2021届新高考版高考数学考点通关提升训练：第九章第五讲 抛物线

专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。

9.7 抛物线核心考点·精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为 ( )A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A. B.2 C. D.33.(2020·保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为( )A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.5.已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为________.【解析】1.选 C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M 的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由已知得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),则=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得=5.又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F,A,B,将A代入抛物线方程,可得2p×=42,得p=4,则准线方程为x=-2,设M(-2,t),则S△ABM=|AB|×p=4×4=16.答案:161.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.②当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m ≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程考点二直线与抛物线的综合问题【典例】1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,则= ( )A. B. C. D.2.(2020·濮阳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为( )A.±B.±1C.±D.±3.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.【解题导思】序号联想解题1 一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化2 当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法3 当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AE⊥BN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m, 因为∠ABN=60°,于是=,解得n=3m,则==.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4,由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则==,即k==,则==,即y0=±,所以直线l的斜率k===±.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B 两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|= ( )A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1++x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=.答案:3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以·=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以⊥,即OA⊥OB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,S△OAB =·|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==2,解得t=±.考点三抛物线的性质及应用命题精解读考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法. 怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2020·沈阳模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.(1)求p的值.(2)若l1⊥l2,求△MAB面积的最小值.【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,焦点到准线的距离为2,即p=2.(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y′=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1⊥l2,所以·=-1,即x1x2=-4.设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得所以x2-4kx-4m=0,Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.联立方程得:即M(2k,-1).M点到直线l的距离d==,|AB|==4(1+k2),所以S=×4(1+k2)×=4(1+k2≥4,当k=0时,△MAB的面积取得最小值4.抛物线与向量的综合问题【典例】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.【解析】(1)直线AB的方程是y=2x-,与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0,由已知,方程必有两个不等实根,所以x1+x2=,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.(2)由(1)知,x2-5x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,所以A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.1.(2019·九江模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”=3、“股”=3,则抛物线方程为( )A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】选B.由题意可知,抛物线的图像如图:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|==6,所以∠CAB=60°,△ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,则p=,所以抛物线方程为y2=3x.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.【解析】直线l斜率必存在,由题可得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故直线l斜率必存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.故k的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]1.已知点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,则|PQ|+x 的最小值为( )A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图象(如图所示)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=________.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以∠FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=×2=,即|FB|=,所以|MF|=5.答案:5。

专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0） （三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝12y例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________． 【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p ．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝my ． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． 题型四 抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________．例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长． 【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． 题型五 抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．题型六 抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ）A ．52B C ．2 D例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）A ．2B ．83 C ．103D ．4例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（ ）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0． 题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．专题9.5 抛物线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．（二）抛物线的标准方程及几何性质y 2=2px （p ＞0） （三）直线和抛物线的位置关系（1）将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠[来源:Z*xx*] 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -=（四）焦半径、焦点弦1.通径过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p __．2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l ．(1)以AB 为直径的圆必与准线l __相切__； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋__p __；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．【常考题型剖析】题型一：抛物线定义的应用例1.（2023·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 00(,)x y 是C 上一点，|AF |=054x ，则0x =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8例2.（2020·全国·高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．96p.【总结提升】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 题型二：抛物线的标准方程例3.（2021·全国高二课时练习）已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝12y【答案】A 【分析】设出点M 的坐标，由题意可知|MA |＝|MN |，进而根据抛物线的定义即可得到答案. 【详解】设动点M (x ，y )，圆M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等.∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x . 故选：A.例4.（2023·全国·高三专题练习）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2,3CB BF AF ==，则此抛物线方程为__________．30，结合2【详解】30，在直角三角形ACE轴交于G【规律方法】1.求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 题型三：抛物线的焦点及准线例5.（2023·全国·高三专题练习）抛物线243y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例6.（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.例7.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2p Q PQ p ∴+∴=-因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【规律总结】求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式； (2)明确抛物线开口方向；(3)求出抛物线标准方程中参数p 的值； (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．题型四 抛物线对称性的应用例8.（2021·全国高二课时练习）已知A ，B 是抛物线22(0)y px p =>两点，O 为坐标原点．若OA OB =，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程为________． 【答案】52p x = 【分析】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称,设出坐标，利用三角形垂心的性质，结合斜率之积为1-，求出,A B 坐标即可求解. 【详解】由抛物线的性质知,A B 关于x 轴对称, 设(,)A x y ，则(,)B x y -，焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.由题意知AF OB ⊥，21AF OB y k x yk p x ∴⋅=⋅-⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 所以22p y x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，即22p px x x ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭.因为0x ≠，所以22p p x =-，即52p x =，所以直线AB 的方程为52px =. 故答案为：52p x =例9.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程； (2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长．230MNt =AOB S =）MON为正三角形，2pt =230MN t =【总结提升】1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． 题型五 抛物线的焦点弦问题例10.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163例11.（2018·全国·高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【答案】2【分析】利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果. 【详解】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y【总结提升】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 题型六 抛物线的最值问题例12.（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x =的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（ ） A ．52B ．2C ．2 D【答案】B【分析】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线40x y +-=的垂线，此时12d d +最小，再根据点到直线距离公式即可求解.【详解】直线2:1l x =为抛物线24y x =-的准线，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直()1,0F -，则121045222d d --==++． 例13.（2023·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ）A ．2B ．83 C ．103D ．4【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及AF FB λ=，联立可得的焦点坐标为()1,0，准线方程为为AF FB λ=，所以所以AB AF =+=3λ时，AB =12λ⎛⎫++例14.【多选题】（2022·全国·高三专题练习）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（ ）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -由题意得：()0,2F ，连接AF 并延长，交抛物线于点P ，此点即为||||PA PF -取最大值的点，此时415PA PF AF -==+=，其他位置的点P '，由三角形两边之差小于第三边得：5P A P F AF ''-<=，故||||PA PF -的最大值为5，D 正确.故选：BCD【规律方法】1.求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．2. 常见题型及处理方法：(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．(3)方法：设P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，则x 0＝y 202p ，即P (y 202p，y 0)．由两点间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解．(4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y 2＝2px (p >0)，则x ≥0，y 2≥0． 题型七：与抛物线有关的综合问题例15.（2022·天津·高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=例16.（2019·北京·高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.例17. （2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，)()743,11,⎤⎡-++∞⎦⎣.）求出p 的值后可求抛物线的方程）方法一：设:1AB x ty =+，()11,,A x y B 24y t =，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出1m．-++∞．3)[743,1)(1,)ab=-．，即1+3][1483,-++∞．3][743,1)(1,)【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.例18.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程. 联立，并利用韦达定理表示OM ON +，并利用()12//OM ON B A +，求直线的斜率，验证后，即可得到直线21y +=可知2a ，21b =，)2,0，（2）由椭圆2214x y +=可知()12,0A -，()20,1B -，则(1OM ON x +=+因为()12//OM ON B A +，且12(2,0)B A =所以2284820k k k --⨯=，解得2k =-+因为11k -<<，且0k ≠，26=--不符合题意，舍去， )【总结提升】抛物线的综合问题常常涉及方程、几何性质，以及与直线、圆、椭圆、双曲线、向量等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线、圆、圆锥曲线有关时，常常联立方程组，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解抛物线考试要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理 1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1|F A|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切．(×) 教材改编题1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为() A ．y ＝－18B ．y ＝－14 C ．y ＝－12D ．y ＝－1 答案A解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于() A ．9B ．8C ．7D ．6 答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得， |PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝8.3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________． 答案y 2＝±42x解析由已知可知双曲线的焦点为 (－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2， 所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1定义及应用例1(1)(2020·全国Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于() A ．2B ．3C ．6D ．9 答案C解析设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p2＝12. 又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p2＝12，解得p ＝6.(2)已知A (3,2)，点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|P A |＋|PF |取得最小值，则点P 的坐标为() A ．(0,0) B ．(2,2) C ．(1，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案B解析如图所示，设点P 到准线的距离为d ， 准线方程为x ＝－12， 所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ≥|AB | ＝3＋12＝72，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，|P A |＋|PF |取得最小值， 此时点P 的坐标为(2,2)．思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．命题点2求标准方程例2(1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为() A ．x ＝－4B ．x ＝－3 C ．x ＝－2D ．x ＝－1 答案A解析直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4,0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4,0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析根据抛物线的定义可得|AD|＝|AF|＝4，又∠DAF＝60°，所以|AD|－p＝|AF|cos60°＝12|AF|，所以4－p＝2，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.教师备选1．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A．3B.32C．