数学难题(延伸拓展)

超难题系列八年级上册数学《三角形》21道超难题一．选择题（共1小题）1．（2020春•南岗区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°二．解答题（共21小题）2．（2021春•江都区期中）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A=80°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；【延伸推广】线所在的直线交于点P．若∠A=m°（m>54），∠B=54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）3．（2021•香洲区校级模拟）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）4．（2019秋•揭阳期末）探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（3）深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．5．（2019秋•长葛市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数．（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β>α），求∠E的大小．（用含α、β的代数式表示）6．（2019秋•辽阳期末）已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC=α．（1）当α=40°时，∠BPC= °，∠BQC= °；（2）当α= °时，BM∥CN；（3）如图②，当α=120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；（4）在α>60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．7．（2019春•高邑县期末）如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．（1）若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运动发生变化？请说明理由．（2）若∠AOB=α°（0<α<180），∠ECD=1 /n ∠ACD，∠CDF=1/n ∠CDO，则∠F= °．（用含α、n的代数式表示）8．（2019春•芙蓉区校级期中）在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）如图，点D在线段BC上．①若∠B=70°，∠C=30°，则∠DAE= ；②若∠B=α，∠C=β，则∠DAE= ．（用含α、β的代数式表示）（2）如图2，若点D在边CB的延长线上时，若∠ABC=α，∠C=β，写出∠DAE与α、β满足的数量关系式，并说明理9．（2018春•南安市期末）阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（Ⅰ）问题引入：如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC= 度；若∠A=α，则∠BOC= （用含α的代数式表示）；（Ⅱ）类比探究：如图②，在△ABC中，∠CBO=1/3 ∠ABC，∠BCO=1/3 ∠ACB，∠A=α．试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1/n ∠DBC，∠BCO=1/n∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．10．（2018春•镇平县期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．11．（2017秋•开江县期末）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC= ；若∠A=a°，则∠BEC= ．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．12．（2021春•镇江期末）直线AB、CD为平面内两条直线，点M、点N分别在直线AB、CD上，点P（P不在直线AB、CD上）为平面内一动点．（1）如图1，若AB、CD相交于点O，∠MON=40°；①当点P在△OMN内部时，求证：∠MPN-∠OMP-∠ONP=40°；②小芳发现，当点P在∠MON内部运动时，∠MPN、∠OMP、∠ONP还存在其它数量关系，这种数量关系是；③探究，当点P在∠MON外部时，∠MPN、∠OMP、∠ONP之间的数量关系共有种；（2）如图2，若AB∥CD，请直接写出∠MPN与∠AMP、∠CNP之间存在的所有数量关系是．13．（2021春•永嘉县校级期中）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：；（3）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 度（4）如图3所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．14．（2021春•安丘市期末）如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．15．（2020秋•椒江区校级月考）在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”．如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C．（1）∠ABO的度数为°，△AOB （填“是”或“不是”）“智慧三角形”；（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数．（直接写出答案）模型：角平分线模型16．（2020秋•阜平县期中）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相17．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF=85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF=∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．18．（2019春•新华区校级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO=60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．19．（2018秋•崇左期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图（1）若∠BOD=35°，求∠AOC的度数，若∠AOC=135°，求∠BOD的度数．（2）如图（2）若∠AOC=150°，求∠BOD的度数．（3）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由．（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°<∠AOD<90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．20．（2019春•永年区期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．（3）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．21．（2019春•潍坊期末）△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2= ；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由22．（2019春•城厢区校级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP 上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF= °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．。

初一数学《有理数》拓展提高试题友情提醒：试卷较难，请耐心想一想一、 选择题（每小题3分，共30分）1、设a 是最小的自然数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a-b+c•的值为( )A.-1B.0C.1D.22、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ）Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数3、若0ab ≠，则a b a b+的取值不可能是-----------------------------------------------（ ） A ．0 B.1 C.2 D.－24、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，37ax bx +-的值是（ ）A 、－23B 、－17C 、23D 、175、如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律报数，那么第2005名学生所报的数是……………………… （ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b, 那么a-b 的值只能是( ).A.2B. -2C. 6D.2或67、 x 是任意有理数，则2|x |+x 的值( ).A.大于零B. 不大于零C. 小于零D.不小于零8、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.65199、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ). A.3个 B.4个 C.5个 D.6个10、3028864215144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ） A ．41 B ．41- C ．21 D ．21- 二、填空题（每小题4分，共32分）11.请将3，4，－6，10这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）_______________ ______ ； 12. (－3)2013×( －31)2014= ； 13.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x 2-= . 14.北京到兰州的铁路之间有25个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求.15.设c b a ,,为有理数，则由cc b b a a ++ 构成的各种数值是 16.设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则 │b-a │+│a+c │+│c-b•│=__ _ ；17.根据规律填上合适的数： 1，8，27，64， ,216；18、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为501(21);n n =-∑又如“333333333312345678910+++++++++”可表示为1031n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：521(1)n n =-∑= （填写最后的计算结果）。

