE ＝5，
∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，
∴△ADE ∽△PBE ， ∴AD BP ＝DE BE
， ∴
5BP ＝535， ∴BP ＝15.
3. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，连接BD ，点E 在直线BC 上，直线AE 交BD 于
点M ，交直线DC 于点F ，G 是EF 的中点，连接CM 、CG .
(1)如图①，当点E 在BC 边上时，求证：AM ＝CM ；
(2)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，求证：∠MCG ＝90°；
(3)如图②，当点E 在BC 的延长线上时，若AB ＝1，且CM ＝CE ，求CE 的长．
第3题图
(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，
在△ABM 和△CBM 中，AB ＝CB ，∠ABM ＝∠CBM ，BM ＝BM ， ∴△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴AM ＝CM ；
(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠CBM ，∠BCD ＝90°， 由(1)同理可证△ABM ≌△CBM (SAS)， ∴∠BAM ＝∠BCM ， ∵∠ECF ＝90°，点G 是EF 的中点， ∴GC ＝GF ，
∴∠GCF ＝∠GFC ， 又∵AB ∥DF ，
∴∠BAM ＝∠DFM ＝∠GFC ， ∴∠BCM ＝∠GCF ，
∴∠GCF ＋∠MCF ＝∠BCM ＋∠MCF ＝90°， 即∠MCG ＝90°；
(3)解：由(2)知∠BAM ＝∠BCM ， ∵CM ＝CE ，
∴∠CME ＝∠CEM ， ∴∠BCM ＝2∠CEM ， ∴∠BAE ＝2∠CEM ， ∵AB ⊥BE ，
∴∠BAE ＋∠CEM ＝90°，即2∠CEM ＋∠CEM ＝90°， ∴∠CEM ＝30°， ∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB tan30°＝13
3＝3，
∴CE ＝BE －BC ＝3－1.
4. 已知四边形ABCD 是正方形，AB ＝6，将一个含30°的直角三角板BEF 放在正方形上，其中∠FBE ＝30°，∠BEF ＝90°，且BE ＝BC ，绕点B 转动△BEF .
(1)如图①，当点F 落在AD 边上时，求∠EDC 的度数；