5D.52答案B解析由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF |＋|NF |＝|MM ′|＋|NN ′|， 所以线段MN 的中点到准线的距离为12(|MF |＋|NF |)＝52，所以线段MN 的中点到y 轴的距离为52－1＝32.2．(2022·济南模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)．若直线AB 的斜率为33，点A 的纵坐标为32，则p 的值为() A.14B.12C ．1D ．2 答案C解析由题意得，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点在y 轴上， 准线方程为y ＝－p2， 设A (x A ，y A )， 则|AF |＝y A ＋p 2＝32＋p2， 设直线AB 的倾斜角为α， 则tan α＝33，因为α∈[0，π)，所以α＝π6， 所以|AF |＝y A －p 2sin α＝32－p2sin α＝3－p2sin α＝3－p 2×12＝3－p ， 所以3－p ＝32＋p2，解得p ＝1.思维升华 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法；(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练1(1)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线() A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP 答案B解析连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则△QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”．设点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上一点A 作准线的垂线，垂足为B ，直线AF 交准线l 于点C ，若Rt △ABC 的“勾”|AB |＝3，“股”|CB |＝33，则抛物线的方程为 ()A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝6x 答案B解析如图，|AB |＝3，|BC |＝33， 则|AC |＝32＋(33)2＝6，设直线l 与x 轴交于点H ，由|AB |＝|AF |＝3，|AC |＝6，可知点F 为AC 的中点， 所以|FH |＝12|AB |＝32， 又|FH |＝p ，所以p ＝32， 所以抛物线的方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质例3(1)(2021·新高考全国Ⅱ)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p 等于()A ．1B ．2C ．22D ．4 答案B解析抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．(2)已知弦AB 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列说法中错误的是()A ．当AB 与x 轴垂直时，|AB |最小 B.1|AF |＋1|BF |＝2pC ．以弦AB 为直径的圆与直线x ＝－p2相离 D ．y 1y 2＝－p 2 答案C解析当AB 与x 轴垂直时，AB 为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即|AB |最小，A 正确； 设AB 方程为x ＝ty ＋p 2， 由⎩⎨⎧x ＝ty ＋p2，y 2＝2px ，得y 2－2pty －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，D 正确；∴x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22p＝4p 2t 2＋2p 22p＝2pt 2＋p ，x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 24，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝2pt 2＋2p p 2＋p 2t 2＝2p (t 2＋1)p 2(t 2＋1)＝2p，B 正确； ∵AB 的中点到x ＝－p 2的距离为12(x 1＋x 2＋p )＝12|AB |，∴以AB 为直径的圆与准线x ＝－p 2相切，C 错误．教师备选1．抛物线y 2＝2px (p >0)准线上的点A 与抛物线上的点B 关于原点O 对称，线段AB 的垂直平分线OM 与抛物线交于点M ，若直线MB 经过点N (4,0)，则抛物线的焦点坐标是()A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 答案C解析设点B (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，则点A (－x 1，－y 1)，可得－x 1＝－p 2，则x 1＝p 2，设直线MB 的方程为x ＝my ＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，y 2＝2px ，可得y 2－2mpy －8p ＝0， 所以y 1y 2＝－8p ，由题意可知，OB →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p 2＋y 1y 2 ＝64p 24p 2－8p ＝16－8p ＝0，解得p ＝2.因此，抛物线的焦点为(1,0)．2．(2022·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r ：y 2＝x ，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线l 1从点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1射入，经过r 上的点A (x 1，y 1)反射后，再经r 上另一点B (x 2，y 2)反射后，沿直线l 2射出，经过点Q ，则下列结论错误的是()A ．y 1y 2＝－1B ．|AB |＝2516C ．PB 平分∠ABQD ．延长AO 交直线x ＝－14于点C ，则C ，B ，Q 三点共线答案A解析设抛物线的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，1，且l 1∥x 轴，故A (1,1)，故直线AF ：y ＝1－01－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＝43x －13.由⎩⎨⎧ y ＝43x －13，y 2＝x ，可得y 2－34y －14＝0，故y 1y 2＝－14，故A 错误；又y 1＝1，故y 2＝－14，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫116，－14，故|AB |＝1＋116＋12＝2516，故B 正确；直线AO ：y ＝x ，由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＝－14，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－14，故y C ＝y 2， 所以C ，B ，Q 三点共线，故D 正确；因为|AP |＝4116－1＝2516＝|AB |，故△APB 为等腰三角形，故∠ABP ＝∠APB ，而l 1∥l 2，故∠PBQ ＝∠APB ，即∠ABP ＝∠PBQ ，故PB 平分∠ABQ ，故C 正确．思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为______________．答案x ＝－32解析方法一(解直角三角形法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.方法二(应用射影定理法)由题易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p 2×6，解得p ＝3或p ＝0(舍去)，所以C 的准线方程为x ＝－32.(2)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝______，1|AF |＋1|BF |＝________.答案21解析由p 2＝1，得p ＝2.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝1与y 2＝4x联立解得y ＝±2，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝12＋12＝1；当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －1)，代入抛物线方程，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，1|AF |＋1|BF |＝|AF |＋|BF ||AF ||BF |＝x 1＋x 2＋2(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋21＋x 1＋x 2＋1＝1. 综上，1|AF |＋1|BF |＝1.题型三 直线与抛物线例4已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1. 故|AB |＝4133.教师备选如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．解(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12<x <32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)．(2)由(1)得直线AP 的斜率为k ，x ＝k ＋12，则直线BQ 的斜率为－1k (k ≠0)，设直线AP 的方程为kx －y ＋12k ＋14＝0，直线BQ 的方程为x ＋ky －94k －32＝0，联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3.令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.当k ＝0时，|P A |＝1，|PQ |＝1，|P A |·|PQ |＝1，所以|P A |·|PQ |的最大值为2716. 思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则可用弦长公式．跟踪训练3设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，当MA ⊥OA 时，|MF |＝2.(1)求p 的值；(2)若AM →·AN→＝0，求直线l 的方程． 解(1)当MA ⊥OA 时，此时点M 的纵坐标为2，其横坐标x M ＝2p .因为|MF |＝2，根据抛物线的定义，得|MF |＝2p ＋p 2＝2，解得p ＝2.(2)由(1)知，抛物线C 的方程为y 2＝4x ，点F 的坐标为(1,0)．设直线l ：x ＝ky ＋1，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，化简可得y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.根据题意AM →＝(x 1，y 1－2)，AN →＝(x 2，y 2－2)，且AM →·AN →＝0，所以x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.将x 1x 2＝y 21y 2216＝1，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入化简可得4－2×4k －4＋1＝0，解得k ＝18，所以直线l 的方程为x ＝18y ＋1，即8x －y －8＝0.课时精练1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是()A ．2B ．1C.12D.14答案D解析抛物线标准方程x 2＝2py (p >0)中p 的几何意义为抛物线的焦点到准线的距离，由x 2＝12y 得p ＝14.2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则弦AB 的中点到y 轴的距离为()A ．2B ．3C ．4D ．6答案B解析因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p，所以8＝x1＋x2＋2，则x1＋x2＝6，所以AB的中点到y轴的距离为d＝x1＋x22＝62＝3.3．(2022·桂林模拟)已知抛物线y＝12x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝2|NF|，则|MF|等于()A．2B．3C.2D. 3答案C解析如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H，设l与y轴的交点为K.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|MN|＝2|NH|，则∠NMH＝45°.在Rt△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝2|FK|.而|FK|＝1，所以|MF|＝ 2.4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为()A．26mB．46mC．42mD．12m答案B解析由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y，水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝26，x2＝－26，所以此时水面宽度d＝2x1＝4 6.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则下列结论不正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案B解析由焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；则抛物线方程为y 2＝8x ，故B 错误；焦点F (2,0)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ,2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，∴y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2， ∴直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 正确；又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2x －4，可得x 2－6x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．6．已知A ，B 为抛物线x 2＝2py (p >0)上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则|CD |的最大值为()A ．2B.2C.22D.12答案A解析根据题意，2π＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22， ∴|AB |＝2 2.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，过点A 作AQ ⊥l 于Q ，过点B 作BP ⊥l 于P ，如图，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，∴在四边形ABPQ 中，2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b ，由勾股定理得，8＝a 2＋b 2，∵|CD |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4＝8＋2ab 4 ＝2＋ab 2≤2＋a 2＋b 24＝4，∴|CD |≤2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．7．(2021·北京)已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，点M 为抛物线C 上的点，且|FM |＝6，则M 的横坐标是________，作MN ⊥x 轴于N ，则S △FMN ＝________.答案54 5解析因为抛物线的方程为y 2＝4x ，故p ＝2且F (1,0)，因为|MF |＝6，所以x M ＋p 2＝6，解得x M ＝5，故y M ＝±25，所以S △FMN ＝12×(5－1)×25＝4 5.8．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案163解析如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.9．过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在点M (－2，y 0)，使得MA ⊥MB ，求直线l 的方程．解(1)抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线方程为y ＝－p 2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. ∵当点A 的纵坐标为1时，|AF |＝2，∴1＋p 2＝2，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)∵点M (－2，y 0)在抛物线C 上，∴y 0＝(－2)24＝1.又F (0,1)，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，MA →＝(x 1＋2，y 1－1)， MB →＝(x 2＋2，y 2－1)． ∵MA ⊥MB ，∴MA →·MB→＝0， ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，∴－4＋8k ＋4－4k 2＝0，解得k ＝2或k ＝0.当k ＝0时，l 过点M (舍去)，∴k ＝2，∴直线l 的方程为y ＝2x ＋1.10．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)，过点P (3,0)的直线l 交抛物线E 于A ，B ，且OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)．(1)求抛物线E 的方程；(2)求△AOB 面积的最小值．解(1)设直线l 为x ＝ty ＋3，代入E ：y 2＝2px 整理得y 2－2pty －6p ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－6p ，所以x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝(－6p )24p 2＝9，由OA →·OB→＝－3， 即x 1x 2＋y 1y 2＝－3，得9－6p ＝－3，所以p ＝2，所以所求抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－12，|AB |＝1＋t 2(4t )2＋48 ＝41＋t 2t 2＋3，点O 到直线l 的距离为d ＝31＋t 2，则S △AOB ＝12|AB |·d＝12×31＋t 2×41＋t 2t 2＋3 ＝6t 2＋3≥63，当t ＝0时，等号成立，故当t ＝0时，△AOB 面积有最小值6 3.11．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析由题意可知，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 又F 为△ABC 的重心，故x A ＋x B ＋x C 3＝12， 即x A ＋x B ＋x C ＝32.又由抛物线的定义可知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋x B ＋x C ＋32＝32＋32＝3. 12．某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA 的顶端A 处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示．现要求水流最高点B 离地面4m ，点B 到管柱OA 所在直线的距离为3m ，且水流落在地面上以O 为圆心，以7m 为半径的圆上，则管柱OA 的高度为()A.53mB.74mC.94mD.73m答案B解析以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，记BM ⊥OC 且垂足为M ，A 在y 轴上的投影为D ，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知|AD |＝3，|BM |＝4，|OC |＝7，所以|MC |＝|OC |－|AD |＝7－3＝4，所以C (4，－4)，代入抛物线方程可知16＝8p ，所以p ＝2，所以抛物线方程为x 2＝－4y ，又因为x A ＝－3，所以y A ＝y D ＝－94，所以|BD |＝94，所以|OA |＝|DM |＝|BM |－|BD |＝4－94＝74，所以OA 的高度为74m.13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论不正确的是()A ．点P 到抛物线焦点的距离为54B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为12答案D解析因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.对于A ，|PF |＝1＋14＝54，A 正确；对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14，所以S △OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝532，B 正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，C 正确；对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k ′(x －1)，与y 2＝x 联立得k ′y 2－y ＋1－k ′＝0，所以y M ＋1＝1k ′， 即y M ＝1k ′－1，则x M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12， 所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12，1k ′－1， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12，－1k ′－1， 所以k MN ＝1k ′－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ′－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ′－12 ＝2k ′－4k ′＝－12，D 错误． 14．已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．答案74解析由题意得M (2,0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN → 得(x －2，y ＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.15．已知抛物线C ：y 2＝4x ，其准线与x 轴交于点M ，过其焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则1k 21＋1k 22的最小值为() A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析由题意，可得焦点坐标F (1,0)，准线方程为x ＝－1，可得M (－1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4，因为1k 1＝x 1＋1y 1＝my 1＋1＋1y 1＝m ＋2y 1， 1k 2＝x 2＋1y 2＝my 2＋1＋1y 2＝m ＋2y 2，所以1k 21＋1k 22＝⎝⎛⎭⎪⎫m ＋2y 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2y 22 ＝2m 2＋4m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22 ＝2m 2＋4m ·y 1＋y 2y 1·y 2＋4·(y 1＋y 2)2－2y 1·y 2y 21·y 22 ＝2m 2＋4m ·4m －4＋4·16m 2＋816＝2m 2＋2， 所以当且仅当m ＝0时，1k 21＋1k 22取得最小值为2. 16．已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．(1)证明设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝tx ＋12，y ＝x 22，可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1. 因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.。