鸡兔同笼的最难延伸题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：鸡兔同笼问题是一道经典的数学难题，它起源于中国古代的寓言故事，被广泛应用于数学推理和逻辑思维的训练中。

问题的具体描述是：在一个笼子里有若干只鸡和兔子，它们的总头数是35，总腿数是94。

问鸡和兔子各有多少只？这个问题看似简单，实际上却蕴含着极大的挑战性和深刻的数学思想。

一般来讲，通过列方程组可以解决这个问题，但这只是其中的第一步，更大的挑战在于如何将这个问题延伸，进一步深化思考，探索更多的可能性和规律性。

我们可以考虑如何改变题目中的条件，使问题更为复杂。

我们可以增加总头数和总腿数的限制条件，让问题变得更加困难。

或者我们可以引入其他种类的动物，如鸭子、猪等，再加上各种不同的条件限制，来构建一个更为复杂的数学难题。

我们可以考虑从数学的角度出发，探索更多的解题方法和技巧。

除了传统的代数方法外，我们可以尝试使用排列组合、概率统计、几何推理等数学工具，来处理问题中的各种变化和特殊情况。

这样不仅可以提高数学问题的解题难度，还可以拓展我们的思维空间和解题思路。

我们还可以加入一些现实生活中的情境和背景，使数学问题更富有趣味性和实用性。

我们可以设想某个农场里有各种动物，它们的头数和腿数有一定的规律，农场主需要根据这些规律来管理动物的数量和种类，从而达到最优的经济效益。

这样一来，这个数学问题就不再是一道单纯的计算题，而是一个涉及到生活、经济、决策等多个领域的复杂问题。

我们可以将鸡兔同笼问题与其他数学难题进行结合，构建一个更为综合和复杂的数学挑战。

我们可以将鸡兔同笼问题与猴子搬桃子、国际象棋等经典问题相结合，通过分析它们之间的内在联系和共同点，来开拓我们的数学思维和解题能力。

鸡兔同笼问题的延伸题目不仅可以增加数学难度和挑战性，还可以拓展我们的数学视野和思维方式，激发我们对数学的兴趣和热情。

希望通过不断地探索和实践，我们能够在数学的世界中发现更多的乐趣和智慧，不断提升自己的数学素养和解题能力。

三年级数学思维能力竞赛班级姓名温馨提示：同学们，在时间仓促时，请先做比较容易的题，再做比较复杂的题。

遇到难题时，多读题，读懂题，请多多采用画图的方式来分析解决问题。

1、小明做加法时，把个位上的6看成了8，把十位上的3看成了5，结果得800，这道加法实际应得（）。

2.王师傅把一根长木料锯成两段要2分钟，他把这根木料锯成8段，一共要几分钟？3.一家冷饮店，喝完饮料后，用2个空瓶可以换1瓶饮料，小芳买了4瓶饮料，他最多能喝多少瓶饮料？4.小红有一捆铅笔，她光给了弟弟一半又一只，又给了妹妹剩下的一半又一只，最后自己只剩下一只，小红原有铅笔多少只？5.老师布置会场，按红、黄、蓝、绿的顺序挂了42个气球，红气球挂了几个？6.有一杯果汁，小明先喝一半，然后加满水，又喝了一半，又加满水，最后全部喝完，问小明喝的果汁多还是水多？7.盒子里有5只苹果，2只黄苹果，3只红苹果，至少摸几只才能确保摸到的是红苹果？8.星期天的下午，东东和爸爸在家里用纸牌做游戏，爸爸拿出54张纸牌，把大王放在最下面，对东东说：“我们要从上往下轮流拿纸牌，每次最少拿1张，最多拿3张。

最后，谁拿到大王，谁就获胜。

”东东要求先拿，他能获胜吗？怎样拿才能获胜呢？9.一次马拉松比赛有98名运动员参加，发给他们1——98的号码布号码布上含有数位“8”的运动员一共有多少名？10、有一根2米长的绳子，不用尺子测量怎样能迅速剪下5分米长的一段，你是怎么想的？11、在括号里填上合适的长度单位。

1（）-9（）=1（）1（）-99（）=1（）1（）-999（）=1（）12、工地上有一辆载重4吨的大卡车，运来4台机器，每台重900千克，你认为超载了吗？13、天平的一边放了1袋1千克的盐，另一边放了5个苹果和4袋味精，每袋味精重100克，天平正好平衡，每个苹果大约重多少克？14、在方框里填上合适的数。

6 7 2 3－ 5 3 + 4 3 + 71 4 5 9 0 1 6 0 15、请你把下面的算式改写成两个有余数的除法算式。