§9.5抛物线基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为x+4y-20＝0,则抛物线的方程为()A.y2＝16xB.y2＝8xC.x2＝16yD.x2＝8y【参考答案】C2.设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a＝()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2【参考答案】D3.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于点M(点M位于第一象限),与它的准线相交于点N,且点N的纵坐标为4,|FM|∶|MN|＝1∶3,则p＝.【参考答案】√24.抛物线y2＝8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为.【参考答案】13考点二抛物线的几何性质5.抛物线y＝14x2的准线方程是()A.y＝-1B.y＝-2C.x＝-1D.x＝-2【参考答案】A6.已知抛物线C:y＝2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于()A.18B.14C.12D.1【参考答案】B7.已知点F是抛物线y2＝2x的焦点,M,N是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|＝4,则线段MN中点的横坐标为()A.32B.2 C.52D.3【参考答案】A8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2＝4√2x的焦点,P为C上一点,若|PF|＝4√2,则△POF的面积为()A.2B.2√2C.2√3D.4【参考答案】C考点三直线与抛物线的位置关系9.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2＝2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43【参考答案】D10.已知双曲线x 23-y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点,直线y ＝kx+m 与抛物线相交于A,B 两个不同的点,点M(2,2)是线段AB 的中点,则△AOB(O 为坐标原点)的面积是( ) A.4√3 B.3√13 C.√14 D.2√3 【参考答案】D11.已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.17√28D.√10【参考答案】B12.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x ＝-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 【参考答案】(-∞,-1)∪(1,+∞)综合篇知能转换【综合集训】考法一 与抛物线定义有关的问题1.(2019湖南岳阳二模,4)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线,交抛物线于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点,若y 1+y 2＝6,则|P 1P 2|＝( )A.5B.6C.8D.10 【参考答案】C2.(2019陕西榆林二模,7)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12,则抛物线的标准方程为( )A.y 2＝x B.y 2＝2x C.y 2＝4x D.y 2＝8x【参考答案】B3.(2019吉林第三次调研测试,12)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F,点A(4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 周长取最小值时,线段PF 的长为( ) A.1 B.134 C.5 D.214【参考答案】B4.(2019内蒙古呼和浩特第一次质量普查,10)已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F,M,N 是抛物线上两点,若|MF|+|NF|＝32,则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为( ) A.32B.34C.58D.54【参考答案】C考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法5.(2019江西五校协作体2月联考,9)已知点A(0,2),抛物线C:y 2＝2px(p>0)的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM||MN|＝√55,则p 的值等于( )A.18B.14C.2D.4 【参考答案】C6.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l 过抛物线y 2＝ax(a>0)的焦点F 且与抛物线交于A,B 两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|＝()A.a 2B.a 4C.2aD.4a 【参考答案】B7.(2019福建泉州五中月考,9)已知抛物线C:y 2＝4x,那么过抛物线C 的焦点,长度为不超过2 015的整数的弦的条数是( )A.4 024B.4 023C.2 012D.2 015 【参考答案】B【5年高考】考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( )A.2B.3C.4D.8 【参考答案】D2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F 是抛物线C:y 2＝8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点,则|FN|＝ . 【参考答案】63.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是 .【参考答案】94.(2015陕西,14,5分)若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2＝1的一个焦点,则p ＝ .【参考答案】2√2考点二 抛物线的几何性质5.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|＝4√2,|DE|＝2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【参考答案】B6.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2＝4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB ＝90°,则k ＝ . 【参考答案】2考点三 直线与抛物线的位置关系7.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A.5B.6C.7D.8 【参考答案】D8.(2019课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y 2＝3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|＝4,求l 的方程; (2)若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.【试题解析】本题主要考查抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线相交的综合问题等内容,考查学生运算求解的能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力,体现了直观想象与数学运算的核心素养. 设直线l:y ＝32x+t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).(1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|＝x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2＝52.由{y ＝32x +t,y 2＝3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2＝0,则x 1+x 2＝-12(t -1)9. 从而-12(t -1)9＝52,得t ＝-78.所以l 的方程为y ＝32x-78. (2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1＝-3y 2. 由{y ＝32x +t,y 2＝3x可得y 2-2y+2t ＝0.所以y 1+y 2＝2.从而-3y 2+y 2＝2,故y 2＝-1,y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3,x 2＝13.故|AB|＝4√133. 思路分析 (1)由|AF|+|BF|＝4确定A 、B 两点横坐标之和,联立直线l 的方程(含参)与抛物线方程,由根与系数的关系得A 、B 两点横坐标之和的含参表达式.两者相等,列方程求出参数.(2)P 点在x 轴上,由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知A 、B 两点纵坐标的比例关系,由根与系数的关系得A 、B 两点纵坐标之和,二者联立,确定A 、B 的纵坐标,进而确定A 、B 的坐标,从而求得|AB|.教师专用题组考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y 2＝8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|＝( )A.72 B.3 C.52D.2 【参考答案】B2.(2013课标Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|＝5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2＝4x 或y 2＝8xB.y 2＝2x 或y 2＝8xC.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x【参考答案】C3.(2012课标,20,12分)设抛物线C:x 2＝2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD ＝90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值. 【试题解析】(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|＝2p,圆F 的半径|FA|＝√2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA|＝√2p. 因为△ABD 的面积为4√2, 所以12|BD|·d ＝4√2, 即12·2p ·√2p ＝4√2, 解得p ＝-2(舍去),p ＝2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2＝8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|,所以∠ABD＝30°,m的斜率为√33或-√33.当m的斜率为√33时,由已知可设n:y＝√33x+b,代入x2＝2py得x2-2√33px-2pb＝0.由于n与C只有一个公共点,故Δ＝43p2+8pb＝0,解得b＝-p6.因为m的截距b1＝p2,|b1||b|＝3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.考点二抛物线的几何性质4.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2＝4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C 在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1【参考答案】A5.(2016天津,14,5分)设抛物线{x＝2pt2,y＝2pt(t为参数,p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(72p,0),AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|,且△ACE的面积为3√2,则p的值为.【参考答案】√6考点三直线与抛物线的位置关系6.(2017北京,18,14分)已知抛物线C:y2＝2px过点P(1,1).过点(0,12)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.【试题解析】本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y 2＝2px 过点P(1,1),得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x.所以抛物线C 的焦点坐标为(14,0),准线方程为x ＝-14.(2)易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝kx+12(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).由{y ＝kx +12,y 2＝x得4k 2x 2+(4k-4)x+1＝0.则x 1+x 2＝1-k k 2,x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y ＝x,点A 的坐标为(x 1,x 1).直线ON 的方程为y ＝y2x 2x,点B 的坐标为(x 1,y 2x 1x 2).因为y 1+y 2x 1x 2-2x 1＝y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2x 2＝(kx 1+12)x 2+(kx 2+12)x 1-2x 1x 2x 2＝(2k -2)x 1x 2+12(x 2+x 1)x 2＝(2k -2)×14k 2+1-k2k2x 2＝0,所以y 1+y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示 在设直线方程时,若要设成y ＝kx+m 的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x ＝ty+n 的形式,注意先讨论斜率是不是0.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2020届广东县中10月联考,6)已知抛物线C:y 2＝2px(p>0)的焦点为双曲线x 24-y 212＝1的右焦点,则p ＝( )A.4B.4√2C.8D.8√2 【参考答案】C2.(2020届辽宁阜新中学10月月考,4)已知抛物线x 2＝8y,圆M:(x-1)2+(y-3)2＝1,则圆心M 到抛物线的准线的距离为( )A.5B.4C.2D.4√2 【参考答案】A3.(2020届湖南益阳、湘潭9月质检,10)抛物线y 2＝4x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为M,点Q 在抛物线上,且∠MQF ＝90°,则以MQ 为直径的圆的面积等于( ) A.√5-12π B.√5+12π C.(2√5-2)π D.(2√5+2)π【参考答案】A4.(2020届山西大学附属中学第二次模块诊断,12)已知A(0,3),若点P 是抛物线x 2＝8y 上任意一点,点Q 是圆x 2+(y-2)2＝1上任意一点,则|PA|2|PQ|的最小值为( )A.4√3-4B.2√2-1C.2√3-2D.4√2+1 【参考答案】A5.(2020届广东广州执信中学10月月考,6)如图,已知点S(0,3),SA,SB与圆C:x2+y2-my＝0(m>0)和抛物线x2＝-2py(p>0)都相切,切点分别为M,N和A,B,SA∥ON,则点A到抛物线准线的距离为()A.4B.2√3C.3D.3√3【参考答案】A6.(2019安徽蚌埠二模,11)已知F为抛物线y2＝4x的焦点,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,若点A在抛物线上,且|AF|＝5,则|PA|+|PO|的最小值为()A.√5B.2√5C.√13D.2√13【参考答案】D7.(2018内蒙古包头一模)过抛物线C:y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|＝10,则原点到l的距离为()A.2√55B.3√55C.4√55D.4√35【参考答案】C8.(2019福建福州3月联考,6)设抛物线y2＝4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率为-√3,则△PAF的面积为()A.2√3B.4√3C.8D.8√3【参考答案】B9.(2019江西宜春12月联考,12)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,点M是抛物线C上一点,圆M与y轴相切,且被直线x＝p2截得的弦长为√2p,若|MF|＝52,则抛物线的方程为()A.y2＝4xB.y2＝2xC.y2＝8xD.y2＝x【参考答案】A二、多项选择题(每题5分,共20分)10.(改编题)抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2＝4x 的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射后,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中正确的是()A.x1x2＝1B.k PQ＝-43C.|PQ|＝254D.l1与l2之间的距离为4【参考答案】ABC11.(改编题)已知O是坐标原点,A,B是抛物线y＝x2上不同于O的两点,且OA⊥OB,下列结论中正确的是()A.|OA|·|OB|≥2B.|OA|+|OB|≥2√2C.直线AB过抛物线y＝x2的焦点D.O到直线AB的距离小于或等于1【参考答案】ABD12.(改编题)设F是抛物线C:y2＝8x的焦点,P是抛物线C上一点,点M在抛物线C的准线l上,若FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝4FP⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线FP的方程为()A.y＝2√2(x-2)B.y＝-2√2(x-2)C.y ＝√3(x-2)D.y ＝-√3(x-2) 【参考答案】AB13.(改编题)已知点F 是抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点,AB,CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD,AB 的斜率为k,且k>0,C,A 两点在x 轴上方.则下列结论中一定成立的是( ) A.1|AB|+1|CD|＝12pB.若|AF|·|BF|＝43p 2,则k ＝√33C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.四边形ACBD 面积的最小值为16p 2【参考答案】AC三、填空题(每题5分,共25分)14.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l 过抛物线C:y 2＝2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则p ＝ ,1|AF|+1|BF|＝ .(本题第一空2分,第二空3分) 【参考答案】2;115.(2020届山东枣庄三中10月学情调查,15)设抛物线y ＝-2x 2上一点P 到x 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是 . 【参考答案】33816.(2019辽宁沈阳东北育才学校一模,14)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F,点A 在y 轴上,线段AF 的中点B 在抛物线上,则|AF|＝ . 【参考答案】317.(2020届湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y ＝2x+b 与抛物线x 2＝4y 相切于点A,F 是抛物线的焦点,直线AF 交抛物线于另一点B,则|BF|＝ . 【参考答案】5418.(2018辽宁大连一模)已知抛物线C:y 2＝2x,过点M(1,0)任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点,设点G(2,0),连接AG,BG 并延长,分别和抛物线C 交于点A'和B',则直线A'B'过定点 . 【参考答案】(4,0)四、解答题(共25分)19.(2018山西康杰中学4月月考,20)已知抛物线C:x 2＝2py(p>0),圆O:x 2+y 2＝1.(1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上,且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点,求|AF|; (2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p 的值. 【试题解析】(1)由题意得F(0,1),从而抛物线C:x 2＝4y.解方程组{x 2＝4y,x 2+y 2＝1得y ＝√5-2或y ＝-2-√5(舍去),∴点A 的纵坐标为y A ＝√5-2,∴|AF|＝√5-1.(2)设M(x 0,y 0)(y 0>0),则切线l:y ＝x0p(x-x 0)+y 0,结合x 02＝2py 0,整理得x 0x-py-py 0＝0.由ON ⊥l 且|ON|＝1得0√x 0+p＝1,即|py 0|＝√x 02+p 2＝√2py 0+p 2,∴p ＝2y 0y 02-1且y 02-1>0.∴|MN|2＝|OM|2-1＝x 02+y 02-1＝2py 0+y 02-1＝4y 02y 02-1+y 02-1＝4+4y 02-1+(y 02-1)≥8,当且仅当y 0＝√3时等号成立.∴|MN|的最小值为2√2,此时p ＝√3.思路分析 (1)求出F(0,1),得到抛物线方程,联立圆的方程与抛物线的方程,求出点A 的纵坐标,然后求得|AF|; (2)设M(x 0,y 0)(y 0>0),则切线l:y ＝x0p(x-x 0)+y 0,由ON ⊥l 且|ON|＝1求得p ＝2y 0y 02-1,从而得出|MN|2的表达式,进而利用基本不等式求最小值以及此时p 的值.20.(2020届九师联盟9月质量检测,19)已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F,过点D(2,0)的直线l 与抛物线C 相交于A,B 两点.(1)若△ABF 的面积为3,求直线l 的方程;(2)试判断以线段AB 为直径的圆与点F 的位置关系,并说明理由. 【试题解析】(1)由题意知焦点F 的坐标为(1,0).设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为x ＝my+2.联立得{y 2＝4x,x ＝my +2,消去x,整理得y 2-4my-8＝0,可得y 1+y 2＝4m,y 1y 2＝-8,则S △ABF ＝S △ADF +S △BDF ＝12×|DF|×|y 2-y 1|＝12√(y 2+y 1)2-4y 1y 2＝12√16m 2+32＝2√m 2+2. 由△ABF 的面积为3,可得2√m 2+2＝3,解得m ＝±12, 故直线l 的方程为2x-y-4＝0或2x+y-4＝0. (2)点F 在以线段AB 为直径的圆内. 理由如下:由(1)知x 1x 2＝y 12y 2216＝4,x 1+x 2＝m(y 1+y 2)+4＝4m 2+4.∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2-1,y 2),∴FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2＝x 1x 2-(x 1+x 2)+y 1y 2+1＝4-(4m 2+4)-8+1＝-4m 2-7<0, ∴∠AFB 为钝角,故点F 在以线段AB 为直径的圆内.。

专题9.5抛物线练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A．2B．3C．6D．92．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A ．x 2＝4yB ．y 2＝4xC ．x 2＝8yD ．y 2＝8x3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（）A．12B．1C．32D．24．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(1,0)D．(2,0)5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（）A.216y x=- B.28y x =- C.216y x= D.24y x=6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______.8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.9．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________.10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.练提升1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=o ，则FM 等于（）A ．2B ．3C ．D ．42.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（）A．14B．12C．1D．25．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为3y x =±C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为46．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -=C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m+=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.练真题1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+p =（）A ．1B ．2C ．D ．42．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）AB C ．2D ．33．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OPD．垂直于直线OP4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．。

考点40 抛物线抛物线也是高考的重点、难点，常出现在高考的选择题或填空题中，多考查抛物线的几何性质，也常出现在高考中的解答题中，作为压轴题，多考查直线与抛物线的位置关系.(1)了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->图 形几 何 性质范 围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R0,y x ≥∈R0,y x ≤∈R对称性 关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称焦点(,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F(0,)2p F -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =顶 点 坐标原点(0，0)离心率1e =2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦半径公式0||2pPF x =+ 0||2pPF x =- 0||2pPF y =+ 0||2pPF y =- 3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化．典例1 设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切，则动圆圆心D 的轨迹方程为 A ．24x y = B ．22x y = C ．24y x =D ．22y x =【答案】A【解析】由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为24x y =. 故选A.【名师点睛】本题考查抛物线的定义，属于简单题.由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案.典例2 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)A ．)B ．(0)C ．)D ．(0，)【答案】A【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)，即2p=则抛物线的焦点坐标为0)．故选A ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题．抛物线上的点到准线的最小距离即为顶点到焦点的距离，进而列方程求解即可.1．已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离是它到y 轴的距离的2倍，则点P 到焦点的距离为_________．考向二求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.典例3 若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4√3,则该抛物线的方程是x B．y2=√3xA．y2=3C．y2=2√3x D．y2x【答案】A【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是4√3,2=4√3,故AB=4,正三角形OAB的高为2√3,故可设点A的坐标为(2√3,2),代入抛物线方程得4=4√3p,解得p,故所求抛物线的方程为y2=x.典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．(1)过点(32)-，；(2)焦点在直线240x y --=上．【解析】(1)设所求抛物线的方程为22y px =-或20)2(x py p >=．∵过点(32)-，，∴3()42p =-⨯-或922p =⨯(2)令0x =得2y =-∴抛物线的焦点为(4)0，或(0)2-，．当焦点为(4)0，8p =，此时抛物线的方程为216y x =；当焦点为(0)2-，4p =，此时抛物线的方程为28x y =-. 故所求抛物线的方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =.2．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线AB ，垂足为B且ABF 是边长为8的正三角形，则抛物线C 的方程为( ) A ．24x y = B ．26x y = C ．28x y =D ．210x y =考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．B ．52pC ．2pD p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．(2)解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆22:12O x y +=与C 的一个交点，且3MF =，则C 的标准方程是( ). A ．22y x = B ．23y x = C ．24y x =D ．26y x =考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.【解析】抛物线的焦点为F (1,0),准线方程为x =－1.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p ,即x 1+x 2+2=7,得x 1+x 2=5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52, 因此点M 到抛物线准线的距离为57122+=.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值. 【解析】(1)直线AB 的方程是y =2√2(x-2p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0, 所以x 1+x 2=54p . 由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p =9, 所以p =4,从而抛物线的方程是y 2=8x . (2)因为p =4,所以4x 2-5px+p 2=0，可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3, 所以[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.4．过抛物线22y px =焦点F 的直线，与抛物线交于A 、B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212y y x x = ( ) A ．-4 B ．4 C ．4pD ．-4p考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E (E 在抛物线内)的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线24xy 上的动点Ρ(x,y),则y+|ΡQ|的最小值是A．2 B．3C．4 D．2√2【答案】A【解析】如图,作ΡB⊥x轴于A点,并与准线相交于B点.抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为y=−1,由抛物线的几何意义可得|ΡB|=|ΡF|,所以y+|ΡQ|= |ΡA|+|ΡQ|=| ΡB|+|ΡQ|−1=| ΡF|+|ΡQ|−1≥|FQ|−1=√1+8−1=2.故选A.典例9 已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ.由抛物线的定义可知,|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2, y0),代入抛物线方程x2=8y得y0=1 2 .∴使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,1 2 ).5．已知M 是抛物线24y x =上一点，F 为其焦点，点A 在圆22:(6)(1)1C x y -++=上，则||||MA MF +的最小值是__________.1．抛物线214x y =的准线方程为( ) A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-2．若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．103．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．过抛物线E ：y 2＝2x 焦点的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 中点M 到y 轴距离为1，则|AB |＝( ) A ．2 B ．52C ．3D ．45．抛物线2(0)y mx m =≠的准线与直线1y =的距离为3，则此抛物线的方程为( ) A ．216x y =-B ．28x y =C ．216x y =或28x yD ．28x y =或216x y =-6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22154x y -=的右焦点重合，则下列各点中，在抛物线22y px =上的是( ) A ．(1,2) B ．(3,6)-C ．(2,2)-D ．7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和，则p =( ) A ．2 B ．2或4 C ．1或2D ．18．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．9．如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：()220y px p =>上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，点F 是抛物线C 的焦点.若12+n x x x ++…=10，12+++n PF P F P F …=10+n ，则p 等于( ) A ．2 B ．32C ．52D ．410．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点A ，B 在抛物线C 上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，若90AFB ∠=︒，则||||AB MN 的最小值为( )A ．1 BC ．2D11．若抛物线2:2(0)C x py p =>上的点P 到焦点的距离为8，到x 轴的距离为6，则抛物线C 的方程是_________.12．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______.13．已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP = 14．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，过点P 作l 的垂线交l 于点E ，且60PFE ∠=，4PF =，则抛物线C 的方程为：______________.15．已知点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ．过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则三角形AFM 的面积S =__________． 16．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． (1)求圆心M 的轨迹E 的方程；(2)斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．17．已知抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，(1)求物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ､B 为抛物线C 上异于原点O 的不同两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若122k k =-，求证：直线AB 过定点.18．已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l . (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)3．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ． 经过点OB ． 经过点PC ． 平行于直线OPD ． 垂直于直线OP4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．85．【2018新课标I 理】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．86．【2017新课标全国I 理科】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．107．【2017新课标全国II 理科】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．8．【2018新课标Ⅰ理】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．9．【2020年新高考全国ⅠC ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，32与x 轴的交点为P ．(1)若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； (2)若，求|AB |．11．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1)．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．12．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．3AP PB =(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．13．【2018新课标Ⅱ理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．1．【答案】2 【分析】设点P 的横坐标为()0m m >，利用抛物线的定义和条件建立方程求出m 即可. 【详解】设点P 的横坐标为()0m m >因为抛物线的方程为24y x =，所以其准线方程为1x =-所以根据抛物线的定义可得，点P 到焦点的距离为+1m ，所以+1=2m m ，解得1m = 所以点P 到焦点的距离为2. 故答案为：2. 2．【答案】C 【分析】依题意，画出草图，则8BF =，30DBF ∠=︒，即可求出p ，即可得解； 【详解】解：依题意，设准线l 与y 轴相交于点D ，则8BF =，60ABF ∠=︒，所以30DBF ∠=︒，所以4DF =，即4p =，所以抛物线方程为28x y =故选：C【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题. 3．【答案】C【分析】根据条件作出图示，分别表示出22,,MO MM M O ，利用勾股定理求解出抛物线方程中参数p 的值，由此确定出C 的方程. 【详解】设抛物线的方程为22y px =，连接MO ，过M 作1MM ⊥准线，交y 轴于2M ，因为32M p MF x ==+，所以232M pMM x ==-，所以2M M O y === 在2Rt OMM 中有：22222M O M M MO +=，所以2263122p p p ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，解得：2p =，所以抛物线的方程为：24y x =，故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用，属于中档题.抛物线的焦半径公式如下：(p 为焦准距)(1)焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； (2)焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =-+；(3)焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；(4)焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.4．【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为2p my x =-，与抛物线方程联立，化为2220y pmy p --=，利用根与系数的关系即可得出 【详解】解：设直线AB 的方程为2pmy x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ， 联立222p my x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 消去x 化为2220y pmy p --=，所以21212,2y y p y y pm =-+=，所以2212121212()()()2224p p mp p x x my my m y y y y =++=+++22222244mp p p p m mp =-+⨯+=， 所以21221244y y p px x -==-， 故选：A 【点睛】结论点睛：此题考查抛物线的焦点弦问题，焦点弦有如下常用的结论设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则(1)2212124p x x y y p ==-；(2)弦长1222sin pAB x x p α=++=(α是直线AB 的倾斜角)； (3)112FA FB p+= 5．【答案】6【分析】根据抛物线方程求得准线方程，过点M 作MN 垂直于准线于N ，根据抛物线的定义判断MN MF =，问题转化为求||||MA MN +的最小值，根据A 在圆C 上，判断出当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +有最小值，进一步求出结果 【详解】解：M 是抛物线24y x =上一点，抛物线的准线方程为1x =-， 过点M 作MN 垂直于准线于N ，则MN MF =， 所以||||MA MF MA MN +=+，因为点A 在圆C 上，圆22:(6)(1)1C x y -++=的圆心(6,1)C -，半径为1， 所以当,,M N C 三点共线时，||||MA MN +取得最小值6， 故答案为：6【点睛】关键点点睛：此题考查了抛物线的简单性质的应用，解题的关键是利用了抛物线的定义，结合图形将||||MA MF +转化为||||MA MN +进行求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题.1．【答案】D 【分析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】 因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D 2．【答案】C 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可． 【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 3．【答案】A 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出． 【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．4．【答案】C 【分析】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出3||2MM '=，即得解.【详解】设焦点为F ，过A ，B ，M 分别作准线12x =-的垂线，垂足为A′，B′，M′，则有|AA′|＝|AF |，|BB′|＝|BF |，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|， ∵M 到y 轴距离为1， ∴3||2MM '=， ∴|AB |＝|AF |+|BF |＝2|MM′|＝3． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．【答案】D 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，求出准线方程14y m =-，根据题意可得124m -=-或144m-=，解方程即可. 【详解】将2(0)y mx m =≠化为21x y m=， 其准线方程为14y m=-.由题意知124m -=-或144m-=，解得18m =或116m =-.则所求抛物线的标准方程为28x y =或216x y =-. 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、由抛物线的定义求标准方程，属于基础题. 6．【答案】B 【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，根据焦点坐标求出抛物线的方程，逐项验证点的坐标是否满足抛物线的范围即可. 【详解】因为双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(3,0)，因此362pp =⇒=，则抛物线方程为212y x =， 当3x =时，2366y y =⇒=±，所以点(3,6)-在该抛物线上. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的焦点、根据焦点求抛物线的方程，属于基础题. 7．【答案】B 【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y p x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B. 8．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型. 9．【答案】A 【分析】根据抛物线的定义得n 个等式，相加后，利用已知条件可得结果. 【详解】抛物线C ：()220y px p =>的准线为2px =-， 根据抛物线的定义可知，11||2p PF x =+，22||2p PF x =+，，||2n n p PF x =+， 所以1212||||||222n n p p pPF PF PF x x x +++=++++++，所以12102n npn x x x +=++++，所以10102npn +=+，所以2p =.故选：A 【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题. 10．【答案】B 【分析】设AF m =，BF n =，由抛物线的定义可得112AA BB MN +=再根据勾股定理及不等式求出2||AB数值，代入22||||AB MN 化简即得答案．【详解】设AF m =，BF n =，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，由抛物线的定义可得1AA m =，1BB n =，因为M 为线段AB 的中点，所以112AA BB MN +==2m n+，又90AFB ∠=︒，所以222||AB m n =+，所以()()()2222224||241||m n AB mn MN m n m n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，又()24m n mn +≥，所以()2212mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以22||1412||2AB MN ⎛⎫≥⨯-= ⎪⎝⎭，即AB MN≥AB MNB ．【点睛】本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，勾股定理的应用等知识，属于中档题． 11．【答案】28x y = 【分析】根据抛物线的定义，可得结果. 【详解】 根据抛物线定义，8622p=-=，解得4p =， 故抛物线C 的方程是28x y =. 故答案为：28x y = 【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题. 12．【答案】6 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13【分析】 设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，根据条件结合距离公式求出21m =，即可求得||OP . 【详解】 由已知可得1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设21,2P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，|||AP PF =，222AP PF ∴=则22222211()2()2222m m m m ⎡⎤++=-+⎢⎥⎣⎦，解得21m =，∴OP ===.. 14．【答案】24x y = 【分析】如图作PE l ⊥，60PFE ∠=，由抛物线定义知PFE △是等边三角形，再过焦点F 作FM PE ⊥，知M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p =，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C ：()220x py p =>，焦点(0,)2p F ，准线:2p l y =-如图，PE l ⊥，60PFE ∠=，4PF =，由抛物线定义知4PF PE ==，故PFE △是等边三角形， 过焦点F 作FM PE ⊥，交PE 于M ，则M 为PE 的中点，所以2PM ME ==，即焦点到准线的距离是2p = 故答案为：24x y =【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PF PE =，再利用60PFE ∠=知PFE △是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15 【分析】由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式求出点B 的坐标，代入抛物线方程求出p 的值，根据2AFM BMF S S ∆∆=即可算出结果．【详解】 解：如图所示：，由抛物线的定义可知BF BM =，(2pF ，0)， 又AM MF ⊥，∴由直角三角形的性质可知，点B 为AF 的中点，(4pB ∴，1)，把点(4p B ，1)代入抛物线方程：22(0)y px p =>得，124p p =⨯，解得p =，4B ∴，1)，1221()2424AFM BFM S S ∆∆∴==⨯⨯⨯+=，． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BF BM =，(2pF ，0)，再由直角三角形的性质得，点B 为AF 的中点，利用中点坐标公式表示出点B 的坐标，考查了直角三角形的性质，是中档题． 16．【答案】(1)28y x =；(2)100x y +-=. 【分析】(1)由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.(2)求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】(1)设动点(,)M x y |2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；(2)由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.17．【答案】(1)2y x =；(2)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，由12p =求解.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ，由122k k =-，易得1212y y =-，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理由1212m y y k ==-求解即可.注意直线AB 的斜率不存在的情况. 【详解】(1)因为抛物线22(0)i C y px p =>过点()1,1，所以12p =，解得12p =， 所以抛物线C 的方程为2y x =.(2)设点A ､B 的坐标分别为()()221122,,,y y y y ， 所以121222112211,y y k k y y y y ====， 由题意有121212k k y y ==-，得1212y y =-， ①当直线AB 的斜率不存在时，此时12y y =-，直线AB 的方程为12x =， ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(0)y kx m m =+≠，联立方程2y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为20ky y m -+=，可得1212m y y k ==-，得2k m =-， 直线AB 的方程为2y mx m =-+，可化为122y m x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 由①②知直线AB 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 18．【答案】(1)24y x =；(2)9【分析】(1)设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；(2)不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h的方程为)1y x =-，联立直线与抛物线得231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.【详解】(1)根据题意，设抛物线为()220y px p =>，因为点()1,2-在抛物线上，所以()222p -=，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.(2)由(1)可得焦点()10F ，，准线为:1l x =-， 不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，过F的直线h的方程为)1y x =-，由)24 1y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得231030x x -+=，所以13x =，213x =，代入)1y x =-，得1y =2y =，所以(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭， 所以142p AD x +==，2423p BE x +==，12DE y y =-= 因为四边形ABED 是直角梯形，所以四边形ABED 的面积为()129AD BE DE +⨯=.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.1．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ．【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 4．【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，。

2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。

2021高考数学考点突破——圆锥曲线抛物线学案【考点梳理】1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不通过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴y ＝0 x ＝0焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范畴 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦半径|PF |x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p2考点一、抛物线的定义及应用【例1】(1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，点A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|PA |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.[答案] (1) A (2) (2，2)[解析] (1)由y 2＝x ，知2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线l 的方程为x ＝－14. 设点A (x 0，y 0)到准线l 的距离为d ，则由抛物线的定义可知d ＝|AF |. 从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l时，|PA |＋d 最小，最小值为72，现在P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).【类题通法】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一样运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出． 【对点训练】1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，假如x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.依照题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.2．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为__________．[答案] 5[解析] 如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．因此，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最小．连接AF 交抛物线于点P ，现在最小值为|AF |＝[1－－1]2＋0－12＝ 5.考点二、抛物线的标准方程与几何性质【例2】(1)点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y(2)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于点M (M 在第一象限)，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A ．316 B ．38 C ．233 D ．433 [答案] (1) D (2) D [解析] (1)将y ＝ax 2化为x 2＝1ay .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，∴a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，∴a ＝－136. ∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .(2)由抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)得x 2＝2py (p >0)，因此抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.由x 23－y 2＝1得a ＝3，b ＝1，c ＝2. 因此双曲线的右焦点为(2，0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y －0p 2－0＝x －20－2. 即px ＋4y －2p ＝0.①设M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 202p (x 0>0)，则C 1在点M 处的切线的斜率为x 0p .由题意可知x 0p ＝33，解得x 0＝33p ， 因此M ⎝⎛⎭⎪⎫33p ，p 6， 把M 点的坐标代入①得3p 23＋23p －2p ＝0.解得p ＝433.【类题通法】1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判定焦点位置、开口方向，在方程的类型差不多确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就能够确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，专门是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 【对点训练】1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．[答案] x ＝－2[解析] 由椭圆x 29＋y 25＝1，知a ＝3，b ＝5，因此c 2＝a 2－b 2＝4，因此c ＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.依题意，得p2＝2，因此抛物线的准线x ＝－2.2．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] B[解析] 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)， 故C 的焦点到准线的距离为4.考点三、直线与抛物线的位置关系【例3】在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.[解析] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0, 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .因此N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，因此除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点. 【类题通法】判定直线与圆锥曲线的交点个数时，可直截了当求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 【对点训练】已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴是________.[答案] [－1，1][解析] 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，明显满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范畴是[－1，1].【例4】已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.[解析] (1)把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，因此抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，明显与抛物线只有一个交点不满足题意，因此直线MN (也确实是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，因此判别式大于零，因此k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，因此直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1).直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k 2k2x 2＝0.因此y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1. 故A 为线段BM 的中点.【类题通法】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一样利用根与系数的关系采纳“设而不求”、“整体代入”等解法. 【对点训练】已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 [答案] A[解析] 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k2≥8＋216＝16.当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号.故|AB|＋|DE|的最小值为16.。

课时规范练52 抛物线基础巩固组1.抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是()A. B.C. D.2.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=()A.1B.2C.2D.43.已知F为抛物线y2=4x的焦点,点P(x0,y0)是该抛物线上的一点.若|PF|>2,则()A.x0∈(0,1)B.x0∈(1,+∞)C.y0∈(2,+∞)D.y0∈(-∞,2)4.(2024湖南岳阳三模)已知M为抛物线x2=2py(p>0)上一点,M到抛物线的焦点的距离为4,到x轴的距离为3,则p=()A. B.1 C.2 D.45.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线=1的右焦点重合,则p的值为()A.4B.2C.D.26.在平面直角坐标系中,已知M(2,0),点B为直线l:x=-2上的动点,点A在线段MB的垂直平分线上,且AB⊥l,则动点A的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y7.(多选)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A.若直线AF的斜率k=-,则下列结论正确的是()A.准线方程为x=-3B.焦点坐标FC.点P的坐标为D.PF的长为38.若点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|= .9.若抛物线C焦点在y轴上,且过点(2,1),则抛物线C的标准方程是.综合提升组10.(多选)(2024辽宁葫芦岛一模)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),焦点为F,则()A.点M到焦点的距离为3B.直线MF与x轴垂直C.直线MF与C交于点N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与C相切的直线方程为x-2y+1=011.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,点F为抛物线的焦点,点P为抛物线上一个动点,点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为()A.7B.7C.8D.812.(多选)已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A.点F的坐标为B.若直线MN过点F,则x1x2=-C.若=λ,则|MN|的最小值为D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为13.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为其焦点,以点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点.若△FBC为等腰直角三角形,且△ABC的面积是4,求抛物线的方程.创新应用组14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M(2,m)(m>0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上随意一点,过该点的切线为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.课时规范练52抛物线1.B解析:由y=8mx2(m<0),得x2=y,所以抛物线y=8mx2(m<0)的焦点坐标是.故选B.2.B解析:由题可知抛物线的焦点坐标为,所以焦点到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2或p=-6(舍去).故选B.3.B解析:由题可知=1,所以|PF|=x0+1>2,解得x0>1.故选B.4.C解析:由题意可知点M的纵坐标为3,抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-.由抛物线的定义可得3+=4,解得p=2.5.A解析:由题可知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为,双曲线=1的右焦点为(2,0).因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以=2,解得p=4.故选A.6.A解析:由题可知|AB|=|AM|,AB⊥l,所以点A的轨迹是以点M为焦点,以直线l为准线的抛物线,所以=2,解得p=4,所以点A的轨迹方程为y2=8x.故选A.7.BC解析:∵抛物线方程为y2=6x,∴焦点坐标F,准线方程为x=-,故A错误,B正确;∵直线AF的斜率为-,∴直线AF的方程为y=-x-,∴A-,3.∵PA⊥l,垂足为A,∴点P的纵坐标为3.∴点P的坐标为,故C正确;|PF|=|PA|==6,故D错误.故选BC.8.5解析:因为点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,所以42=2p×1,解得p=8,所以|PF|=1+=5.9.x2=4y 解析:因为抛物线C焦点在y轴上,所以设抛物线方程为x2=my,m≠0.又抛物线过点(2,1),所以22=m,即m=4,所以抛物线方程为x2=4y.10.AC解析:由题意知:(2)2=4p,解得p=2,即y2=4x,焦点F(1,0),准线x=-1.由抛物线定义知,点M到焦点的距离等于到准线的距离,为2-(-1)=3,故A正确;由焦点F(1,0)知直线MF不与x轴垂直,故B错误;如图,设MN的中点为P,过M,N,P作准线的垂线,垂足分别为M',N',P',易知PP'=,故以弦MN为直径的圆与C的准线相切,C正确;由2-2×2+1≠0知M不在直线x-2y+1=0上,故D错误.故选AC.11.A解析:由题可知抛物线方程为y2=16x,曲线C:(x-5)2+(y-1)2=4.过点P作PA垂直于准线x=-4,垂足为A(图略),则|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|.要使|PA|+|PQ|最小,则需A,P,Q三点共线且QA最小,所以最小值为9-2=7.故选A.12.BCD解析:抛物线x2=y的焦点为F,故A错误;依据抛物线的性质可得,MN过点F时,x1x2=-,故B正确;若=λ,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=,故C正确;由题可知,抛物线x2=y的焦点为F,准线方程为y=-,过点M,N,P作准线的垂线MM',NN',PP'(图略),则|MM'|=|MF|,|NN'|=|NF|,|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=,所以|PP'|=,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|-,故D正确.故选BCD.13.解由题可知=cos45°=,所以|BF|=p,所以|AF|=p,所以点A到准线的距离d=p,所以S△ABC=×|BC|×d=×2p×p=4(p>0),解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.14.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+=2.①因为点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.②由①②解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明①当x0=0,即点P为原点时,明显符合;②当x0≠0,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=,则y'=x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为x0,所以抛物线C在点P 处的切线l0的方程为y-y0=x0(x-x0).又=4y0,所以y-y0=x0(x-x0)可化为y=x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-x.由消去x,得y=-(y-1)-y0.因为=4y0,所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y0>0,可知y=0,即垂足必在x轴上.综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.。

第五讲抛物线1.[2020福州质检]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-√3,则△PAF的面积为()A.2√3B.4√3C.8D.8√32.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为() A.8 B.7 C.6 D.53.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则|AF||BF|的值为()A.√3B.2C.3D.44.[多选题]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴相交于点M,经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则下列结论正确的是()A.-1<k<1B.y1y2=8x1x2C.∠AFB可能为直角D.当k2=12时,△AFB的面积为165.[2019东北三省四市一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4√3,则抛物线C的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.x=-32D.x=-36.[2019广东六校第一次联考]抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为()A.118B.54C.32D.17.[2019安徽示范高中高三测试]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C 上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的焦点到准线的距离为()A.4或8B.2或4C.2或8D.4或168.[2020山东省统考][双空题]直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.9.[2020武汉高三测试]已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则直线AB的方程为.10.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA ,与抛物线C 相交于点M ,延长FA ,与抛物线C 的准线相交于点N ,若|FM |∶|MN |=1∶2,则实数a 的值为 .11.[2019山西八校高三第一次联考]已知A 是抛物线y 2=-4x 上的动点,点A 在y 轴上的射影是点C ,B 是圆D :(x -3)2+(y -2)2=1上的动点,则|AB |+|AC |的最小值是 .12.[2019太原高三二模]已知直线l 与抛物线C :x 2=2py (p >0)相交于两个不同的点A ,B ,点M 是抛物线C 在点A ,B 处的切线的交点.(1)若直线l 经过抛物线C 的焦点F ,求证:FM ⊥AB ;(2)若点M 的坐标为(2,-2p ),且|AB |=4√10,求抛物线C 的方程.13.[2019广东七校第二次联考]已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线C 上存在一点E (2,t )到焦点F 的距离等于3. (1)求抛物线C 的方程;(2)已知点P 在抛物线C 上且异于原点,点Q 为直线x =-1上的点,且FP ⊥FQ ,求直线PQ 与抛物线C 的交点个数,并说明理由.14.[2020绵阳高三模拟]已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点A (1,0),直线FA 与抛物线C 交于点P (P 在第一象限内),与其准线交于点Q ,若PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点P 到y 轴的距离为( )A.2√2-1B.2√2-2C.3√2-1D.3√2-215.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,P 为抛物线C 的准线l 上一点,直线PF 与抛物线C 相交于M ,N 两点,若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|MN |=( )A .10B .212C .323D .1116.[2019郑州市第二次质量预测]已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ,B 两点,且直线l 不与x 轴垂直,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0),O 为坐标原点,则S △AOB =( )A.2√2B.√3C.√6D.3√617.[2019石家庄高三一模]已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点P 为抛物线上异于原点的任意一点,若∠KPF 的平分线与x 轴交于点(m ,0),则m 的最大值为 ( ) A.3-2√2 B.2√3-3 C.2-√3 D .2-√218.[多选题]已知抛物线C :x 2=3y 的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4,则() A.直线l的倾斜角为30°或150°B.|AF|-|BF|=4C.|AF||BF|=13或3 D.S△AOB=9219.[2019江西红色七校第一次联考]设抛物线y2=8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=4,则△BCF与△ACF的面积之比S△BCFS△ACF=()A.34B.45C.56D.2520.[2019武汉市高三调研测试]如图9-5-1,图9-5-1抛物线E:x2=4y与圆M :x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB⏜上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)21.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知点E在y轴上,点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线EF与抛物线交于M,N两点,若点M为线段EF的中点,且|NF|=12,则p=.22.[2020成都市高三摸底测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于点A,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AB|=43,则抛物线C的标准方程为.23.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;(2)点C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线l的方程.24.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PN⊥l,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.(1)求p的值;(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.25.[新角度题]已知抛物线Γ:y 2=tx (t >0)的焦点为F ,直线l 与Γ交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,点F 在曲线C :(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0上.若线段AB 的中点M 与点F 的距离为3,则点M 到Γ的准线的距离的最大值为 ( )A.18B.6C.3√2D.2√226.[双空题]已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且AF⃗⃗⃗⃗⃗ =FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点A 到直线l 的距离为2,则p = ;若点A ,B 在l 上的正投影分别为M ,N ,则△MFN 的内切圆半径为 .第五讲 抛物线1.B 解法一 设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为- √3, |FQ |=2,所以∠AFQ =60°,|FA |=4,易知|PA |=|PF |,∠PAF =60°,所以△PAF 是边长为4的等边三角形,所以△PAF 的面积为√34×|FA |2=√34×42=4√3.故选B .解法二 设准线与x 轴交于点Q ,P (m ,n ),因为直线AF 的斜率为- √3,|FQ |=2,所以∠AFQ =60°,|AQ |=2√3,所以n =±2√3,又n 2=4m ,所以m =3, 则|PA |=4, 所以△PAF 的面积为12×|PA |×|n |=12×4×2√3=4√3.故选B .2.B 因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F (1,0),所以p2=1,解得p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由题意知x 1+x 2=5.连接AF ,BF ,则由抛物线的定义知|AF |=x 1+p2=x 1+1,|BF |=x 2+p2=x 2+1,则|AB |≤|AF |+|BF |=x 1+x 2+2=7,所以弦AB 的长的最大值为7,故选B .3.C 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),由题意知F (1,0),所以p2=1,p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x.过F 且倾斜角为60°的直线的方程为y =√3(x - 1),代入抛物线方程,得3x 2- 10x +3=0,解得x A =3,x B =13. 解法一易得y A 2=12,y B2=43,所以|AF||BF|=√2√(13- 1)2+43=3,故选C .解法二 由抛物线的定义,得|AF |=x A +p 2=4,|BF |=x B +p 2=43,所以|AF||BF|=3,故选C .4.CD 依题意知F (2,0),M (- 2,0),直线l 的方程为y =k (x +2),由{y 2=8x,y =k(x +2)消去y 并整理得k 2x 2+(4k 2- 8)x +4k 2=0.因为直线l 与抛物线相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,且x 1>x 2,所以{k 2≠0,(4k 2- 8)2- 16k 4>0,解得- 1<k <1且k ≠0,故A 选项错误.因为x 1x 2=4k 2k 2=4,所以y 12y 22=8x 1×8x 2=64×4=256,由于y 1,y 2同号,所以y 1y 2=16,于是y 1y 2=4x 1x 2,故B 选项错误.由于FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1- 2,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2- 2,y 2),所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2- 2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=4- 2·8- 4k 2k 2+4+16=32- 16k 2,当k 2=12时,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∠AFB 为直角,故C 选项正确.△AFB 的面积S =S △MFA - S △MFB =12|MF |·|y 1- y 2|=2√(y 1+y 2)2- 4y 1y 2,又y 1+y 2=k (x 1+2)+k (x 2+2)=k (x 1+x 2+4)=8k ,因此S =2√(8k )2- 4×16=16,故D 选项正确.故选CD.5.D 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线C 的焦点为(p2,0),知AF ,BF 的中点的纵坐标分别为y12,y22,则|MN |=|y 22−y 12|=12|y 2- y 1|=4√3,所以|y 2- y 1|=8√3.由题意知直线AB 的方程为y =- √3(x - p2),由{y =- √3(x - p2),y 2=2px 消去x 得y =- √3(y 22p −p 2),即√3y 2+2py - √3p 2=0,所以y 1+y 2=- √p ,y 1y 2=- p 2,由|y 2- y 1|=8√3,得(y 2+y 1)2- 4y 1y 2=192,所以(-√3p )2+4p 2=192,解得p =6,则p2=3,所以抛物线C 的准线方程为x =- 3,故选D .6.A 由题意设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),直线AB 的方程为y =kx +b.由题意知y 0≥b >0.由{y =kx +b,y =2x 2,消去y 并整理得2x 2- kx - b =0,Δ=k 2+8b >0, x 1+x 2=k2,x 1x 2=- b2,则|AB |=√1+k 2·√k 24+2b ,点M 的纵坐标y 0=y 1+y 22=x 12+x 22=k 24+b.因为弦AB 的长为3,所以√1+k 2√k 24+2b =3,即(1+k 2)(k 24+2b )=9,故(1+4y 0- 4b )(y 0+b )=9,即(1+4y 0- 4b )(4y 0+4b )=36.由基本不等式得,(1+4y 0- 4b )+(4y 0+4b )≥2√(1+4y 0- 4b)(4y 0+4b)=12(当且仅当{b =18,y 0=118时取等号),即1+8y 0≥12,所以y 0≥118,所以点M 的纵坐标的最小值为118.故选A .7.C 易知抛物线C 的焦点为F (p2,0),准线方程为x =- p2.如图D 9- 5- 3,图D 9- 5- 3设准线与x 轴的交点为K ,则|KF |=p.过点M 作MP 平行于x 轴交准线于点P ,则|MP |=|MF |=5.取MF 的中点N ,过点N 作NQ 平行于x 轴交准线于点Q ,交y 轴于点A ,则|NQ |=|MP|+|FK|2=52+p 2,|AN |=|NQ |- p 2=52=|MF|2,∴以MF 为直径的圆与y 轴相切,A 为切点,A (0,2),∴N (52,2),故M (5- p 2,4),把(5- p 2,4)代入抛物线方程,得16=2p (5- p 2),整理得p 2- 10p +16=0,解得p =2或p =8,∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2或8.故选C .8.2 1 由抛物线y 2=2px 的焦点为F (1,0),得p2=1,所以p =2.则1|AF|+1|BF|=2p=1.9.2x +y - 2=0 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵直线AB 过点M (1,0),∴可设直线AB 的方程为x =ty +1.由{y 2=2x,x =ty +1,消去x 得y 2- 2ty - 2=0,则y 1+y 2=2t ,y 1y 2=- 2.又k OA =y 1x 1,k OB =y 2x 2,∴y 1x 1+y 2x 2=1,于是x 2y 1+x 1y 2=x 1x 2.∵x 1=ty 1+1,x 2=ty 2+1,∴(ty 2+1)y 1+(ty 1+1)y 2=(ty 1+1)(ty 2+1),∴2ty 1y 2+(y 1+y 2)=t 2y 1y 2+t (y 1+y 2)+1, ∴(t 2- 2t )y 1y 2+(t - 1)(y 1+y 2)+1=0,∴(t 2- 2t )(- 2)+(t - 1)·2t +1=0,∴2t =- 1,t =- 12. 故直线AB 的方程为2x +y - 2=0. 10.4√33解法一 依题意得抛物线的焦点F 的坐标为(a4,0),过M 作抛物线的准线的垂线,垂足为K ,由抛物线的定义知|MF |=|MK |.因为|FM |∶|MN |=1∶2,所以|KN |∶|KM |=√3∶1,又k FN =0- 1a 4- 0=- 4a ,k FN =-|KN||KM|=- √3,所以- 4a=- √3,解得a =4√33.解法二 设M (x M ,y M ),因为A (0,1),抛物线C :y 2=ax (a >0)的焦点为F (a 4,0),准线方程为x =- a 4,所以直线AF 的方程为4x +ay - a =0,所以N (- a4,2).因为|FM |∶|MN |=1∶2,所以|FM |=13|FN |,所以x M =a12,y M =23.因为点M (x M ,y M )在抛物线上,所以49=a 212,解得a =4√33.11.2√5- 2 圆D :(x - 3)2+(y - 2)2=1的圆心为D (3,2),半径r =1.设抛物线y 2=- 4x 的焦点为F ,则F (- 1,0),易知抛物线的准线方程为x =1.如图D 9- 5- 4,图D 9- 5- 4设点A 在抛物线的准线上的射影为点H ,连接CH ,则A ,C ,H 三点共线,则|AB |+|AC |=|AB |+|AH |- 1.连接AF ,由抛物线的定义可知|AH |=|AF |,∴|AB |+|AC |=|AB |+|AF |- 1.易知当D ,B ,A ,F 四点共线时,|AB |+|AF |取得最小值,连接DF ,则(|AB |+|AF |)min =|DF |- r =√(3+1)2+22- 1=2√5- 1,∴(|AB |+|AC |)min =2√5- 2.12.设直线l 的斜率为k ,设点A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2). (1)由题意可得F (0,p2). ①当k ≠0时,直线l :y =kx +p2,由{y =kx +p2,x 2=2py,得x 2- 2pkx - p 2=0,∴{x 1+x 2=2pk,x 1x 2=- p 2, 易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y - y 1=x 1p(x - x 1),即y =x 1px - x 122p,在点B 处的切线方程为y =x 2p x - x 222p .由{y =x1p x - x 122p ,y =x 2p x - x 222p,得{x =x 1+x 22=pk,y =x 1x 22p =- p 2,∴M (pk ,- p 2),∵k FM ·k AB =- p 2- p2pk·k =- 1,∴FM ⊥AB.②当k =0时,直线l :y =p2,M (0,- p2),∴FM ⊥AB. 综上,FM ⊥AB.(2)由题意知k ≠0,设直线l :y =kx +m ,由{y =kx +m,x 2=2py,得x 2- 2pkx - 2pm =0,Δ=4p 2k 2+16p 2>0,∴{x 1+x 2=2pk,x 1x 2=- 2pm,易得抛物线C 在点A 处的切线方程为y - y 1=x 1p (x - x 1),即y =x 1p x - x 122p ,在点B 处的切线方程为y =x 2p x - x 222p ,由{y =x1p x - x 122p ,y =x 2p x - x 222p ,得{x =x 1+x 22=pk =2,y =x 1x 22p=- m =- 2p, ∴|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√4k 2p 2+8pm =4√1+k 2·√1+p 2=4√(1+4p 2)(1+p 2)=4√10,解得p =1或p =2,∴抛物线C 的方程为x 2=2y 或x 2=4y.13.(1)由题意知,抛物线C 的准线方程为x =- p2,所以点E (2,t )到焦点F 的距离为2+p2=3,解得p =2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)直线PQ 与抛物线C 只有一个交点. 理由如下:设P (y 024,y 0),y 0≠0,Q (- 1,m ).由(1)得焦点F (1,0),则FP ⃗⃗⃗⃗ =(y 024- 1, y 0),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(- 2,m ),由题意可得FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故- 2(y 024- 1)+m y 0=0,从而m =y 02- 42y 0.故直线PQ 的斜率k PQ =y 0 - m y 024+1=2y 0.故直线PQ 的方程为y - y 0=2y 0(x - y 024),得x =y 0y2−y 024 ①.又抛物线C 的方程为y 2=4x ②, 所以由①②得(y - y 0)2=0,故y =y 0,x =y 024.故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点.14.B 由题意知抛物线的焦点为F (0,p2),准线方程为y =- p2.设抛物线的准线与y 轴交于点F 1.如图D 9- 5- 5,图D 9- 5- 5过点P 作抛物线准线的垂线,垂足为P 1,则|PF |=|PP 1|,所以|QP||FP|=|QP||PP 1|=√2,所以∠PQP 1=45°,所以直线FA 的倾斜角为135°,所以k FA =p2- 00- 1=- 1,解得p =2.又PP 1∥FF 1,所以|QP||FQ|=|PP 1||FF 1|=√2√,即|PP 1|2=√2√2+1,解得|PP 1|=4- 2√2.设P (x ,y ),则由抛物线的定义,知|PP 1|=y +1=4- 2√2,所以y =3-2√2,所以x 2=4×(3- 2√2)=[2(√2- 1)]2,又点P 在第一象限,所以x =2√2- 2,即点P 到y 轴的距离为2√2- 2,故选B .15.C 解法一 如图D 9- 5- 6,过点M 作准线l 的垂线,垂足为M',图D 9- 5- 6则|MM'|=|MF |.由已知得F (2,0),准线l 的方程为x =- 2.因为PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|MF |=|MM' |=12|PM |,所以∠PMM'=60°,故直线PF 的斜率为- √3,所以直线PF 的方程为y =- √3x +2√3.由{y =- √3x +2√3,y 2=8x,消去y 得3x 2- 20x +12=0,设M ,N 的横坐标分别为x M ,x N ,则x M +x N =203,所以|MN |=x M +x N +p =203+4=323,故选C .解法二 由已知得F (2,0),设M (x M ,y M ),N (x N ,y N ),不妨设P (- 2,m )(m >0).因为PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(4,- m )=3(2- x M ,- y M ),所以x M =23,y M =m 3,因为点M 在抛物线上,所以(m 3)2=8×23,解得m =4√3,所以直线PF 的斜率为- √3,故直线PF 的方程为y =- √3x +2√3,由{y =- √3x +2√3,y 2=8x,消去y 得3x 2- 20x +12=0,所以|MN |=x M +x N+p =203+4=323,故选C . 16.A 由题意知抛物线的焦点为F (1,0),设直线l :y =k (x - 1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =k(x - 1),y 2=4x,消去y 得k 2x 2- (2k 2+4)x +k 2=0,所以x 1+x 2=2+4k ,x 1x 2=1,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k =2k +4k - 2k =4k ,所以线段AB 的中点为(1+2k 2,2k ),线段AB 的垂直平分线的方程为y - 2k =- 1k (x - 1-2k2),因为线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0),所以0- 2k=- 1k(5- 1- 2k2),解得k =±1,所以直线AB 的方程为y =±(x - 1),即x - y - 1=0或x +y - 1=0,所以点O 到直线AB 的距离d =√=√22,又|AB |=√1+k 2|x 1- x 2|=√1+1√(x 1+x 2)2- 4x 1x 2=√2×√36- 4=8,所以S △AOB =12×√22×8=2√2,故选A .17.A 由题意得F (1,0),K (- 1,0).由角平分线的性质可知,|PF||PK|=1- mm+1=2m+1- 1.作PP'垂直于准线,垂足为P',则|PP'|=|PF |,∴|PP'||PK|=2m+1- 1,∴sin ∠PKP'=|PP'||PK|=2m+1- 1,又∠PKP'∈(0,π2),∴若m 最大,则∠PKP'最小,∠PKF 最大.易知当PK 与抛物线相切时∠PKF 最大,设此时l PK :y =k (x +1),由{y =k(x +1),y 2=4x,消去y 得k 2x 2+(2k 2- 4)x +k 2=0,Δ=- 16k 2+16=0,∴k =±1,此时sin ∠PKP'=√22=2m+1- 1,解得m =3- 2√2.∴m 的最大值为3- 2√2,故选A .18.AC 由题意知F (0,34),直线l 的斜率存在,故可设直线l 的方程为y =kx+34,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{x 2=3y,y =kx +34消去y ,得4x 2- 12kx -9=0,∴{x 1+x 2=3k,x 1x 2=- 94,∴|AB |=√1+k 2|x 1- x 2|=3(1+k 2)=4,∴k =±√33.设直线l 的倾斜角为θ,则θ=30°或θ=150°.设|AF||BF|=λ,则当θ=30°时,|AF |+|BF |=(λ+1)|BF |=4,|AF |- |BF |=(λ- 1)|BF |,又由抛物线的定义易知|AF |- |BF |=y 1- y 2=√33(x 1- x 2)=2,∴(λ+1)|BF|(λ- 1)|BF|=42=2,∴λ+1λ- 1=2,∴λ=3,即|AF||BF|=3.由抛物线的对称性知,当θ=150°时,λ=13,即|AF||BF|=13.S △AOB =12×|OF |×|x 1- x 2|=12×34×2√3=3√34.故选AC.19.D 由抛物线方程y 2=8x ,得焦点F 的坐标为(2,0),准线方程为x =- 2.如图D 9- 5- 7,过点A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为E ,N.图D 9- 5- 7 设直线AB 的方程为y =k (x - 4),则由{y =k(x - 4),y 2=8x,消去y 并整理得k 2x 2- (8k 2+8)x +16k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=16.由抛物线的定义知|BF |=|BN |=x 2+2=4,所以x 2=2,所以x 1=8,所以|AE |=x 1+2=10.因为BN ∥AE ,所以S △BCF S △ACF=|BC||AC|=|BN||AE|=410=25,故选D .20.B 由题意可得抛物线E 的焦点为(0,1),圆M 的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M (0,1)为抛物线的焦点,故|NM |等于点N 到准线y =- 1的距离,又PN ∥y 轴,故|PN |+|NM |等于点P 到准线y =- 1的距离.由{x 2=4y,x 2+(y - 1)2=16,得y =3,又点P 为劣弧AB ⏜上不同于A ,B 的一个动点,所以点P 到准线y =- 1的距离的取值范围是(4,6),又|PM |=4,所以△PMN 的周长的取值范围是(8,10),故选B.21.8 如图D 9- 5- 8,图D 9- 5- 8由题意知F (p2,0).∵M 为线段EF 的中点,∴点M 的横坐标为p4.设直线EF 的方程为y =k (x - p2),k ≠0.由{y =k(x - p2),y 2=2px,得k 2x 2- (k 2p +2p )x +k 2p 24=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则{x 1+x 2=k 2p+2p k 2,x 1x 2=p 24,∵x 1=p4,∴x 2=p ,则y 22=2p 2,∴N (p ,±√2p ).∵|NF |2=(p - p2)2+(±√2p )2,∴144=p 24+2p 2,∴p 2=64,∵p >0,∴p =8.22.y 2=2x 如图D 9- 5- 9,设直线l 与x 轴交于点D ,过点B 作BE ⊥l 于点E ,图D 9- 5- 9则|DF |=p.因为直线AF 的倾斜角为120°,所以∠AFD =∠ABE =60°,所以∠EAB =30°.因为|AB |=43,所以|BE |=12|AB |=23.由抛物线的定义知|BE |=|BF |,所以|AF |=|AB |+|BF |=|AB |+|BE |=2,所以|DF |=12|AF |=1,即p =1,所以抛物线C 的标准方程为y 2=2x.23. 由已知可得F (0,1),设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),由{y =kx +2,x 2=4y,得x 2- 4kx - 8=0, 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=- 8. (1)|FA |+|FB |=x 124+1+x 224+1=(x 1+x 2)2- 2x 1x 24+2=4k 2+6.当k =1时,|FA |+|FB |=10.(2)由题意可知,FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,x 124- 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,x 224- 1),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(- 3,- 3).由∠CFA =∠CFB 得cos<FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=cos<FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FC ⃗⃗⃗⃗⃗ >,即FA ⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗ |FA ⃗⃗⃗⃗ ||FC ⃗⃗⃗⃗ |=FB⃗⃗⃗⃗ ·FC ⃗⃗⃗⃗ |FB⃗⃗⃗⃗ ||FC ⃗⃗⃗⃗ |, 又|FA |=x 124+1,|FB |=x 224+1,所以- 3x 1- 3(x124- 1)3√2(x 124+1)=- 3x 2- 3(x224- 1)3√2(x 224+1),化简并整理得4+2(x 1+x 2)- x 1x 2=0,即4+8k +8=0,解得k =- 32,所以直线l 的方程为3x +2y - 4=0.24. (1)∵点P (x 0,4)在抛物线上,∴16=2px 0 ①.由四边形MFPN 的周长为16得,p +4+2(x 0+p2)=16,即x 0+p =6 ②.由①②可解得p =4或p =2. ∵p >2,∴p =4.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x =my - 2,代入抛物线方程得y 2=8(my - 2),得y 2- 8my +16=0.由Δ=64m 2- 64>0得,m 2>1,且{y 1+y 2=8m,y 1y 2=16,∴k 1+k 2=y 1x 1- 2+y 2x 2- 2=y 1(my 2- 4)+y 2(my 1- 4)(x 1- 2)(x 2- 2)=2my 1y 2- 4(y 1+y 2)(x 1- 2)(x 2- 2)=0.25.C 因为点F 在曲线C :(x - x 1)(x - x 2)+(y - y 1)(y - y 2)=0上,所以点F 在以AB 为直径的圆上.连接AF ,BF ,易知AF ⊥BF ,因为线段AB 的中点M 与点F 的距离为3,所以|AB |=6,所以|AF |2+|BF |2=36.设Γ的准线为l 1,过点A 作AA 1⊥l 1于点A 1,过点B 作BB 1⊥l 1于点B 1,过点M 作MM 1⊥l 1于点M 1,由抛物线的定义,得|AF |=|AA 1|,|BF |=|BB 1|.在直角梯形ABB 1A 1中,2|MM 1|=|AA 1|+|BB 1|=|AF |+|BF |,所以4|MM 1|2=|AF |2+|BF |2+2|AF |·|BF |≤|AF |2+|BF |2+|AF |2+|BF |2=2×36=72(当且仅当|AF |=|BF |=3√2时,等号成立),所以|MM 1|≤3√2,即点M 到Γ的准线的距离的最大值为3√2,故选C .2),l 与x 轴的交点为C ,所以M (- 1,2),N (- 1,- 2),△MFN 是等腰三角形,且|MN |=4,|FC |=2,|FM |=|FN |=2√2.令△MFN 的内切圆半径为r ,则12×4×2=12×(2√2+2√2+4)r ,解得r =2(√2- 1).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5 抛物线及其性质练习文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5 抛物线及其性质练习文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§9.5抛物线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1。

抛物线的定义及其标准方程1。

了解抛物线的定义，并会用定义进行解题2。

掌握求抛物线标准方程的基本步骤（定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法）Ⅲ2017课标全国Ⅱ,12;2017山东，15;2016四川,3；2014课标Ⅰ，10；2013江西，9选择题、填空题、解答题★★☆2。

抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题，了解抛物线的一些实际应用Ⅱ2017天津，12；2016课标全国Ⅱ，5；2015四川，10选择题、填空题、解答题★★☆3。

直线与抛物线的位置关系1。

会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系2。

根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题Ⅲ2017课标全国Ⅰ，20;2016课标全国Ⅰ,20;2016课标全国Ⅲ，20选择题、填空题、解答题★★★分析解读从近几年的高考试题来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题；客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程，主观题考查得较为全面，除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系，考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力，着力于数学思想方法及数学语言的考查。

§9.5 抛物线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及标准方程①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2019课标全国Ⅰ,21,12分抛物线定义及方程圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质★★☆抛物线的几何性质①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2019课标全国Ⅱ,9,5分抛物线的几何性质椭圆的几何性质★★☆2016课标全国Ⅱ,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国Ⅰ,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明★★★2019课标全国Ⅲ,21,12分直线与抛物线的位置关系直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.破考点练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为.答案y2=4x或y2=8x3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F 是抛物线y=x 2的焦点,M 、N 是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN 的中点到x 轴的距离为 . 答案 54考点二 抛物线的几何性质1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF 的中点B 在抛物线上,则|BF|=( ) A.54B.52C.√22D.3√24答案 D2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l 过抛物线y 2=ax(a>0)的焦点F 且与抛物线交于A,B 两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=()A.a 2B.a 4C.2aD.4a答案 B考点三 直线与抛物线的位置关系答案 B2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则p= ,1|AF|+1|BF|= .(本题第一空2分,第二空3分)答案 2;13.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C 相切于点P,过点P 作抛物线C 的割线PQ,割线PQ 与抛物线C 的另一个交点为Q,A 为线段PQ 的中点,过A 作y 轴的垂线,与直线l 相交于点N,M 为线段AN 的中点.(1)求抛物线C 的方程; (2)求证:点M 在抛物线C 上.答案 (1)由{y =x +1,y 2=2px 得y 2=2p(y-1),即y 2-2py+2p=0①.(1分)依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(4分)(2)证明:将p=2代入①得y 2-4y+4=0,解得y 1=y 2=2, 将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分) 设Q(m,n),则n 2=4m,因为A 为线段PQ 的中点,所以A (m+12,n+22).(7分)联立{y =x +1,y =n+22,得N (n 2,n+22),所以线段AN 的中点M 的坐标为(m+n+14,n+22),(9分)又4×m+n+14=n 24+n+1=(n+22)2,满足y 2=4x,(11分)所以线段AN 的中点M 在抛物线C 上.(12分)炼技法 提能力 【方法集训】方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l 过抛物线y 2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A 、B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A.y 2=-12xB.y 2=-8xC.y 2=-6xD.y 2=-4x答案 B2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x-2)2+y 2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( ) A.y 2=8x B.x 2=8y C.y 2=4x D.x 2=4y 答案 A3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3√5,则此抛物线的方程为 . 答案 y 2=4x 或y 2=-36x方法2 抛物线定义的应用策略1.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点,l 与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BC|=( ) A.8B.132C.6D.92答案 D2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点,定点A(0,2√2),过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 答案 23.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y 2=8x 的焦点为F,点A(6,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 周长的最小值为 . 答案 13方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O 为坐标原点,F 为抛物线C:y 2=8x 的焦点,过F 作直线l 与C 交于A,B 两点.若|AB|=10,则△OAB 的重心的横坐标为( ) A.43B.2C.83D.3答案 B2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线与C 交于A 、B 两点,且线段AB 中点的纵坐标为2,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为( ) A.2√2 B.√2 C.2 D.4答案 A3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l 与抛物线C:x 2=4y 交于A,B 两点,以A,B 两点为切点分别作抛物线C 的切线l 1,l 2,设l 1与l 2交于点Q(x 0,y 0). (1)求y 0;(2)过Q,F 的直线交抛物线C 于M,N 两点,证明:QF ⊥AB,并求四边形AMBN 面积的最小值. 答案 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=kx+1, 联立{x 2=4y,y =kx +1得x 2-4kx-4=0,所以{x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4,由x 2=4y 得y=x 24,则y'=12x,所以l 1:y-y 1=12x 1(x-x 1),即l 1:y=12x 1x-x 124,同理l 2:y=12x 2x-x 224,由{y =12x 1x -x 124,y =12x 2x -x 224,x 1+x 2=4k,y 1=kx 1+1得{x =x 1+x 22=2k,y =-1,所以y 0=-1.(2)因为QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1+x22,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),所以QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 22-x 122+2(y 2-y 1)=-x 22-x 122+x 22-x 122=0,所以QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即MN ⊥AB. 由(1)得|AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4,同理|MN|=4k2+4,则S 四边形AMBN =12|AB||MN|=8(k 2+1)(1k2+1)=8(k 2+1k 2+2)≥32,当且仅当k=±1时,取“=”.所以四边形AMBN 面积的最小值为32.【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2B.3C.4D.8答案 D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12B.1C.32D.2答案 D3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.答案 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k(x -2),y 2=2x 得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y 1k+2,x 2=y2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =-8+8k=0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.4.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程. 答案 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2, 设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1, 解得x 3=2,于是M(2,1). 设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1. 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1). 由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7.5.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 答案 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,易知ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b 2). 记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)证明:由于F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba=-b=k 2. 所以AR ∥FQ.(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2. 由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2, 所以x 1=0(舍去)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时, 由k AB =k DE 可得2a+b =yx -1(x ≠1). 而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. 所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 抛物线的定义及标准方程(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.答案 (1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p 2=1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x,F(1,0),可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF:x=sy+1(s ≠0),由{y 2=4x,x =sy +1消去x 得y 2-4sy-4=0,故y 1y 2=-4,所以,B (1t2,-2t).又直线AB 的斜率为2t t 2-1,故直线FN 的斜率为-t 2-12t. 从而得直线FN:y=-t 2-12t (x-1),直线BN:y=-2t.所以N (t 2+3t 2-1,-2t). 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得2t t2-m =2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).考点二抛物线的几何性质答案D2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1考点三直线与抛物线的位置关系(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.答案本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法.(1)由题意得p2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0,则x A=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t 2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)t y-4=0,故2ty B=-4,即y B=-2t,所以B(1t2,-2t).又由于x G=13(x A+x B+x C),y G=13(y A+y B+y C)及重心G在x轴上,故2t-2t+y C=0,得C((1t -t)2,2(1t-t)),G(2t4-2t2+23t2,0).所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而S1S2=12|FG|·|y A| 12|QG|·|y C|=|2t4-2t2+23t2-1|·|2t| |t2-1-2t4-2t2+23t2|·|2t-2t|=2t 4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.令m=t2-2,则m>0,S1 S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-2√m·3m+4=1+√32.当m=√3时,S1S2取得最小值1+√32,此时G(2,0).C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A答案C3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±√22x考点二抛物线的几何性质(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案 D2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C3.(2014四川,10,5分)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2B.3C.17√28D.√10答案 B4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C 1:y=14x 2,圆C 2:x 2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A,B 为切点. (1)求点A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.答案 (1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k(x-t), 由{y =k(x -t),y =14x2消去y,整理得x 2-4kx+4kt=0, 由于直线PA 与抛物线相切,得k=t. 因此,点A 的坐标为(2t,t 2).设圆C 2的圆心为D(0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B,O 关于直线PD 对称,故{y 02=-x 02t+1,x 0t -y 0=0,解得{x 0=2t1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2). (2)由(1)知|AP|=t ·√1+t 2, 和直线PA 的方程tx-y-t 2=0.点B 到直线PA 的距离是d=t 22,设△PAB 的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t 32.6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围. 答案 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即√(x -1)2+y 2=|x|+1, 化简整理得y 2=2(|x|+x).故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x,C 2:y=0(x<0), 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k(x+2). 由方程组{y -1=k(x +2),y 2=4x,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14. 故此时直线l:y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1). (ii)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x 0=-2k+1k.③ 若{Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1或k>12,即当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 若{Δ=0,x 0<0或{Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈{-1,12}或-12≤k<0,即当k ∈{-1,12}时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈[-12,0)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点. 故当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. 若{Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k<-12或0<k<12,即当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值. 答案 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2, 解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|, 所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33.当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0.解得b=-p 6.因为m 在y 轴上的截距b 1=p 2,所以|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3.当m 的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值为3.8.(2010全国Ⅰ,22,12分)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D.(1)证明:点F 在直线BD 上;(2)设FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =89,求△BDK 的内切圆M 的方程. 答案 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),D(x 1,-y 1),l 的方程为x=my-1(m ≠0). (1)证明:将x=my-1代入y 2=4x 并整理得y 2-4my+4=0, 从而y 1+y 2=4m,y 1y 2=4.① 直线BD 的方程为y-y 2=y 2+y 1x 2-x 1·(x-x 2),即y-y 2=4y 2-y 1·(x -y 224). 令y=0,得x=y 1y 24=1.所以点F(1,0)在直线BD 上.(2)由(1)知,x 1+x 2=(my 1-1)+(my 2-1)=4m 2-2, x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=1.因为FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2), FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2 =x 1x 2-(x 1+x 2)+1+4=8-4m 2,故8-4m 2=89,解得m=±43.所以l 的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0. 又由①知y 2-y 1=±√(4m)2-4×4=±43√7,故直线BD 的斜率为4y 2-y 1=±√7, 因而直线BD 的方程为3x+√7y-3=0,或3x-√7y-3=0.因为KF 为∠BKD 的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到l 及BD 的距离分别为3|t+1|5,3|t -1|4. 由3|t+1|5=3|t -1|4得t=19或t=9(舍去),故圆M 的半径r=3|t+1|5=23. 所以圆M 的方程为(x -19)2+y 2=49.【三年模拟】时间:50分钟 分值:70分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2020届四川天府名校10月联考,7)若抛物线y 2=2px(p ≠0)的准线为圆x 2+y 2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为( ) A.y 2=-16xB.y 2=-8xC.y 2=16xD.y 2=8x 答案 C2.(2020届赣中南五校第二次联考,11)点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=2x 的焦点,当点M 在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(12,1) C.(1,√2) D.(2,2)答案 D3.(2020届江西红色七校第二次联考,11)已知过抛物线y 2=4√2x 焦点F 的直线与抛物线交于点A,B,AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,抛物线的准线l 与x 轴交于点C,AM ⊥l 于点M,则四边形AMCF 的面积为( ) A.12√3 B.12 C.8√3 D.6√3 答案 A4.(2019湖南长沙统一检测,11)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,点A(1,a)(a>0)在C 上,|AF|=3.若直线AF 与C 交于另一点B,则|AB|的值是( ) A.12B.10C.9D.45答案 C5.(2019名校联盟模拟二,11)直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于A,B 两点,O 为坐标原点,OA ⊥OB,若△AOB 的面积的最小值为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=x B.y 2=2x C.y 2=4x D.y 2=8x 答案 B6.(2019江西九江二模,12)已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,连接AF 并延长交抛物线C 于点D,若AB 中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB 最大时,|AD|=( ) A.4B.8C.16D.163答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2020届河南南阳一中10月月考,13)点M(2,1)到抛物线y=ax 2(a ≠0)准线的距离为2,则a 的值为 . 答案14或-1128.(2020届河南中原联盟第四次测评,15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F 且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A,B 两点,AM ⊥l,BN ⊥l,M 、N 为垂足,点Q 是MN 的中点,|QF|=2,则p= . 答案 √39.(2018安徽安庆二模,14)设抛物线x 2=4y 的焦点为F,点A,B 在抛物线上,且满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=32,则λ的值为 . 答案 12三、解答题(共25分)10.(2020届内蒙古包头一中月考,20)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F 的抛物线C:y 2=2px(p>0)相切. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A,B 两点,求A,B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 答案 (1)由{x -y +1=0,y 2=2px 消去x,得y 2-2py+2p=0,(2分)∵直线l:x-y+1=0与抛物线C 相切, ∴Δ=4p 2-8p=0,解得p=2(p=0舍去).(4分) ∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(5分)(2)设直线m 的方程为ty=x-1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(6分) 由{ty =x -1,y 2=4x 消去x,得y 2-4ty-4=0,(7分) ∴y 1+y 2=4t,从而x 1+x 2=4t 2+2,(8分)∴线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t).(9分)设点A 到直线l 的距离为d A ,点B 到直线l 的距离为d B ,点M 到直线l 的距离为d,则d A +d B =2d=2·2√2=2√2|t 2-t+1|=2√2|(t -12)2+34|,(11分)∴当t=12时,d A +d B 取最小值,即A 、B 两点到直线l 的距离之和最小,最小值为3√22.(12分)11.(2020届山西长治重点中学11月联考,20)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.答案 (1)由抛物线的定义知|AF|=2+p 2.又因为|AF|=3,所以2+p 2=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2√2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1). 由{y =2√2(x -1),y 2=4x 得2x 2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G(-1,0),所以k GA =2√2-02-(-1)=2√23,k GB =-√2-012-(-1)=-2√23, 所以k GA +k GB =0,从而∠AGF=∠BGF,所以点F 到直线GA,GB 的距离相等, 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 证法二:设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上,所以m=±2√2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1), 由{y =2√2(x -1),y 2=4x 得2x 2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G(-1,0),故直线GA 的方程为2√2x-3y+2√2=0, 从而r=√2+2√2|√8+9=√2√17. 又直线GB 的方程为2√2x+3y+2√2=0, 所以点F 到直线GB 的距离d=√2+2√2|√8+9=√2√17=r, 所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。